高中數(shù)學教學論文 挖掘數(shù)學新教材中的美學因素及其教育.doc

挖掘數(shù)學新教材中的美學因素及其教育功能摘要：數(shù)學美是高中新課程教學中極具挖掘潛力的內(nèi)容之一。本文通過對高中數(shù)學新教材中教學內(nèi)容的美學因素的挖掘，闡述了數(shù)學美在培養(yǎng)學生的審美能力、激發(fā)學生的學習興趣和熱情、啟迪學生思維，開發(fā)學生智力和創(chuàng)造力、提高學生分析解決問題的能力和效率等方面的作用。關(guān)鍵詞：數(shù)學美；簡潔性；對稱性；和諧性；奇異性數(shù)學美源于人們的生產(chǎn)與生活中，是自然美的客觀反應(yīng)。普通高中數(shù)學課程標準指出課程目標之一是“開闊數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值，體會數(shù)學的美學意義”。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素質(zhì)是公民所備必的一種基本素質(zhì)，對數(shù)學的進一步認識和了解，可以使人獲得美的感受，數(shù)學的美不僅有生活中的美，更有思維領(lǐng)域的美，它體現(xiàn)在數(shù)學的簡潔性、和諧性、稱性性、奇異性等方面。一，挖掘新教材中的美學因素新教材中有豐富多彩的數(shù)學美學因素，下面主要從四個方面來挖掘教材中的美學內(nèi)容。1、簡潔性簡潔性是數(shù)學美的一個基本特征。它反映出自然的簡單性，是自然內(nèi)在的屬性，而不是人為的簡單規(guī)定。數(shù)學的簡潔性并不是指數(shù)學內(nèi)容本身簡單而主要表現(xiàn)在數(shù)學的邏輯結(jié)構(gòu)、方法和表達式的簡單性。如：5個12相乘，可以寫為1212121212，但是的表示方法卻要簡單得多了，以同樣的簡潔表示了更復雜的內(nèi)容；勾股定理，正弦正理，余弦定理等這些定理形式簡潔、內(nèi)容深刻、作用很大；平面的基本性質(zhì)之一：“不在同一條直線上的三點確定一個平面”體現(xiàn)了“三點定面”的簡單特性。在證明與自然數(shù)有關(guān)的問題時，數(shù)學歸納法不失為一種簡潔的方法；等差、等比數(shù)列的通項、前項n和可以用公式來表示，曲線和點的軌跡可以用方程來表示等等都表現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美。1、對稱性對稱性是數(shù)學美的主要表現(xiàn)形式之一。數(shù)學中的中心對稱、軸對稱和鏡面對稱，都給人以美感，這就是數(shù)學中的對稱美。例如：幾何中的許多圖形，圓、球、圓柱、圓錐、長方體、圓錐曲線等都體現(xiàn)了對稱美；代數(shù)中，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像的關(guān)于原點對稱，反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱都給人以賞心悅目之感；二項展開式等公式也顯示一種對稱美。2、和諧性數(shù)學的和諧性是指數(shù)學中部分與部分，部分與整體之間的和諧平衡與一致。通常表現(xiàn)為數(shù)學概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學與其它學科的統(tǒng)一。例如：平面幾何中梯形、三角形、平行四邊形、矩形的面積公式，可以統(tǒng)一為；立體幾何中柱體、錐體、臺體的體積公式可以統(tǒng)一為；解析幾何中，橢圓、雙線、拋物線的定義可以簡單地統(tǒng)一為圓錐曲線的第二定義；引入負數(shù)，有了相反數(shù)的概念后，有理數(shù)的加法和減法得到了統(tǒng)一，它們可以統(tǒng)一為代數(shù)和的形式；數(shù)、形本是數(shù)學研究的兩個獨立的對象，通過坐標系的建立，使點與數(shù)對建立了一一對應(yīng)，從而把它們統(tǒng)一為解析幾何。3、奇異性數(shù)學的奇異性是指數(shù)學結(jié)論或解決問題方法的新穎、奇巧、出乎意料，往往勾起思想上的震動，引起人們的贊賞與嘆服。在這種意義上奇異也是一種美，奇異到極點更是一種美。例如：用數(shù)形結(jié)合法，反證法，轉(zhuǎn)化法思想方法解題，用極限思想將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)都給人以奇特之美感；復數(shù)中，向量將復數(shù)運算與幾何統(tǒng)一起來；原函數(shù)與反函數(shù)之間的定義域與值域的相互變換，平面圖像與空間圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，三角形中三條高線、三條邊的中線、三個角的平分線交一點等都體現(xiàn)了奇異美。此外，高中數(shù)學中有很多平滑曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象，這些曲線畫起來流暢自然，無一不給人以美感的享受；正、余玄曲線、象波浪一樣滾滾前進，給我們運動的感覺，體驗到動感的美。二、挖掘數(shù)學美在教學中的作用高中數(shù)學新教材中，簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美比比皆是。數(shù)學教學過程中，挖掘教材中的美學因素，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，體驗數(shù)學美，培養(yǎng)學生的審美觀，充分發(fā)揮數(shù)學美在教學中的作用，將是非常有意義的工作。1、利用數(shù)學美激發(fā)學生的學習興趣和熱情正確的學習目的對學生學好數(shù)學固然重要，但所學材料的情趣和審美價值卻是學習的最佳剌激。數(shù)學教師應(yīng)當充分挖掘教材的美學因素，把數(shù)學教學組織成為發(fā)現(xiàn)，鑒賞，創(chuàng)造數(shù)學的過程。例1、在“橢圓的定義和標準方程”一節(jié)的教學中，應(yīng)始終抓住橢圓具有和諧美，對稱美的基本特征，從定義到建系設(shè)點；從列式到布列方程；從化簡到得出標準方程，無一不可以組織成為具有美學結(jié)構(gòu)，使學生在積極思考狀態(tài)中完成學習的一堂優(yōu)質(zhì)課。我認為這節(jié)課的教學應(yīng)該這樣處理：由|MF1|+|MF2|=2a得教師：方程能不能作為橢圓的方程？（稍后）完全可以！但是你滿意嗎？（稍后）不滿意！它不符合數(shù)學美的簡潔特征，有繼續(xù)化簡的必要。學生：（此時，求簡的意識油然而生）經(jīng)兩次平方（根式化簡的常規(guī)方法）整理得教師：此方程比方程簡單多了，但它不完全符合數(shù)學美的要求。我們從橢圓的對稱性，期望它的方程也應(yīng)具有對稱性。設(shè)得-橢圓的標準方程。教師最后指出：引進的字母b純粹是由對美的追求人為制造出來的。通過后面的學習，我們將會發(fā)現(xiàn)有著鮮明的幾何意義，并且果真符合對稱美的要求。教師通過精心設(shè)計，生動語言、精辟的分析、嚴密的推理、有機的聯(lián)系，定能使學生在美的熏陶中，體會到數(shù)學美的力量，從“學習數(shù)學枯燥無味”中解脫出來，進入其樂無窮的境地。這種心理上得到滿足，能不使學生喜愛數(shù)學嗎？2、利用數(shù)學美培養(yǎng)學生的審美能力首先教師要引導學生感知數(shù)學美，體驗數(shù)學美。通過具體數(shù)學知識的學習和問題的解決，點拔蘊含其中美的因素和美的方法，加深學生對美的認識與理解。這就要求教師在平時的教學中不斷地挖掘教材中的數(shù)學美的內(nèi)容。例2、對六組誘導公式的記憶，可以利用它們之間的和諧關(guān)系,把它們統(tǒng)一于式子，得到記憶法則只要用兩句簡潔的話“奇變偶不變，符號看象限”，就可以了。這創(chuàng)造性的語言，體現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一美。三角恒等變換中需要記憶的公式很多，我們可以從這些公式的內(nèi)在聯(lián)系入手，首先推導公式，然后從，得到兩角和與差的三角函數(shù)公式，令，又可得到兩倍角公式、，作角與式的變換，又可得到降冪公式、半角公式以及積化和差、和差化積公式。其次，教師要引導學生評判數(shù)學美，數(shù)學教育應(yīng)使學生獲得對數(shù)學美的分辨能力。在數(shù)學活動中，善于了解和掌握各種數(shù)學信息，指導學生能快速，敏捷地找出數(shù)學信息的不同之處，辯出真?zhèn)?，使?shù)學信息有序化，統(tǒng)一化。例3：一元二次方程的求根公式:,這一解無論從哪方面看都不對稱,不和諧、不美觀。但是,當我們了解它、運用它,就會感到它的價值,它的“內(nèi)秀”。這一公式會告訴我們許多信息:表示它的2個根,會顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì)。所以當你和它熟悉了,就會覺得它形式上不很漂亮,本質(zhì)卻是美好的。通過數(shù)學美對學生審美能力的培養(yǎng)，學生能在數(shù)學美享受中啟迪心靈，引起精神升華，陶冶情操，提高思想品德修養(yǎng)，潛移默化地培養(yǎng)科學世界觀，形成高尚的情操和對真理的執(zhí)著追求。3、利用數(shù)學美啟迪學生思維，開發(fā)學生智力和創(chuàng)造力簡單性可尋求問題的最優(yōu)解答或簡縮思維過程；統(tǒng)一性可對命題作出類比，推廣和引伸，從而發(fā)現(xiàn)新問題；對稱性可培養(yǎng)學生對立統(tǒng)一的思維方式，提供集中思維和發(fā)散思維的思路；奇異性可激發(fā)學生探索，發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新等精神。例4、正方體、等邊圓柱、球的表面積相同，其體積分別為，則大小關(guān)系為_。推證：設(shè)正方體的棱長為a，等邊圓柱底面半徑為r。球半徑為R，則所以而所以因為，所以這個例題，基礎(chǔ)好的同學可以推導出結(jié)論，但感覺很繁?；A(chǔ)較差的同學基本上就放棄了推證。若我就此只教會學生推證過程，所有同學都會感到數(shù)學枯燥無味，會失去對數(shù)學的積極情感，以致失去信心。于是我從問題與自然相互聯(lián)系的統(tǒng)一美、和諧美思考，提出兩個問題：1）、氣球為什么呈球形，而不是呈正方形、圓柱形？2）、人從瘦變胖，臉形怎樣變化？這時同學們活躍起來，先是不明白這與例題有何關(guān)系，再經(jīng)過討論又覺得真實可信，漸漸得以明白：表面積（表皮）一定時，以呈球形的容積最大。再推廣：表面積（表皮）一定時，表面越光滑的幾何體體積越大。這時，我再讓學生做如下例題：例題：正四面體和等邊圓錐表面積相等，體積哪個大？學生很快答出：等邊圓錐的體積較大。至此學生已經(jīng)在不自覺中接受了這種思維，但我沒有結(jié)束問題，而又提出上述問題伴隨的問題。使學生領(lǐng)略到思維中的奇異美。例5、正方體、等邊圓柱、球的體積相等，其表面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_。這次，學生很快就得出結(jié)論：S1S2S3。并總結(jié)：體積一定的幾何體，以球的表面積最小。這樣，學生對這個數(shù)學問題的掌握、理解就比較透，也有利增強學生的學習興趣，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識。也正是在這樣的教與學中，蘊含著數(shù)學思維的對稱美、奇異美、和諧美，讓人有返璞歸真的感覺。4、利用數(shù)學美提高學生分析解決問題的能力和效率出于數(shù)學美的考慮而導致解題思路的設(shè)計與發(fā)現(xiàn)，叫做以美啟真，這種解題策略將數(shù)學的簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美與問題的條件或結(jié)論相結(jié)合，再憑借知識、經(jīng)驗與審美直覺，從而確定解題總體思路或入手方向。于是，美的啟示就幫助學生提高分析解決問題的能力，從而形成了數(shù)學中的美學方法。例6、設(shè)x+y+z=0，分析：由已知可看出，條件具有對稱性，字母x，y，z分別作輪換，作為整體在輪換下保持不變，為追求欲求式中三項的和諧統(tǒng)一，審美直覺心理傾向于每個括號里各添一項，美化成關(guān)于的統(tǒng)一式解：原式=x+y+z=(x+y+z)-3=-3通過數(shù)學美的指引，獲得了解題的突破口，問題得到了完美的解決，使學生體會到數(shù)學美的作用。當學生真正領(lǐng)悟數(shù)學中的美學因素，所帶來的快感莫過問題的解適合心靈的需要，我們在解題教學中若能充分注意到這一點，將會大大促進學生邏輯思維的發(fā)展。如此的問題要靠我們教師在教學中挖掘并總結(jié)。我們應(yīng)充分利用數(shù)學的美學因素進行教學分析和解題研究，以便提高學生分析問題的能力和效率。以上觀點及論證，足以說明數(shù)學美學因素所起的作用，它在不知不覺中充當了目標取舍、方向確定、方式選擇的重要決策因素（這是審美能力的體現(xiàn)）。我們數(shù)學的教與學，若能更多地挖掘數(shù)學新教材中的美學因素，就會使學生靈活運用數(shù)學知識，活躍數(shù)學思維，進而增強學生對數(shù)學的積