高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)、解三角形第7講解三角形應(yīng)用舉例高效演練分層突破文新人教A版.docx

第7講解三角形應(yīng)用舉例基礎(chǔ)題組練1在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A. kmB. kmC. km D2 km解析：選A.如圖，在ABC中，由已知可得ACB45，所以，所以AC2(km)2如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15，BDC30，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A5 B15C5 D15解析：選D.在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.3如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：選A.在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.4一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：選A.如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)5如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m解析：選C.因?yàn)閠an 15tan(6045)2，所以BC60tan 6060tan 15120(1)(m)6海上有A，B兩個(gè)小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，那么B島和C島間的距離是 n mile.解析：如圖，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：57.如圖，在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，在塔底D的南偏東60的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，A，B間的距離是84 m，則塔高CD m.解析：設(shè)塔高CDx m，則ADx m，DBx m.又由題意得ADB9060150，在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2 cos 150，解得x12(負(fù)值舍去)，故塔高為12 m.答案：128一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為 海里/小時(shí)解析：如圖，由題意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，所以MN6834(海里)又由M到N所用的時(shí)間為14104(小時(shí))，所以此船的航行速度v(海里/小時(shí))答案：9漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，該船在A點(diǎn)處時(shí)發(fā)現(xiàn)在北偏東30方向的海面上有一個(gè)小島，繼續(xù)航行20分鐘到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60方向上，若該船向正北方向繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過(guò)C作CDAD于點(diǎn)D，由題意得：AB155(海里)，因?yàn)锳30，CBD60，所以BCA30，所以ABC為等腰三角形，所以BC5.在BCD中，因?yàn)镃BD60，CDAD，BC5，所以CD，則該船向北繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為7.5海里10如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75，從C點(diǎn)測(cè)得MCA60.已知山高BC100 m，求山高M(jìn)N.解：根據(jù)題意，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)綜合題組練1如圖所示，一座建筑物AB的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15和60，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30，則通信塔CD的高為()A30 m B60 mC30 m D40 m解析：選B.在RtABM中，AM20(m)過(guò)點(diǎn)A作ANCD于點(diǎn)N，如圖所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40sin 6060(m)，故通信塔CD的高為60 m.2.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為 米解析：連接OC，由題意知CD150米，OD100米，CDO60.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CDODcos 60，即OC50.答案：503.如圖，在四邊形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的長(zhǎng)解：(1)因?yàn)锳DAB23，所以可設(shè)AD2k，AB3k(k0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因?yàn)锳BBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.4(應(yīng)用型)某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6 km處，B位于O的北偏東60方向10 km處(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開(kāi)辟水上航線勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3 km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行請(qǐng)確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根據(jù)余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14 km.(2)依題意得，直線MN必與圓O相切設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC(圖略)，則OCMN.設(shè)OMx，ONy，MNc，在OMN中，由