極點與系統(tǒng)穩(wěn)定性.doc

極點對系統(tǒng)性能影響一控制系統(tǒng)與極點自動控制系統(tǒng)根據控制作用可分為：連續(xù)控制系統(tǒng)和采樣控制系統(tǒng)，采樣系統(tǒng)又叫離散控制系統(tǒng)。通常把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形成的離散系統(tǒng),稱為采樣控制系統(tǒng)。連續(xù)控制系統(tǒng)即指控制量為連續(xù)的模擬量如時變系統(tǒng)。系統(tǒng)的數學模型一般由系統(tǒng)傳遞函數表達。傳遞函數為零初始條件下線性系統(tǒng)響應（即輸出）量的拉普拉斯變換（或z變換）與激勵（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。記作（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。使傳遞函數分母等于零即得到系統(tǒng)的特征方程，特征方程的根稱為極點。如試S= C （S-Pi）/(S-Qi) 中Q1 Q2 Q3 Qi 即為系統(tǒng)的極點。二極點對系統(tǒng)的影響極點-確定了系統(tǒng)的運動模態(tài)；決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面對連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)分別進行分析：連續(xù)系統(tǒng)理論分析：連續(xù)系統(tǒng)的零極點分布有如下幾種形式設系統(tǒng)函數為： 將H(S)進行部分分式展開：系統(tǒng)沖激響應H(S)的時域特性h(t)隨時間衰減的信號分量完全由系統(tǒng)函數H(S)的極點位置決定。每一個極點將決定h(t)的一項時間函數。穩(wěn)定性：由上述得知Y(S)= C （S-Pi）/(S-Qi) 可分解為Y(S)=C1/(S-1)+ C2/(S-2)+ C3/(S-3)+ Ci/(S-i)+ 則時間響應為 由于特征方程的根不止一個，這時，應把系統(tǒng)的運動看成是多個運動分量的合成。只要有一個運動分量是發(fā)散的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此，特征方程所有根的實部都必須是負數，亦即所有的根都在復平面的左半平面。通過復變函數幅角定理將S由G平面映射到GH平面。如果封閉曲線 F 內有Z個F(s)的零點，有P個F(s)的極點，則s沿 F 順時針轉一圈時，在F(s)平面上，F(s)曲線繞原點順時針轉的圈數R為z和p之差，即Rzp。若R為負,表示F(s)曲線繞原點逆時針轉過的圈數。F(s)的分母是G0(s)的分母，其極點是G0(s)的極點；其分子是(s)的分母，即(s)的特征多項式，其零點是(s)的極點。取D形曲線（D圍線）如圖所示，是整個右半復平面。且設D曲線不經過F(s)的任一極點或零點。s沿D曲線順時針變化一周，F(s)順時針包圍原點的周數為： n=z-p=F(s)在右半復平面的零點數(閉環(huán)傳函在右半復平面極點數)-F(s)在右半復平面的極點數(開環(huán)傳函在右半復平面極點數)所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：n=- p =-開環(huán)傳函在右半復平面的極點數因此：反饋控制系統(tǒng)在s右半平面的閉環(huán)極點個數Z=P-2N，式中，P為s右半平面開環(huán)極點數，N為開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1 ,j0) 點的圈數，且有N=N+N-其中N+為：正穿越與半次正穿越次數的和。其中N-為：負穿越與半次負穿越次數的和。正穿越：隨著w的增大，開環(huán)Nyquist曲線逆時針穿越實軸區(qū)間(- , -1) 。半次正穿越：逆時針方向離開（或中止于）實軸區(qū)間(- , -1) 。負穿越：隨著w的增大，開環(huán)Nyquist曲線順時針穿越實軸區(qū)間(- , -1) 。半次負穿越：順時針方向離開或中止于實軸區(qū)間(- , -1) 。若開環(huán)傳遞函數有積分環(huán)節(jié)，開環(huán)Nyquist 曲線在w=0時，幅值無窮大，而相角為 。判斷穩(wěn)定性要求w=0開始逆時針補半徑為無窮大，角度為 的虛線圓弧。在計算正、負穿越次數時，應將補上的虛線圓弧作為Nyquist 曲線的一部分。(-1,j0)w同樣其他穩(wěn)定性的判別由勞斯判據和赫爾維茲判據 波的圖判據等原理相同。都是由特征方程推出S根沒有復實部。總結：1.如系統(tǒng)函數H(s)的全部極點落于S域左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2.如系統(tǒng)函數H(s)有極點落于S右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.若系統(tǒng)函數H(s)沒有極點落在右半平面，但在虛軸上有一階極點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。4. 系統(tǒng)函數的分子多項式的階次，不應高于分母多項式的階次。離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性原理與連續(xù)系統(tǒng)一樣，由于離散系統(tǒng)本身特征稍有改，離散信號是脈沖序列即時間上離散，離散信號是數字序列即幅值上整量化。G(s)因此引入Z變換取代拉斯變換只適用與連續(xù)函數，離散時間序列 x(n) 的Z變換定義為X(z)x(n)z-n ，常用序列的Z變換中ze，為實變數，為實變量，j，所以z是一個幅度為e，相位為的復變量。x(n)和X(z)構成一個Z變換時 。理想的單位脈沖序列：采樣器可以看成是一個調制器，輸入量作為調制信號，而單位脈沖串可以作為載波信號，調制過程可以表示為： 則：Z變換為：定義：則：由以上定義得知Z變換，則如何從S平面映射到Z平面：當s 0，則對應在s右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，映射到Z平面上 對應在Z平面的單位圓外，脈沖系統(tǒng)不穩(wěn)定； 當s0，則對應在s平面的虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，映射到Z平面上 對應在Z平面的單位圓上，脈沖系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 將Z進行映射變換，離散系統(tǒng)穩(wěn)定判斷依舊能夠使用勞斯判據判斷?？偨Y：穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數的收斂域，應該包含單位圓（包含在單位圓內）。即穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數，其極點不應分