(正)高等數(shù)學(xué)競賽練習(xí)冊答案.pdf

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會 關(guān)于舉辦第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的通知 各省 市 自治區(qū)數(shù)學(xué)會 解放軍院校協(xié)作中心數(shù)學(xué)聯(lián)席會 為了培養(yǎng)人才 服務(wù)教學(xué) 促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè) 增加大學(xué) 生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 培養(yǎng)分析 解決問題的能力 發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才 為 青年學(xué)子提供一個展示基礎(chǔ)知識和思維能力的舞臺 經(jīng)中國數(shù)學(xué)會批準(zhǔn) 第三屆 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽由上海同濟(jì)大學(xué)承辦 經(jīng)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會研究確定 本屆比賽分區(qū)預(yù)賽在2011年10月29 日 星期六 上午9 00 11 30舉行 決賽于2012年3月份的第三周周六上午在 同濟(jì)大學(xué)舉行 現(xiàn)將競賽的具體事宜通知如下 1 參賽對象 大學(xué)本科二年級或二年級以上的在校大學(xué)生 競賽分為非數(shù)學(xué)專業(yè)組和數(shù)學(xué) 專業(yè)組 含數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 信息與計算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生 數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生不得參 加非數(shù)學(xué)專業(yè)組的競賽 2 競賽內(nèi)容 非數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容為本科高等數(shù)學(xué)內(nèi)容 高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為理工科本科教 學(xué)大綱規(guī)定的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容含數(shù)學(xué)分析 高等代 數(shù)和解析幾何 均為數(shù)學(xué)專業(yè)本科教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容 所占比重分別為 50 35 及15 左右 3 獎項的設(shè)立 設(shè)賽區(qū) 一般以省 市 自治區(qū)作為賽區(qū) 軍隊院校為一個獨立賽區(qū) 獎與 全國決賽獎 賽區(qū)獎 按照重點學(xué)校與非重點學(xué)校 數(shù)學(xué)類專業(yè)與非數(shù)學(xué)類專業(yè)分別評獎 每個賽區(qū)的獲獎總名額不超過總參賽人數(shù)的15 其中一等獎 二等獎 三等獎 分別占各類獲獎總?cè)藬?shù)的20 30 50 冠名為 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 賽區(qū) 等獎 決賽獎 參加全國決賽的總?cè)藬?shù)不超過300人 每個賽區(qū)參加決賽的名額不 少于5名 其中數(shù)學(xué)類2名 非數(shù)學(xué)類3名 由各賽區(qū)在賽區(qū)一等獎獲得者中推選 最后入選名單由競賽組織委員會批準(zhǔn) 決賽階段的評獎等級按絕對分?jǐn)?shù)評獎 分區(qū)預(yù)賽和決賽的獲獎證書均加蓋 中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會 的公章 獲獎證 書由承辦單位統(tǒng)一印制 每份獲獎證書 承辦單位收取工本費5元 4 命題 閱卷 評獎工作 分區(qū)預(yù)賽和決賽的試題由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會統(tǒng)一組織專家命題 分區(qū)預(yù)賽的試卷印刷 保密 閱卷 評獎工作 由各個賽區(qū)統(tǒng)一安排 由各賽區(qū) 的競賽負(fù)責(zé)人統(tǒng)一部署 各賽區(qū)在考試結(jié)束后 當(dāng)堂密封試卷 及時送交到賽區(qū) 指定試卷評閱點集中閱卷 評獎工作由各賽區(qū)自行組織 決賽階段的試卷印刷 保密 評閱工作在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會領(lǐng)導(dǎo)下 由承辦單位組織進(jìn)行 評獎工作由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會組織專家組評定 5 決賽試題和獲獎名單將在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站上公布 中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會 二 一一年五月十二日 一 函數(shù) 極限 連續(xù) 競賽大綱 1 函數(shù)的概念及表示法 簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立 2 函數(shù)的性質(zhì) 有界性 單調(diào)性 周期性和奇偶性 3 復(fù)合函數(shù) 反函數(shù) 分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 5 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系 無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較 6 極限的四則運算 極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個重要極限 7 函數(shù)的連續(xù)性 含左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)間斷點的類型 8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性 9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性 最大值和最小值定理 介值定理 1 1實值函數(shù) xF和 xG都定義在整個實數(shù)軸上 并且滿足 pxF ax lim qxG px lim 討論 是否有qxFG ax lim 若成立則證明 若不成立 請舉例說明 1 2設(shè)0 a n x滿足 0 0 x 2 1 0 2 1 1 n x a xx n nn 證明 n x 收斂 并求 n n x lim 1 3設(shè) 2 11 0 1 2 nnn xxxx n 試計算 12 111 111 lim n xxx n 1 4設(shè) 3 1 113 0 1 2 n n x nx xxn 求lim n n x 1 5求極限 n n nn 22 2cossinlim 1 6求極限 lim021 2 bbb n nn n 1 7設(shè) n k n xknxknxa 1 01 求 n n a lim 1 8求不等于0的數(shù) 使得200611 2005 lim nnnI n 1 9設(shè) n a滿足 n k k n la n 1 1 lim 證明 1 若0 1 lim nn n aan 則lan n lim 2 若lan n lim 則0 2 1 naakI n k kk n lim 1 10求極限 sin sin lim1 a aa ax xx ax xx ax 1 11求極限 arctan ln arctan lnlimnnnI n 1 1 12若有數(shù)組 n aaa 10 滿足 0 1 22 3 2 2 2 1 1 1 2 2 10 n a n aaaa n n n n 證明 01 2 2 axaxaxa n n lnlnln 在 2 1e內(nèi)必有一個零點 1 13設(shè)1 xxn在 10中的根為 Nnan 試證明 nan1 1 14 2 2 1 1 n nk n k x 求 n n x lim 1 15設(shè)0 i a 求 n n m nn n aaa 21 lim 1 16求 1n n a的和 其中1 1 a 21 211 nn aaaa 1 17 1 3 2 1 111 n n x x xxx sin sin sin sin lim 1 18 xx x x x x cosln ln arctancosln lim 21 4 2 0 1 19 tanlim n n n 2 4 1 20 sin lim1 2 n n 1 21 lim0 21 i x n xx n a n aaa 1 22設(shè)4 1 x 2 1 1 1 n n n x x x 求 n n x lim 1 23設(shè) n nn n x xxf 2 1 2 0 x 求 lim n n xf 1 24已知函數(shù) 0 4 0 2 1 2 x x x x xx xf sin cos 求 xf的間斷點 并說明其類型 二 一元函數(shù)微分學(xué) 競賽大綱 1 導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù) 性之間的關(guān)系 平面曲線的切線和法線 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算 一階微分形式的不變性 3 復(fù)合函數(shù) 反函數(shù) 隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 4 高階導(dǎo)數(shù)的概念 分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 某些簡單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) 5 微分中值定理 包括羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰 勒定理 6 洛必達(dá) L Hospital 法則與求未定式極限 7 函數(shù)的極值 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)圖形的凹凸性 拐點及漸近線 水平 鉛 直和斜漸近線 函數(shù)圖形的描繪 8 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用 9 弧微分 曲率 曲率半徑 2 1設(shè)函數(shù)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 0 f存在 且0 0 f 0 0 f 0 0 xa x x xf xg 1 確定a 使 xg處處連續(xù) 2 對以上所確定的a 證明 xg具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 2 2設(shè) xf在0 x的鄰域具有二階導(dǎo)數(shù) 且 3 1 0 1e x xf x x x lim 試求 0f 0 f 及 0 f 2 3設(shè)函數(shù) f x在點0 x 處有定義 0 1f 且 2 ln 1 sin 01 lim0 x xx f x xe 證明 函數(shù) f x在點0 x 處可導(dǎo) 并求 0 f 2 4設(shè)函數(shù) 1 1 0 x f xxx 證明 存在常數(shù)A B 使得當(dāng)0 x 時 恒 有 22 f xeAxBxo x 并求常數(shù)A B 2 5設(shè) f x在 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0fx 1 證明 對于任何非零實數(shù)x 存在唯一的 0 1 xx 試計算 12 111 111 lim n xxx n 2 8設(shè) 3 1 113 0 1 2 n n x nx xxn 求lim n n x 2 9設(shè)函數(shù) f x在區(qū)間 a b上連續(xù) 在 a b內(nèi)可導(dǎo) 且 0f a f b 2 0 a b f a f m為 常數(shù) 又 0f af b 證明 2 8 max m a x b f xba 2 11設(shè) xf在 上可微 且存在常數(shù) 212211 kkbkbk qp 且111 qp 則 00 ba q b p a ab qp 2 14已知函數(shù) f x在 0 1 上三階可導(dǎo) 且 0 1 1 0 0 0fff 證明 0 1 x 0 1 使 2 1 2 3 1 xx f xxf 2 15設(shè)函數(shù) f x在 0 1 上二階可導(dǎo) 且滿足 1fx f x在區(qū)間 0 1 內(nèi)取 得最大值 1 4 證明 0 1 1ff 2 16設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 f x和 fx 在 內(nèi)有界 證明 fx 在 內(nèi)有界 2 17設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)三階可導(dǎo) 且 f x和 fx 在 內(nèi)有界 證明 fx 和 fx 在 內(nèi)有界 2 18設(shè)函數(shù) f x在 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù) 并且 0 f xM 2 fxM x 證明 02 2fxM M x 2 19設(shè)0ab 證明 不等式 22 2lnln1aba b a abab R 2 26求 1 23 sin 0 lim 3 xxx x x eee 2 27已知 xf具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) 且2 1 0 x xf x cos lim 求 0f 2 28設(shè) xf在點 0 x的某領(lǐng)域內(nèi)有五階導(dǎo)數(shù) 且 0 0 4 000 xfxfxfxf 而0 0 5 xf 問 0 x是否為 xf的極值點 0 x 0 xf 的拐點 2 29設(shè)1 0 x xf x lim 且0 xf 證明 xxf 2 30設(shè)0 x 0 2 x 有 2121 xfxfxxf bfaf 則方程0 xf 在 ba內(nèi)至少有一個根 2 37設(shè) xf在 ba上連續(xù) 在 ba上可微 且0 bfaf 則在 ba上 任一連續(xù)函數(shù) x 有 ba 使得0 ff 2 38設(shè) xf在 a上連續(xù) 在 a上可導(dǎo) 且1 xf 若0 af 證 明 方程0 xf在 afaa 內(nèi)有唯一實根 2 39設(shè) xf在 21上連續(xù) 在 21內(nèi)可導(dǎo) 且 2 1 1 f 22 f 證明 存 在 21 使得 f f 2 2 40設(shè) xf在 ba上連續(xù) 在 ba內(nèi)可導(dǎo) 且1 bfaf 證明 存在 ba 使得1 ffe 2 41設(shè) xf在 10上連續(xù) 在 10內(nèi)可導(dǎo) 且00 f 對于 10 x 有 xfxf 證明 在 10上0 xf 2 42設(shè) xf在 10上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且有010 ff Axf 10 x 證明 2 A xf 2 43設(shè) xf在 20上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且10 f 22 f 01 f 證明 在 20內(nèi)至少存在一點 使得3 f 2 44設(shè) f x在 0 1 上具有二階導(dǎo)數(shù) 且滿足條件 f xa fxb 其中 a b都是非負(fù)常數(shù) c是 0 1 內(nèi)的任一點 證明 2 2 b fca 2 45設(shè)0 2 1 2 1 1 0 1 0 3 fffCf 證明 1 0 使24 f 2 46設(shè) xf在 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且Axf x lim 有限 0 limxf x 證明 0 lim limxfxf xx 2 47證明 n p n n nnn p n p p np p p lnln 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 pn 2 48 n x nxxx x coscoscoslim 21 1 2 0 2 49 arctan arctanlim 1 2 n a n a n n 2 50 2 22 0 2 11 2 1 xex xx x xsin cos lim 2 51設(shè)函數(shù) xyy 由方程1222 223 xxyyy確定 求 xyy 的駐點 并判斷它是否為極值點 2 52如圖所示 設(shè)河寬為a 一條船從岸邊一點O出發(fā)駛向?qū)Π?船頭總是指 向?qū)Π杜c點O相對的一點B 假設(shè)在靜水中船速為常數(shù) 1 V 河流中水的流速為常 數(shù) 2 V 試求船過河所走的路線 曲線方程 并討論在什么條件下 1 船能到達(dá)對岸 2 船能到達(dá)點B 三 一元函數(shù)積分學(xué) 競賽大綱 1 原函數(shù)和不定積分的概念 2 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 3 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 變上限定積分確定的函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù) 牛頓 萊布尼茨 Newton Leibniz 公式 4 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 5 有理函數(shù) 三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 6 廣義積分 7 定積分的應(yīng)用 平面圖形的面積 平面曲線的弧長 旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè) 面積 平行截面面積為已知的立體體積 功 引力 壓力及函數(shù)的平均 值 3 1計算不定積分dx x xx I 2 2 1 1 ln 3 2計算 cos 3 sin 5 dx xx 3 3設(shè) f x在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0fx 滿足關(guān)系式 11 00 0f x dxxf x dx 證明 f x在 0 1 上恰好有兩個零點 3 4設(shè) yf x 是區(qū)間 0 1 上的正值連續(xù)函數(shù) 1 證明 存在 0 1 使得在區(qū)間 0 上以 f 為高的矩形面積 等 于在區(qū)間 1 上以 yf x 為曲邊的曲邊梯形面積 2 如果 f x在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 2 f x x fx 證明 1 中的 是唯 一的 3 5設(shè)在 內(nèi) 函數(shù) f x連續(xù) 0 x g xf xf t dt 單調(diào)減少 證明 0f x 3 6設(shè)函數(shù) f x在 a b上二階連續(xù)可導(dǎo) 證明 存在 a b 使 3 224 b b a a b a f x dxba ff 3 7設(shè)函數(shù) f x在 a b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 在 a b內(nèi)二階可導(dǎo) 且 0f af b 0 b a f x dx 證明 1 在 a b內(nèi)至少存在一點 使得 ff 2 在 a b內(nèi)至少存在一點 使得 ff 3 8設(shè) 函 數(shù) f x在 0 1 上 有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 數(shù) 且 0 1 0ff 證 明 1 1 4 0 0 1 max x f x dxfx 3 9設(shè)函數(shù) f x在 0 內(nèi)可微 且lim 0 x f xfx 證明 lim 0 x f x 3 10計算反常積分 2 22 1 2 0 x e x dx 3 11計算定積分 2 1 ln 1 1 0 x x Idx 3 12計算 2 0 f x x dx 其中 2 2 1 1 tan x u f xdu 3 13設(shè) 2 1 arcsin xxf及00 f 求 1 0 dxxf 3 14設(shè) 2 cos 2 0 x x Adx 將積分 2 sin cos 1 0 xx x dx 表示成A的表達(dá)式 3 15求定積分 2 4 1 sin 1 cos x x xe dx 3 16設(shè) f x g x都是 0 a上的連續(xù)函數(shù) 且對任意 0 xa 恒有 f xf ax g xg axk 其中k為常數(shù) 證明 2 00 aa k f x g x dxf x dx 3 17求定積分 4 2 2 0 tan n n Ixdx 3 18計算極限 3 22222 1 lim 122 1 1 n n nnnnn 3 19求極限 lim 222 21nn n n n n n n 3 20求 n n n n nn 1 1 2 1 1 1 lim 3 21求 2 22 1 lim n n nj n j 3 22 f x在 0 1 上可導(dǎo) 且 0 0f 又 f x滿足關(guān)系 1 0 25fxf x dx 求 f x 3 23求 所 有 0 上 的 正 連 續(xù) 函 數(shù) g x 使 得0 x 有 22 11 2 00 xx x g tdtg t dt 3 24問 是否存在區(qū)間 0 1 上連續(xù)的正函數(shù) f x 使得下面的三個式子同時成 立 111 22 000 1 f x dxxf x dxax f x dxa 其中a為常數(shù) 3 25設(shè) fx 在 0 1 上連續(xù) 且 0 1 0ff 求證 1 11 1 2 00 1 f x dxx xfx dx 2 1 1 12 001 max x f x dxfx 3 26設(shè) f x在 0 2 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 0fx 求證 對任意自然數(shù) n有 2 2 0 sin 2 0 n f xnxdxff 3 27設(shè) f x為 0 1 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) 且 2 0 12 x fxf t dt 證明 1f xx 0 1 x 3 28設(shè) f x在 0 1 上 可 導(dǎo) 0 1fx 且 0 0f 證 明 11 23 00 f x dxfx dx 3 29設(shè)1a 求 1 1 x I axa e dx 的最大值 3 30設(shè) xfxF是的一個原函數(shù) 且1 0 FxxfxF2cos 求dxxf 0 3 31設(shè) xf在 0 上 可 導(dǎo) 0 0 f 且 其 反 函 數(shù) 為 xg 若 0 2 xf x exdttg 求 xf 3 32計算dx xdx d I n e 1 2 1 cos ln 其中n為自然數(shù) 3 33設(shè) xf在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 1 0 0 0 xff 求證 dxxfdxxf 1 0 32 1 0 3 34設(shè) xyy 是由方程xyxy 2 所確定的隱函數(shù) 試求 yx dx I 3 3 35求不定積分 dxxI222 其中有n重 3 36設(shè) xf是 上嚴(yán)格遞增的可微函數(shù) 且 xfxF xg是 xf 的反函數(shù) 用 xF xg表示 xg的原函數(shù) xG 3 37設(shè)有拋物線 0 2 1 1 1 2 1 1 adx xa x 3 40求極限 n n n n nnn 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1lim 3 41求 1111 lim 23 x nnnnnnnn n 3 42設(shè) 10Cxf 則有 1 0 3 1 000 6 1 dxxfdxdydttfyfxf xy 3 43設(shè) xf在 ba上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 0 bfaf 且 b a dxxf1 2 則有 4 1 222 b a b a dxxfxdxxf 3 44設(shè) xf在 0上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù) 證明 x dttftx 0 22 03 3 45設(shè) xf在 上 一 階 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 且 有 dxxfx 22 dxxf 2 證明 1 04 2 1 2 2 1 22 xdttfttfxxf xx 2 02 2 1 2 2 1 222 xdxxfdxxfxdxxf 3 46求 x x dt tx I 0 sin lim 3 47設(shè) xf在 1上可微 11 f 若有 xxfxxf11 22 則 4 1 a xxa dx I 3 49確定cba 使得0 1 2 0 c dt t t xax x b x ln sin lim 3 50求極限 n i n n knkn 1 4 1 lim 3 51設(shè) x n Nntdtttxf 0 2 sin 證明 x0時 32 1 nn xf 3 52設(shè) xf在 022 aaa上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 計算 dtatfatf a I a a a lim 2 04 1 3 53計算dxx x x x x 1 1 2 4 2 5 1 sin cos sin 3 54計算積分dx x xn 2 0 12 sin sin 3 55計算積分 0 2 11 1 dx xxn 3 56設(shè) xf在 ba上連續(xù)且單調(diào)增加 證明 b a b a dxxf ba dxxxf 2 3 57設(shè) xf在 ba上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 證明 b abxa b a xfdxxfdxxf ab max 1 3 58設(shè) xf在 20上連續(xù) 且0 xf 證明 對任意n有 sin 02 2 2 0 ff n nxdxxf 3 59設(shè)實值函數(shù) xF滿足11 F 并且對于1 x 若 xFx xF 22 1 證明 limxF x 存在 并且小于 4 1 3 60設(shè) 2 Cuf 且dzxyzfyxF y x 求 yxFx 3 61假設(shè)曲線 1 L 2 1xy 01 x x軸和y所圍成的平面區(qū)域被曲線 2 L 2 axy 分為面積相等的的兩部分 其中a是大于零的常數(shù) 試確定a的值 3 62求曲線 sin 2yxx x 與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn) 體體積 3 63設(shè) f x在區(qū)間 連續(xù) 0 1 d 0 d 2 x ax x a F xf tt aG xf tt a 試解答下列問題 1 用 G x表示 F x 2 求 F x 3 求證 0 lim a F xf x 4 設(shè) f x在 xa xa 內(nèi)的最大值和最小值分別是M m 求證 F xf xMm 四 多元函數(shù)微分學(xué) 競賽大綱 1 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 2 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 3 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分 全微分存在的必要條件和充分條件 4 多元復(fù)合函數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 5 二階偏導(dǎo)數(shù) 方向?qū)?shù)和梯度 6 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 7 二元函數(shù)的二階泰勒公式 8 多元函數(shù)極值和條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 多元函數(shù)的最大值 最小 值及其簡單應(yīng)用 4 1設(shè) zz x y 二階連續(xù)可微 并且滿足方程 222 22 20 zzz x y xy ABC 其中 2 0BAC 若令 uxyvxy 試確定常數(shù) 的值 使原方程 變?yōu)?2 0 z u v 并求出 z x y 4 2設(shè) 00 0 arctanarctan 22 xy xy y x y x y x yxf 當(dāng)0 xy時 求 yxfxy 4 3設(shè)函數(shù) yxu滿足0 yyxx uu與xxxu 2 2 2 xxxux 求 2 xxuxx 2 xxuxy 2 xxuyy x u表示u對x的一階偏導(dǎo)數(shù) 其他類推 4 4在曲面 2222 0 x yy zz xxyz 上點 0 0 0 處的切平面內(nèi)求一點P 使點P到點A 2 1 2 和點B 3 1 2 的距離的平方和最小 4 5求ba 的值 使得包含在圓11 22 yx 內(nèi)部的橢圓1 2 2 2 2 b y a x 的面積最 小 0 a bab 0 4 6設(shè)橢球面 222 31xyz 為 在第一卦限內(nèi)的切平面 求 1 使 與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小的切點坐標(biāo) 2 使 與三坐標(biāo)平面截出的三角形面積最小的切點坐標(biāo) 4 7設(shè)函數(shù) f u可導(dǎo)且 0f u 證明 旋轉(zhuǎn)曲面 22 zfxy 的法線與轉(zhuǎn) 軸相交 4 8設(shè) f x y在 2 R中連續(xù) 0 0 0f f x y存在偏導(dǎo)數(shù) 且當(dāng) 22 5xy 時 1gradf 證明 1 2 5f 4 9在平面上給一邊長分別為a b c的三角形 在它上面做無數(shù)個定高h(yuǎn)的 錐體 求側(cè)面積最小的錐體 4 10設(shè)ABC 為正三角形 邊長為a P為ABC 內(nèi)任意一點 由P向三邊引 垂線與三邊的交點分別為D E F 試求DEF 的面積最大值 4 11設(shè) 函 數(shù) f x y可 微 2 0 1 x fx yf x yf 且 滿 足 1 0 cot 0 lim n n fy y fy n e 求 f x y 五 多元函數(shù)積分學(xué) 競賽大綱 1 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分的計算 直角坐標(biāo) 極坐 標(biāo) 三重積分的計算 直角坐標(biāo) 柱面坐標(biāo) 球面坐標(biāo) 2 兩類曲線積分的概念 性質(zhì)及計算 兩類曲線積分的關(guān)系 3 格林 Green 公式 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 已知二元函數(shù)全微 分求原函數(shù) 4 兩類曲面積分的概念 性質(zhì)及計算 兩類曲面積分的關(guān)系 5 高斯 Gauss 公式 斯托克斯 Stokes 公式 散度和旋度的概念及計算 6 重積分 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用 平面圖形的面積 立體圖形的體積 曲面面積 弧長 質(zhì)量 質(zhì)心 轉(zhuǎn)動慣量 引力 功及流量等 5 1計算下述積分 2 d d D yxxy 其中 D 是矩形區(qū)域x1 20 y 5 2設(shè) 0Cxf且滿足方程 222 2 4 224 2 1 tyx t dxdyyxfetf 求 tf 5 3將均勻的拋物形體 22 1xyz 放在水平桌面上 證明 當(dāng)形體處于穩(wěn) 定平衡時 它的軸線與桌面的夾角為 3 2 arctan 5 4設(shè) 22 1D xy 證明 22 3 612 1655 sin D xydxdy 5 5設(shè) 02 02Dx xxy 1 計算1 D Bxydxdy 2 設(shè) f x y 在D上連續(xù) 且有 0 1 DD f x y dxdyxyf x y dxdy 試證 存在 D 使得 1 B f 5 6設(shè)函數(shù) f x在 0 1 上連續(xù) 證明 1 00 1 y f xfy edxedy 5 7已知 2 2 0 sin x dxa 求 2 sin D xy dxdy 其中 1 1Dx yxy 5 8計算 ab yaxb dyedx 00 max 2222 5 9計算曲線積分dyxyfdxyxyf ACB sin cos 其中ACB為連接 點 2 A與點 4 3 B的線段AB之下方的任意路線 且該路線與線段AB所圍成 的圖形的面積為1 xf是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù) 5 10求曲線積分dyaxyedxyxbyeI xx L cos sin 其中a與b為 正常數(shù) L為從點A 2a 0 沿曲線 2 2xaxy 到點O 0 0 的弧 5 11計 算 xy dxdyyz xdydz 其 中 為 柱 面 22 1xy 及 平 面 0 3zz 所圍成的空間閉區(qū)域 的邊界曲面的外側(cè) 5 12求曲線 ln ln 1xy 所圍成的平面圖形的面積 5 13設(shè)曲面S為曲線 e 0 y z x 1 2y 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下 側(cè) 計算曲面積分 2 4 d d2 d d 1 d d S Izxy zzz xzx y 5 14計算 2 xyzdV 其中 2 22 222 1 y xz abc 5 15計算 22 2 3 Ixyds 其中 2222 0 xyza xyz 0a 5 16計算 222 23 xyzdS 其中 222 2xyzy 5 17已知函數(shù) 2222 22 0 xyzxy f x y z zxy 1 0 n n n a n na 的斂散性 6 2設(shè)函數(shù) f x在0 x 的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 0 lim0 f x x x 證明 級數(shù) 1 1 n n f 絕對收斂 6 3證明 級數(shù) 1 1 2 n n n n 條件收斂 6 4設(shè) 0 sin 1 2 n n axx dx n 求 2 1 n n a n 的值 6 5討論級數(shù) 11111 321 24 2 1 xxx n n 的收斂性 6 6設(shè)函數(shù) x 在 連續(xù) 周期為1 且 1 0 0 dxx 函數(shù) xf在 1 0 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 設(shè) 1 0 dxnxxfan 求證 級數(shù) 1 2 n n a收斂 6 7對實數(shù)p 討論級數(shù) ln 2 n px nn n 的收斂域 6 8設(shè)正數(shù)列 n a單調(diào)增加 證明 級數(shù) 1 1 n a n 收斂的充要條件是級數(shù) 12 1 n n aaa n 收斂 6 9設(shè) 012 4 1 1 2 nn aaan na n 1 求冪級數(shù) 0 n n n a x 的和函數(shù) S x 2 求 S x的極值 6 10求冪級數(shù) 1 3 31 0 n n n n x 的收斂域與和函數(shù) 并求 1 31 0 n n n 的和 6 11求冪級數(shù) 4 4 0 n x n n 的和函數(shù) S x 6 12將函數(shù) 1 2 1 2 arctan x x f x 展開成x的冪級數(shù) 并求級數(shù) 1 21 0 n n n 的和 6 13求 21 1 lim 2 n nn nkk n k 6 14設(shè) 1 sin 1 p n x n x n adx 1 2 n 其中p為正數(shù) 證明 1 當(dāng)1p 時 級數(shù) 0 n n a 絕對收斂 2 當(dāng)01p 時 級數(shù) 0 n n a 收斂 6 15分析級數(shù) 3 2 1 sin 1 n n n 的收斂性 6 16設(shè)函數(shù) F x是函數(shù) f x的一個原函數(shù) 且 0 1 F cos2F x f xx 0 1 2 n n af x dx n 求冪級數(shù) 2 1 2 n an n n x 的收斂域與和函數(shù) 6 17求冪級數(shù) n n n a x 0 1 1 的收斂區(qū)間 并討論端點的斂散性 其中 0 1 n n na 發(fā) 散 且 0 1 Nnaa nn 時 2 1 nn an na 且 01 4 1aa 1 求冪級數(shù) 0 n n n a x 的和函數(shù) S x 2 求和函數(shù) S x 的極值 6 22設(shè)0 1 2 n un 且lim1 n n n u 求證 級數(shù) 1 1 1 11 1 n n nn uu