高考數(shù)學(xué)第九章平面解析幾何第8講圓錐曲線的綜合問(wèn)題第2課時(shí)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)與存在性問(wèn)題教案.docx

第2課時(shí)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)與存在性問(wèn)題圓錐曲線中的定值問(wèn)題(師生共研) (2018高考北京卷)已知拋物線C：y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)過(guò)點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值【解】(1)因?yàn)閽佄锞€y22px過(guò)點(diǎn)(1，2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k210，解得k0或0kb0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：ykxm與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：MF1N為定值解：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：由題意可知，l1的方程為x3，l2的方程為x3.直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(3，3km)，N(3，3km)，所以(2，3km)，(4，3km)，所以8m29k2.聯(lián)立得(9k28)x218kmx9m2720.因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化簡(jiǎn)得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N為定值.圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題(師生共研) (2020安徽省考試試題)已知橢圓C：1(ab0)的上頂點(diǎn)為P，右頂點(diǎn)為Q，直線PQ與圓x2y2相切于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且0，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)【解】 (1)由已知得直線OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率kOM2，則直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的方程為y，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為ykxn(n1)，聯(lián)立消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，滿足.此時(shí)l的方程為ykx，故直線l過(guò)定點(diǎn).求解定點(diǎn)問(wèn)題常用的方法(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明(2)“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程yy0k(xx0)來(lái)證明(2019高考北京卷)已知橢圓C：1的右焦點(diǎn)為(1，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l：ykxt(t1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N.若|OM|ON|2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)解：(1)由題意，得b21，c1，所以a2b2c22.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線AP的方程為yx1.令y0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM.又y1kx1t，從而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，則x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，0)圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(師生共研) (2019高考全國(guó)卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，|AB|4，M過(guò)點(diǎn)A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值？并說(shuō)明理由【解】 (1)因?yàn)镸過(guò)點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.連接MA，由已知得|AO|2，又，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1，0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于，故可得x2y24(x2)2，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1，0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)探索性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開(kāi)放思維，采取另外合適的方法是否存在過(guò)點(diǎn)E(0，4)的直線l交橢圓1于點(diǎn)R，T，且滿足？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：存在假設(shè)存在滿足題意的直線l，易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，0得(32k)264(34k2)0，解得k2.因?yàn)閤1x2，x1x2，所以y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16，故x1x2y1y216，解得k21.由解得k1，所以直線l的方程為yx4.故存在直線l：xy40或xy40滿足題意基礎(chǔ)題組練1(2020長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2x21的上、下焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則PF1F2的面積為()A. B1 C. D2解析：選C.設(shè)P(x0，y0)，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的過(guò)一、三象限的漸近線xy0上，因此可得x0y00.F1(0，)，F(xiàn)2(0，)，所以|F1F2|2，以F1F2為直徑的圓的方程為x2y22，又以F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以xy2.由，得|x0|1，于是SPF1F2|F1F2|x0|21，故選C.2直線l與拋物線C：y22x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，且滿足k1k2，則直線l過(guò)定點(diǎn)()A(3，0) B(0，3) C(3，0) D(0，3)解析：選A.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閗1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.將直線l：xmyb代入拋物線C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直線l的方程為xmy3，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(3，0)3(2020安徽合肥模擬)已知橢圓1(ab0)的離心率為，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則k1k2的值為 解析：由e21，得.設(shè)M(x，y)，A(m，n)，則B(m，n)，k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化簡(jiǎn)，可得k1k2.答案：4以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題：設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為正數(shù)，若|PA|PB|K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線1與橢圓y21有相同的焦點(diǎn)；已知拋物線y22px，以過(guò)焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切其中真命題為 (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))解析：A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為正數(shù)，|PA|PB|K，當(dāng)K|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故錯(cuò)誤；方程2x25x20的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故正確；雙曲線1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，橢圓y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，故正確；設(shè)AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，P為AB中點(diǎn)，A，B，P在準(zhǔn)線l上的射影分別為M，N，Q，因?yàn)锳PBPAMBN，所以PQAB，所以以AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線l相切，故正確故正確的命題有.答案：5(2020福建五校第二次聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，上頂點(diǎn)M到直線xy40的距離為3.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)(4，2)，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，證明：直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值解：(1)由題意可得，解得所以橢圓C的方程為1.(2)證明：易知直線l的斜率恒小于0，設(shè)直線l的方程為y2k(x4)，k0，得m或mb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，點(diǎn)A在橢圓C上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N時(shí)，能在直線y上找到一點(diǎn)P，在橢圓C上找到一點(diǎn)Q，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c1，因?yàn)锳在橢圓C上，所以2a|AF1|AF2|2，所以a，b2a2c21，所以橢圓C的方程為y21.(2)不存在滿足條件的直線，證明如下：設(shè)直線的方程為y2xt，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中點(diǎn)為D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，4t236(t28)0，所以y0，且3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以y1y4y2，y4y1y2t，又3t3，所以y41，與橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是1，1矛盾所以不存在滿足條件的直線規(guī)范答題示范(五)解析幾何類(lèi)型一定點(diǎn)、定值問(wèn)題 (12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1，證明：建橋?qū)ね黄?看到求點(diǎn)P的軌跡方程，想到先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用已知條件，采用代入法求軌跡方程.看到過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F，想到證明.規(guī)范解答(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)，1分由，得x0x，y0y，3分因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以1，5分因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.6分(2)證明：由題意知F(1，0)，設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，7分33mtn，8分(m，n)，(3m，tn)，9分由1得3mm2tnn21，10分又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以PF0，即OQPF，11分又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.12分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出和得1分；由，正確求出x0x，y0y得2分；代入法求出1得2分；化簡(jiǎn)成x2y22得1分；求出和得1分；正確求出的值得1分；正確求出和的坐標(biāo)得1分；由1得出3mm2tnn21得1分；得出得1分；寫(xiě)出結(jié)論得1分.解題點(diǎn)津(1)得分步驟：對(duì)于解題過(guò)程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫(xiě)全，如第(2)問(wèn)中求出3mm2tnn21就得分.(2)得分關(guān)鍵：對(duì)于解題過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，所以在答題時(shí)一定要寫(xiě)清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(2)問(wèn)一定要寫(xiě)出0，即，否則不得分，因此步驟才是關(guān)鍵的，只有結(jié)果不得分.核心素養(yǎng)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題，常與向量巧妙交匯，綜合考查考生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).類(lèi)型二最值、范圍問(wèn)題 (12分)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求建橋?qū)ね黄瓶吹絴EA|EB|為定值，想到點(diǎn)E的軌跡方程可能是橢圓.看到四邊形MPNQ面積的取值范圍，想到四邊形MPNQ對(duì)角線是否垂直，如何將四邊形分別分成三角形求面積，可能利用弦長(zhǎng)公式.規(guī)范解答(1)圓A整理為(x1)2y216，圓心A坐標(biāo)為(1，0)，如圖，因?yàn)锽EAC，則ACBEBD，由|AC|AD|，則ADCACD，2分所以EBDEDB，則|EB|ED|，所以|AE|EB|AE|ED|AD|4.4分所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為1(y0).6分(2)C1：1；設(shè)l：xmy1，因?yàn)镻Ql，設(shè)PQ：ym(x1)，聯(lián)立l與橢圓C1，得(3m24)y26my90；7分則|MN|yMyN|；8分圓心A到PQ距離d，9分所以|PQ|22，10分所以S四邊形MPNQ|MN|PQ|2412，8).12分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)得出ACBEBD，ADCACD得2分；得出|AE|EB|4得2分；寫(xiě)出E的軌跡為一個(gè)橢圓，得1分；寫(xiě)出橢圓方程1(y0)再得1分；聯(lián)立方程組得出(3m24)y26my90得1分；正確計(jì)算出弦長(zhǎng)|MN|得1分，錯(cuò)誤不得分；正確計(jì)算出圓心A到PQ距離d得1分；正確求出|PQ|得