（電磁場(chǎng)PPT）第一章+靜電場(chǎng).ppt

第一章靜電場(chǎng) SteadyElectricField 基本方程 分界面上的銜接條件 邊值問(wèn)題 惟一性問(wèn)題 鏡像法和電軸法 電容 靜電場(chǎng)的應(yīng)用 環(huán)路定律 高斯定律 電場(chǎng)強(qiáng)度和電位 序 1 0序 靜電場(chǎng)是相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng) 它是電磁理論最基本的內(nèi)容 由此建立的物理概念 分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場(chǎng) 恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng) 本章要求深刻理解電場(chǎng)強(qiáng)度 電位移矢量 電位 極化等概念 掌握靜電場(chǎng)基本方程和分界面銜接條件 掌握電位的邊值問(wèn)題及其解法 熟練掌握電場(chǎng) 電位 電容 能量 力的各種計(jì)算方法 Introduction 1 1電場(chǎng)強(qiáng)度和電位 基本概念 1 試體 電場(chǎng)用另一電荷的受力來(lái)描述其特性 另一電荷就稱(chēng)為試體 試體應(yīng)是一個(gè)電量很小的點(diǎn)電荷 電荷與體積都盡可能小 2 兩類(lèi)點(diǎn) 均用坐標(biāo)及矢量表示源點(diǎn) 引起電場(chǎng)的點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn) 電場(chǎng)中需要確定場(chǎng)量的點(diǎn) 3 距離向量 原點(diǎn)到源點(diǎn)的距離向量原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離向量源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離向量 點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況 可以把它看成是一個(gè)體積很小 總電量不變的帶電小球體 1 1 1庫(kù)侖定律 Coulomb sLow N 牛頓 適用條件 庫(kù)侖定律 圖1 1 1兩點(diǎn)電荷間的作用力 兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間的相互作用力 推論 多個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)q0的作用力 連續(xù)分布電荷對(duì)q0的作用力 dq看作點(diǎn)電荷 庫(kù)侖定律說(shuō)明 在電荷的周?chē)嬖陔妶?chǎng) 1 1 2電場(chǎng)強(qiáng)度 ElectricIntensity V m N C 定義 電場(chǎng)強(qiáng)度E等于單位正電荷所受的電場(chǎng)力F a 單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 V m 圖1 1 2點(diǎn)電荷的電場(chǎng) 一般表達(dá)式為 b n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 矢量疊加原理 c 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 根據(jù)物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論 電荷的分布實(shí)際上是不連續(xù)的 但當(dāng)考察電的宏觀現(xiàn)象時(shí) 可以把電荷的離散分布近似的用它的連續(xù)分布代替而得到令人滿(mǎn)意的結(jié)果 圖1 1 3矢量疊加原理 圖1 1 4體電荷的電場(chǎng) 元電荷產(chǎn)生的電場(chǎng) 線(xiàn)電荷分布 體電荷分布 面電荷分布 例1 1真空中有無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn) 電荷線(xiàn)密度為 試求P點(diǎn)的電場(chǎng) 例1 2求電荷面密度為 半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)軸線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度 矢量恒等式 1 靜電場(chǎng)的旋度 1 1 3旋度和環(huán)路定律 CurlandCircuitalLaw 點(diǎn)電荷電場(chǎng) 取旋度 2 靜電場(chǎng)的環(huán)路定律 電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān) 靜電場(chǎng)是保守場(chǎng) 是無(wú)旋場(chǎng) 由Stokes 定理 靜電場(chǎng)在任一閉合環(huán)路的環(huán)量 說(shuō)明 即 1 1 4電位 無(wú)限大真空 一 電壓的定義 P Q兩點(diǎn)之間電壓為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)移動(dòng)單位正電荷電場(chǎng)力所作的功 注意 起點(diǎn)與終點(diǎn)的方向順序 也即 為積分順序 1 的計(jì)算 由電場(chǎng)力作功公式推出 電壓?jiǎn)挝粸?伏特 V 即 P Q兩點(diǎn)間的電壓只與P Q兩點(diǎn)的位置有關(guān) 與路徑無(wú)關(guān) 推論 可見(jiàn)功與能量守恒 即 靜電場(chǎng)為守恒場(chǎng) 2 電壓與路徑的關(guān)系 以點(diǎn)電荷q為例 而任意分布的電荷可看成點(diǎn)電荷dq的疊加 因而結(jié)果具有普遍性 二 電位 在整個(gè)電場(chǎng)選定唯一且固定的一個(gè)點(diǎn)Q作為參考點(diǎn) 空間任一點(diǎn)P與參考點(diǎn)之間的電壓定義為P點(diǎn)的電位 1 參考點(diǎn)選擇 理論上 無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 未注明以后參考點(diǎn)均指無(wú)窮遠(yuǎn) 實(shí)際工程中 大地為為參考點(diǎn) 2 電位計(jì)算 單個(gè)點(diǎn)電荷q q放在坐標(biāo)原點(diǎn) q放在任意位置 多個(gè)點(diǎn)電荷 先求點(diǎn)電荷的電位再求和 連續(xù)分布 dq為點(diǎn)電荷 先求點(diǎn)電荷的電位再積分 也可看作求和 負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位 在直角坐標(biāo)系中 1 E與的微分關(guān)系 根據(jù)E與的微分關(guān)系 試問(wèn)靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn) 所以 二 電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系 2 已知電荷求電位 點(diǎn)電荷群 連續(xù)分布電荷 以點(diǎn)電荷為例 3 與E的積分關(guān)系 圖1 1 6E與的積分關(guān)系 線(xiàn)積分 式中 設(shè)P0為電位參考點(diǎn) 即 則P點(diǎn)電位為 所以 4 電位參考點(diǎn) 例如 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位 點(diǎn)電荷所在處不能作為參考點(diǎn) 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)之間的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān) 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單 電位參考點(diǎn)可任意選擇 但同一問(wèn)題 一般只能選取一個(gè)參考點(diǎn) 電荷分布在有限區(qū)域時(shí) 選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí) 選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 5 電力線(xiàn)與等位線(xiàn) 面 E線(xiàn)微分方程 直角坐標(biāo)系 當(dāng)取不同的C值時(shí) 可得到不同的等位線(xiàn) 面 等位線(xiàn) 面 方程 曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)方向是該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向 電位相等的點(diǎn)連成的曲面稱(chēng)為等位面 1 1 7電力線(xiàn)方程 電力線(xiàn)與等位線(xiàn) 面 的性質(zhì) 圖1 1 10點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng) 圖1 1 11點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng) E線(xiàn)不能相交 E線(xiàn)起始于正電荷 終止于負(fù)電荷 等位線(xiàn)愈密處 場(chǎng)強(qiáng)愈大 E線(xiàn)與等位線(xiàn) 面 正交 例1 3真空中xy平面上一半徑為a的圓形線(xiàn)電荷 線(xiàn)電荷密度為 試確定軸線(xiàn)上離圓心z處的P點(diǎn)的電位及場(chǎng)強(qiáng) 例1 4求面電荷密度為 半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)軸線(xiàn)上的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度 例1 5正六邊椎體底面六個(gè)定點(diǎn)各有點(diǎn)電荷q 底邊的邊長(zhǎng)為a 棱長(zhǎng)與底面正六邊形的對(duì)角線(xiàn)相等 求椎體頂點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 1 2高斯通量定理 前面討論了E的環(huán)路線(xiàn)積分 靜電場(chǎng)為守恒場(chǎng) 本節(jié)討論的閉合面積分 高斯通量定理 1 2 1真空中的高斯通量定理 1 點(diǎn)電荷 任意閉合面結(jié)果相同 2 多個(gè)點(diǎn)電荷 q為閉合面S內(nèi)所有電荷 3 連續(xù)分布 1 2 2 電介質(zhì)中的高斯定律 一 靜電場(chǎng)中導(dǎo)體 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E為零 靜電平衡 導(dǎo)體是等位體 導(dǎo)體表面為等位面 導(dǎo)體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面 接地導(dǎo)體都不帶電 一導(dǎo)體的電位為零 則該導(dǎo)體不帶電 任何導(dǎo)體 只要它們帶電量不變 則其電位是不變的 導(dǎo)體 內(nèi)部有大量自由電子 靜電平衡條件下沒(méi)有自由電子的運(yùn)動(dòng) 導(dǎo)體如帶電 則電荷分布在導(dǎo)體表面 二 靜電場(chǎng)中的電介質(zhì) 電介質(zhì) 存在束縛電荷 束縛電荷形成電偶極子 1 特點(diǎn) 電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響可看成極化電荷在真空中所產(chǎn)生的效應(yīng) 電介質(zhì)不處在電場(chǎng)中 呈電中性 處于電場(chǎng)中 會(huì)呈現(xiàn) 極性 也即 極化效應(yīng) 2 概念 電偶極子 電偶極子 相距近 符號(hào)反 電量等的兩個(gè)電荷 相對(duì)于觀察者 電偶極矩 注意 小寫(xiě) 媒質(zhì)術(shù)語(yǔ) 本書(shū)討論各向同性 線(xiàn)性煤質(zhì) 均勻媒質(zhì) 媒質(zhì)的特性不因空間坐標(biāo)而變化 各向同性媒質(zhì) 媒質(zhì)的特性不因場(chǎng)量的方向而變化 線(xiàn)性媒質(zhì) 媒質(zhì)的特性不因場(chǎng)量的量值而變化 電介質(zhì)的分子類(lèi)型 非極性分子 分子的正 負(fù)電荷的作用中心重合 極性分子 分子的正 負(fù)電荷的作用中心不重合 因而形成電偶極子 電介質(zhì)在外電場(chǎng)作用下發(fā)生極化 形成有向排列 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源 極化強(qiáng)度P polarizationintensity 表示電介質(zhì)的極化程度 即 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明 在各向同性 線(xiàn)性 均勻介質(zhì)中 電介質(zhì)的極化率 各向同性媒質(zhì)媒質(zhì)特性不隨電場(chǎng)的方向改變 反之 稱(chēng)為各向異性媒質(zhì) 線(xiàn)性媒質(zhì)媒質(zhì)參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化 反之 稱(chēng)為非線(xiàn)性媒質(zhì) 均勻媒質(zhì)媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)而變化 反之 稱(chēng)為非均勻媒質(zhì) 極化電荷面密度 三 極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系 記憶體密度和面密度公式 極化強(qiáng)度P是電偶極矩體密度 單個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位 體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位 圖1 2 4電偶極子產(chǎn)生的電位 矢量恒等式 圖1 2 5體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位 極化電荷面密度 電介質(zhì)的強(qiáng)度 或 擊穿場(chǎng)強(qiáng) 某種材料能承受最大場(chǎng)強(qiáng)而不至于擊穿的這個(gè)場(chǎng)強(qiáng)為其電介質(zhì)的強(qiáng)度 電力產(chǎn)品的性能處決于其絕緣材料的電介質(zhì)強(qiáng)度 常見(jiàn)絕緣材料的電介質(zhì)強(qiáng)度 材料 空氣 云母 橡膠 玻璃 電介質(zhì)強(qiáng)度 伏 米 思考 根據(jù)電荷守恒定律 極化電荷的總和為零 電介質(zhì)均勻極化時(shí) 極化電荷體密度 有電介質(zhì)時(shí) 場(chǎng)量為 四 電介質(zhì)中的高斯定律 取體積分 在各向同性介質(zhì)中 介電常數(shù)F m 其中 相對(duì)介電常數(shù) 無(wú)量綱量 構(gòu)成方程 例1 2 1平板電容器中有一塊介質(zhì) 畫(huà)出D E和P線(xiàn)分布 D線(xiàn)由正的自由電荷出發(fā) 終止于負(fù)的自由電荷 E線(xiàn)由正電荷出發(fā) 終止于負(fù)電荷 P線(xiàn)由負(fù)的極化電荷出發(fā) 終止于正的極化電荷 高斯定律的微分形式 高斯定律的積分形式 在靜電場(chǎng)中 不問(wèn)在真空還是介質(zhì)中 也不問(wèn)介質(zhì)均勻與否 由任意閉合面穿出的D通量的面積分等于該面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和 這就是高斯通量定理的內(nèi)容 五 高斯定律的文字表述 計(jì)算技巧 a 分析場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性 判斷能否用高斯定律求解 b 選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面 使中的D可作為常數(shù)提出積分號(hào)外 高斯定律適用于任何情況 但僅具有一定對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)才有解析解 六 高斯定律的應(yīng)用 例1 6試求電荷線(xiàn)密度為的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體的電場(chǎng) 解 分析場(chǎng)分布 取圓柱坐標(biāo)系 由 得 圖1 2 8無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體 球殼內(nèi)的電場(chǎng) 球殼外的電場(chǎng) 例1 7哪些區(qū)域的電場(chǎng)能用高斯定律直接求解 圖1 2 10 q分別在金屬球內(nèi)外 圖1 2 9q在金屬球殼內(nèi) 例1 8真空中有兩個(gè)金屬球 外球殼帶電內(nèi)球殼帶電 求 1 內(nèi)球殼外表面 外球殼內(nèi) 外表面的帶電量 2 場(chǎng)中各處的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位 比較場(chǎng)強(qiáng)疊加原理和高斯定律兩種解法 用高斯定律比較簡(jiǎn)單 因此 能用高斯定律時(shí) 盡量不用其他方法 用高斯定律求場(chǎng)強(qiáng)分布 關(guān)鍵是對(duì)稱(chēng)性分析 它只是在電場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性已做出分析的基礎(chǔ)上可以求出場(chǎng)強(qiáng)的大小 而E的方向是在分析場(chǎng)分布的空間對(duì)稱(chēng)時(shí)就已經(jīng)得出的 試求半徑為a 電荷面密度為的均勻帶電球面的電場(chǎng) 試求半徑為a 電荷體密度為的均勻帶電球體的電場(chǎng) 例1 9一長(zhǎng)直圓柱電容器 其長(zhǎng)度L遠(yuǎn)大于截面半徑 已知內(nèi)外導(dǎo)體的半徑為 中間介質(zhì)的介電常數(shù)為 求 介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度與兩導(dǎo)體電壓之間的關(guān)系 例1 10三個(gè)半徑分別為 帶電量分別為 求 1 各球殼的電位 2 當(dāng)外球殼接地 其他球殼不接地時(shí) 其他球殼的電位 3 當(dāng)內(nèi)球殼接地 其他球殼不接地時(shí) 其他球殼的電位 試求半徑為a 電荷面密度為的均勻帶電球面的電場(chǎng) 試求半徑為a 電荷體密度為的均勻帶電球體的電場(chǎng) 1 3基本方程 分界面上的銜接條件 1 3 1基本方程 BasicEquation 靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng) 靜止電荷是靜電場(chǎng)的源 BasicEquationandBoundaryCondition 靜電場(chǎng)的基本方程為 微分形式 積分形式 構(gòu)成方程 矢量A可以表示一個(gè)靜電場(chǎng) 例1 3 1已知試判斷它能否表示靜電場(chǎng) 解 根據(jù)靜電場(chǎng)的旋度恒等于零的性質(zhì) 包圍點(diǎn)P作高斯面 1 3 2分界面上的銜接條件 BoundaryCondition 1 D的銜接條件 則有 根據(jù) 圖1 3 1介質(zhì)分界面 D的法向分量不連續(xù) 當(dāng)時(shí) D的法向分量連續(xù) 是分界面上的自由電荷面密度 2 E的銜接條件 圍繞點(diǎn)P作一矩形回路 E的切向分量連續(xù) 根據(jù) 則有 3 折射定理 當(dāng)交界面上時(shí) 折射定律 圖1 3 2介質(zhì)分界面 3 的銜接條件 設(shè)P1與P2位于分界面兩側(cè) 由 其中 圖1 3 3電位的銜接條件 用表示邊界條件 電位連續(xù) 電位的法向分量約束 分界面電位連續(xù) 能量連續(xù) 電位法向分量約束 金屬與介質(zhì)分界面 即 導(dǎo)體 第一種介質(zhì) 與電介質(zhì) 第二種介質(zhì) 分界面的邊界條件 小結(jié) 分界面的邊界條件 沒(méi)有特別說(shuō)明情況下 認(rèn)為介質(zhì)分界面無(wú)面電荷 1 邊界條件 由積分形式基本方程推導(dǎo)出 切線(xiàn)分量 法線(xiàn)分量 折射定律 折射定律適應(yīng)于無(wú)自由電荷分布的兩種電介質(zhì)分界面 說(shuō)明 1 導(dǎo)體表面是等位面 E線(xiàn)與導(dǎo)體表面垂直 圖1 3 4導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面 例1 3 2試寫(xiě)出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件 解 分界面銜接條件 導(dǎo)體中E 0 分界面介質(zhì)側(cè) 2 導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D等于該點(diǎn)的 解 忽略邊緣效應(yīng) 圖 a 圖 b 例1 3 3試求兩個(gè)平行板電容器的電場(chǎng)強(qiáng)度 圖1 3 5平行板電容器 1 4邊值問(wèn)題 惟一性定理 1 4 1泊松方程與拉普拉斯方程 Poisson sEquationandLaplace sEquation 泊松方程 拉普拉斯算子 BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem 1 4 2邊值問(wèn)題 BoundaryProblem 邊值問(wèn)題 微分方程 邊界條件 初始條件 場(chǎng)域邊界條件 待講 分界面銜接條件 強(qiáng)制邊界條件有限值 自然邊界條件有限值 泊松方程 拉普拉斯方程 場(chǎng)域邊界條件 1 第一類(lèi)邊界條件 狄里赫利條件 Dirichlet 2 第二類(lèi)邊界條件 諾依曼條件Neumann 3 第三類(lèi)邊界條件 已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線(xiàn)性組合 已知邊界上導(dǎo)體的電位 已知邊界上電位的法向?qū)?shù) 即電荷面密度或電力線(xiàn) 求導(dǎo)體電位及場(chǎng)中電位的分布 下頁(yè) 上頁(yè) 返回 求電場(chǎng)中電位的分布 混合邊值問(wèn)題 已知一些導(dǎo)體的電位和另一些導(dǎo)體的表面電荷分布密度 求整個(gè)電場(chǎng)分布 2 泊松方程與拉普拉斯方程的應(yīng)用條件 各向同性 線(xiàn)性 均勻介質(zhì) 3 泊松方程或拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題 第一類(lèi)邊值問(wèn)題 又名 第里赫列問(wèn)題已知導(dǎo)體電位 求電場(chǎng)中電位的分布 第二類(lèi)邊值問(wèn)題 又名 聶以曼問(wèn)題已知導(dǎo)體表面電荷分布密度 求導(dǎo)體電位及場(chǎng)中電位的分布 混合邊值問(wèn)題 已知一些導(dǎo)體的電位和另一些導(dǎo)體的表面電荷分布密度 求整個(gè)電場(chǎng)分布 二 唯一性定理 只要滿(mǎn)足給定的邊值 則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 證明從略 有興趣的同學(xué)自己看 參考 矢量分析與場(chǎng)論 計(jì)算法 實(shí)驗(yàn)法 解析法 數(shù)值法 實(shí)測(cè)法 模擬法 邊值問(wèn)題 例1 4 2試寫(xiě)出長(zhǎng)直同軸電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題 解 根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性確定計(jì)算場(chǎng)域 邊值問(wèn)題 陰影區(qū)域 圖1 4 1纜心為正方形的同軸電纜 通解 例1 4 3試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場(chǎng) 解 采用球坐標(biāo)系 分區(qū)域建立方程 邊界條件 參考電位 圖1 4 2體電荷分布的球體 電場(chǎng)強(qiáng)度 球坐標(biāo)梯度公式 得到 圖1 4 3隨r變化曲線(xiàn) 1 4 3惟一性定理 UniquenessTheorem 也即 只要滿(mǎn)足給定的邊值 則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 證明從略 有興趣的同學(xué)自己看 參考 矢量分析與場(chǎng)論 惟一性定理 在靜電場(chǎng)中 滿(mǎn)足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的 答案 C 例1 4 4圖示平板電容器的電位 哪一個(gè)解答正確 圖1 4 4平板電容器外加電源U0 1 7鏡像法與電軸法 鏡像法和電軸法的理論依據(jù)都是靜電場(chǎng)的唯一性定理 因此熟練地確定點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體 電介質(zhì) 平面問(wèn)題的鏡像電荷的大小和位置 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球問(wèn)題的鏡像電荷的大小和位置 兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題的電軸的位置和電量的大小都是本章的重點(diǎn) 掌握鏡像電荷的求法及鏡像法的有效區(qū)域是本節(jié)的難點(diǎn) 鏡像法處理問(wèn)題的特點(diǎn)在于不直接去求解電位所滿(mǎn)足的泊松方程 而是在不改變求解區(qū)域電荷分布及邊界條件的前提下 用假象的簡(jiǎn)單電荷分布 鏡像電荷 來(lái)等效地取代導(dǎo)體面 或電介質(zhì)分界面 上復(fù)雜的感應(yīng) 極化 電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn) 從而使問(wèn)題的求解過(guò)程大為簡(jiǎn)化 1 7 1鏡像法 鏡象法 分區(qū)均勻媒質(zhì)看作均勻媒質(zhì) 用簡(jiǎn)單的虛設(shè)電荷代替實(shí)際復(fù)雜的邊界分布電荷 只要邊界條件相同 就可用虛擬電荷計(jì)算待研究區(qū)域的電場(chǎng) 一 無(wú)限大導(dǎo)電平板的鏡象法 第一類(lèi)邊值問(wèn)題 圖1 7 1平面導(dǎo)體的鏡像 方程相同 邊界條件相同 解惟一 空氣中除點(diǎn)電荷外 a 平板撤去 q的鏡象位置放一個(gè) q的點(diǎn)電荷 整個(gè)空間充滿(mǎn)的介質(zhì) 上半空間也可滿(mǎn)足上述方程和上述邊界條件 地面上感應(yīng)電荷的總量為 方向指向地面 例試求空氣中點(diǎn)電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布 解 設(shè)點(diǎn)電荷q鏡像后 圖1 7 2地面電荷分布 一般了解 推廣 改為60的夾角 如下圖 則有 個(gè)鏡象電荷 思考題 n為整數(shù) 鏡象電荷的個(gè)數(shù)為多少個(gè) 答案為 2n 1個(gè) 二 兩種介質(zhì)中的鏡象法 1 方程 介質(zhì)中 除點(diǎn)電荷所在點(diǎn)外 介質(zhì)中 2 邊界條件 3 處理方法 中的電場(chǎng)計(jì)算 空間充滿(mǎn)的介質(zhì) 利用及計(jì)算 中的電場(chǎng)計(jì)算 空間充滿(mǎn)的介質(zhì) 利用計(jì)算 代入邊界條件則有 4 推廣 圖1 7 10電場(chǎng)分布圖 中的電場(chǎng)由q與q 共同產(chǎn)生 q 等效替代極化電荷的影響 中的電場(chǎng)由q 決定 q 等效替代自由電荷與極化電荷的作用 圖1 7 11點(diǎn)電荷q1與q2分別置于與區(qū)域中 思考 二 球面導(dǎo)體的鏡像 1 點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問(wèn)題 除q點(diǎn)外的空間 設(shè)鏡像電荷如圖 球面電位 圖1 7 3點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像 將r1 r2代入方程 得 聯(lián)立求解 得到 球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)為 圖1 7 5球外的電場(chǎng)分布 鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域外 鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷總量 圖1 7 4球外的電場(chǎng)計(jì)算 2 不接地金屬球附近放置點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)分布 則 任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng) 解 邊值問(wèn)題 除q點(diǎn)外的空間 通量為零 大小相等 球面等位 位于球心 思路 圖1 7 6不接地金屬球的鏡像 用鏡像法求解下列問(wèn)題 試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù) 大小與位置 圖1 7 7點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖 任一點(diǎn)電位 球面電位 思考 圖1 7 8點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像 例1 11參閱附圖 求 1 點(diǎn)電荷所受之力 2 區(qū)域2中 鏡像電荷所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位 3 點(diǎn)電荷與邊界距離一半處的電位 例1 12兩種理想介質(zhì)的交界面為極大的平面 介質(zhì)1中有點(diǎn)電荷 q 試求介質(zhì)2中P 0 h 0 點(diǎn)的電位 例1 13有半徑為a的接地導(dǎo)體球 在球的附近有一點(diǎn)電荷q 若電荷到球心的距離為d 1 計(jì)算球到任意點(diǎn)P處的電位 2 計(jì)算球上感應(yīng)電荷面密度 3 計(jì)算球上感應(yīng)電荷的總量 4 計(jì)算球受到的庫(kù)侖力 5 如果導(dǎo)體不接地 則P的電位應(yīng)如何計(jì)算 數(shù)值是多少 例1 14如圖所示 放入介質(zhì)中 求所受力的作用 例1 15一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球上帶有電量為Q的電荷 在距球心d 處有一點(diǎn)電荷 求 1 空間電位分布 2 導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷q的力 如何求解 很長(zhǎng)的平行帶電圓柱導(dǎo)體的電場(chǎng) 1 7 2電軸法 ElectricAxisMethod 電軸法是用兩根假想的帶等量異號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn) 電軸 來(lái)代替兩個(gè)帶電柱形導(dǎo)體 這樣就把求解電荷分布不均勻的帶電圓柱產(chǎn)生的電場(chǎng)問(wèn)題 變成了求解兩電軸在所考慮區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)問(wèn)題 如果代替以后 仍然保持圓柱體上的邊界條件不變 根據(jù)唯一性定理 用線(xiàn)電荷算出的周?chē)臻g的電位就是兩圓柱體周?chē)臻g的電位 這個(gè)方法的關(guān)鍵是尋找兩根線(xiàn)電荷 即電軸 的位置 導(dǎo)線(xiàn)以外的空間 邊值問(wèn)題 1 7 12長(zhǎng)直平行雙傳輸線(xiàn) 圖1 7 13兩根帶電細(xì)導(dǎo)線(xiàn) 一 兩根平行的無(wú)限長(zhǎng)的線(xiàn)電荷的電場(chǎng) 在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位 在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位 在P點(diǎn)的總電位 以y軸為參考電位 可令C 0 則P點(diǎn)的電位 令 C 等位線(xiàn)方程 圖1 7 13兩根帶電細(xì)導(dǎo)線(xiàn) K取不同值時(shí) 得到一族偏心圓 a h b滿(mǎn)足關(guān)系 整理后 等位線(xiàn)方程 圓心坐標(biāo) 圓半徑 圖1 7 14兩根細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的等位線(xiàn) 根據(jù) 得到Ex和Ey分量 圖1 7 15兩細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的場(chǎng)圖 E線(xiàn)方程 思考 若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼 是否會(huì)影響電場(chǎng)分布 二 電軸法 平行帶電長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體的電場(chǎng) 1 等效電軸 帶電細(xì)導(dǎo)線(xiàn)理解為圓柱形導(dǎo)體的作用中心線(xiàn) 故稱(chēng)為等效電軸 2 電軸法 求解兩帶電的平行圓柱形導(dǎo)體的電場(chǎng) 只需確定它們的等效電軸的位置即可 這種求解方法稱(chēng)為電軸法 以y軸為參考電位 例1 7 3試求兩帶電長(zhǎng)直平行傳輸線(xiàn)的電場(chǎng)及電位分布 b 圓柱導(dǎo)線(xiàn)間的電場(chǎng)與電位 電軸位置 圖1 7 16平行傳輸線(xiàn)電場(chǎng)的計(jì)算 例1 7 4試決定圖示不同半徑平行長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電軸位置 圖1 7 17不同半徑傳輸線(xiàn)的電軸位置 解 1 參考電位的位置 2 有效區(qū)域 例1 7 5試確定圖示偏心電纜的電軸位置 注意 圖1 7 18偏心電纜電軸位置 例1 7 6已知平行傳輸線(xiàn)之間電壓為U0 試求電位分布 解 確定電軸的位置 所以 設(shè)電軸線(xiàn)電荷 任一點(diǎn)電位 圖1 7 19電壓為U0的傳輸線(xiàn) 鏡像法 電軸法 小結(jié) 鏡像法 電軸法 的理論基礎(chǔ)是 鏡像法 電軸法 的實(shí)質(zhì)是 鏡像法 電軸法 的關(guān)鍵是 鏡像電荷 電軸 只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域 疊加時(shí) 要注意場(chǎng)的適用區(qū)域 用虛設(shè)的鏡像電荷 電軸 替代未知電荷的分布 使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻媒質(zhì) 靜電場(chǎng)惟一性定理 確定鏡像電荷 電軸 的個(gè)數(shù) 大小及位置 應(yīng)用鏡像法 電軸法 解題時(shí) 注意 1 8電容 電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸 相互位置及周?chē)慕橘|(zhì)有關(guān) 工程上的電容器 電力電容器 電子線(xiàn)路用的各種小電容器 電容的計(jì)算思路 設(shè) 一 單個(gè)導(dǎo)體的電容 孤立導(dǎo)體與無(wú)限遠(yuǎn)處另一導(dǎo)體間的電容 例1 半徑為R的球形導(dǎo)體的電容計(jì)算 二 兩導(dǎo)體之間的電容 例2 兩無(wú)限長(zhǎng) 半徑為a的圓柱形導(dǎo)線(xiàn) 單位長(zhǎng)度的電容的計(jì)算 解 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q 則 同心球