中值定理與導(dǎo)數(shù)習(xí)題.doc

.習(xí)題3一、填空題1設(shè)，則有_個(gè)根，它們分別位于_區(qū)間；2函數(shù)在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的；函數(shù)與在區(qū)間上滿足柯西定理?xiàng)l件的；4函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的；6；7;8函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；9設(shè)在可導(dǎo)，則是在點(diǎn)處取得極值的條件；10函數(shù)在及取得極值，則；11. 函數(shù)的極小值是;12函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；13. 函數(shù)的極小值點(diǎn)是；14. 函數(shù)在上的最大值為，最小值為；14. 函數(shù)在的最小值為;15. 設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),則;16. 曲線的下凹區(qū)間為,曲線的拐點(diǎn)為;17. 曲線的上凹區(qū)間為;18. 曲線的拐點(diǎn)為;19. 若是的四次多項(xiàng)式函數(shù),它有兩個(gè)拐點(diǎn),并且在點(diǎn)處的切線平行于軸,那么函數(shù)的表達(dá)式是;20. 曲線的拐點(diǎn)為;21. 曲線的水平漸近線的方程是,垂直漸近線的方程是;22. 的垂直漸近線為; 水平漸近線為;23. 曲線在的曲率;24. 曲線的曲率計(jì)算公式為;25. 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率為;二. 單項(xiàng)選擇題1. 羅爾定理中的三個(gè)條件;在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且是在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得成立的( ).必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要2. 函數(shù)，則（ ）.在任意閉區(qū)間上羅爾定理一定成立； 在上羅爾定理不成立；在上羅爾定理成立 ； 在任意閉區(qū)間上，羅爾定理都不成立；3. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),且,則必有( ).; ; 4. 下列函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是( ).; ; ;5. 函數(shù),它在內(nèi)( ).不滿足拉格朗日中值定理的條件; 滿足拉格朗日中值定理的條件,且;滿足中值定理的條件,但無法求出的表達(dá)式;不滿足中值定理?xiàng)l件,但有滿足中值定理的結(jié)論.6. 若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且是內(nèi)任意兩點(diǎn),則至少存在一點(diǎn)使得下式成立( ).;7. 設(shè)是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),是內(nèi)的任意兩點(diǎn),則( ) .在之間恰有一個(gè),使得在之間至少存在一點(diǎn),使得對(duì)于與之間的任一點(diǎn),均有8. 若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)恒有,則必有( ).(常數(shù))9. 已知函數(shù),則方程有( ).分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;四個(gè)根,它們分別為;四個(gè)根,分別位于分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;10. 若為可導(dǎo)函數(shù),為開區(qū)間內(nèi)一定點(diǎn),而且有,則在閉區(qū)間上必總有( ).11. 若,則方程( ).無實(shí)根 有唯一實(shí)根 有三個(gè)實(shí)根 有重實(shí)根 12. 若在區(qū)間上二次可微,且 (),則方程在上( ).沒有實(shí)根 有重實(shí)根 有無窮多實(shí)根 有且僅有一個(gè)實(shí)根13. 求極限時(shí),下列各種方法正確的是( ). 用洛必達(dá)法則后,求得極限為0;因?yàn)椴淮嬖?所以上述極限不存在;原式=因?yàn)椴荒苡寐灞剡_(dá)法則,故極限不存在;14. 設(shè)為未定型, 則存在是也存在的( ).必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要條件15. 若與可導(dǎo), 且,則( ).必有存在,且 必有存在,且如果存在,且 如果存在,不一定有16. 函數(shù)在( ).單調(diào)增加 單調(diào)減少 單調(diào)增加,其余區(qū)間單調(diào)減少 單調(diào)減少,其余區(qū)間單調(diào)增加17. 已知在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且當(dāng)時(shí),有,又,則( ).在上單調(diào)增加, 且;在上單調(diào)增加, 且;在上單調(diào)減少, 且;在上單調(diào)增加, 但正負(fù)符號(hào)無法確定.18. 當(dāng)時(shí),有不等式( )成立.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)19. 函數(shù)的圖形,在( ).處處是凸的; 處處是凹的;為凸的,在為凹的 為凹的,在為凸的.20. 若在區(qū)間內(nèi),函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是( ).單調(diào)減少,曲線上凹; 單調(diào)增加,曲線上凹;單調(diào)減少,曲線下凹 單調(diào)增加,曲線下凹.21. 曲線的凹凸區(qū)間是( ).為其凹區(qū)間; 為其凸區(qū)間; 當(dāng)時(shí),曲線是凸的, 時(shí)是凹的;當(dāng)時(shí),曲線是凹的, 時(shí)是凸的;22. 曲線( ).有一個(gè)拐點(diǎn); 有二個(gè)拐點(diǎn); 有三個(gè)拐點(diǎn); 無拐點(diǎn);23. 若點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn),則( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 設(shè)函數(shù)在處有,在處不存在,則( ).及一定都是極值點(diǎn); 只有是極值點(diǎn);及都可能不是極值點(diǎn); 及至少有一個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn).25. 曲線 ( ).有極值點(diǎn),但無拐點(diǎn); 有拐點(diǎn),但無極值點(diǎn);是極值點(diǎn), 是拐點(diǎn); 既無極值點(diǎn)又無拐點(diǎn).26. 若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值,則( ).極大值一定是最大值,極小值一定是最小值;極大值一定是最大值,或極小值一定是最小值;極大值不一定是最大值,極小值不一定是最小值;極大值必大于極小值.27. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為( ).; 0 ; 1 ; 無最小值.28. 指出曲線的漸近線( ).沒有水平漸近線,也沒有斜漸近線;為垂直漸近線,無水平漸近線;既有垂直漸近線,又有水平漸近線;只有水平漸近線.29. 曲線的漸近線有( ).1條 ; 2條 ; 3條 ; 4條 ;30. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)于任意,當(dāng)時(shí)有,則( ).對(duì)于任意 ; 對(duì)于任意 ; 函數(shù)單調(diào)增加 ; 函數(shù)單調(diào)增加.31. 設(shè)函數(shù)在上則或的大小順序是( ).; ; .32. 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則( ).是的極大值; 是的極小值; 是曲線的拐點(diǎn); 不是的極值, 不是曲線的拐點(diǎn).33. 在區(qū)間內(nèi),方程( ).無實(shí)根 ; 有且僅有一個(gè)實(shí)根; 有且僅有兩個(gè)實(shí)根; 有無窮多個(gè)實(shí)根34. 設(shè)時(shí),與是同階無窮小,則為( ).1 ; 2 ; 3 ; 4 .35. 函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且為其極大值，則存在當(dāng)時(shí)，必有（ ）。； ；37 函數(shù)在取得極值，則（ ）。0 ； ； 1 ； 2 。38 下列曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是（ ）。； ； 。39 設(shè)為正整數(shù)，則（ ）。； 1 ； 0 ； 40 =（ ）。1 ； ； ； 。三. 計(jì)算題1. 求下列極限: ;2.求極限: ;3.求極限: ;4. 求極限: ; 5. 求極限: ;6. 求極限: ;7. 求極限: ;8. 求極限:; 9. 求極限: ; 10. 求極限: ; 11. 求極限: ; 12. 求極限: ;13. 求極限: ; 14. 求極限: . 15. 按(x-4)的冪展開多項(xiàng)式x4-5x3+x2-3x+4. 16. 應(yīng)用麥克勞林公式, 按x冪展開函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)3. 17. 求函數(shù)按(x-4)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式. 18. 求函數(shù)按(x+1)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式. 19.求函數(shù)f(x)=tan x的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階麥克勞林公式. 20. 判定函數(shù)f(x)=arctan x-x 單調(diào)性. 21. 判定函數(shù)f(x)=x+cos x (0x2p)的單調(diào)性.22. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=2x3-6x2-18x-7;23. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (x0); 24. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: ;25. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=(x-1)(x+1)3;26. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 27. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=xne-x (n0, x0);28. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=x+|sin 2x|. 29. 判定下列曲線的凹凸性: y=4x-x2 ;30. 判定下列曲線的凹凸性: (x0);31. 判定下列曲線的凹凸性: y=x arctan x ; 32. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間: .y=x3-5x2+3x+5 ;33. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間 : y=xe-x ;34. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間: y=(x+1)4+ex ;35. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間 : y=ln(x2+1);36. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2處曲線有水平切線, (1, -10)為拐點(diǎn), 且點(diǎn)(-2, 44)在曲線上. 37. 試決定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn).38. 求函數(shù)的極值: y=2x3-6x2-18x+7; 39. 求函數(shù)的極值: y=x-ln(1+x) ; 40. 求函數(shù)的極值: ; 41. 求函數(shù)的極值: ; 42. 求函數(shù)的極值: y=ex cos x ; 43. 求函數(shù)的極值: ; 44. 求函數(shù)的極值: y=x+tan x . 45. 試問a為何值時(shí), 函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.46. 求下列函數(shù)的最大值、最小值: y=2x3-3x2 , -1x4; 47. 問函數(shù)y=2x3-6x2-18x-7(1x4)在何處取得最大值？并求出它的最大值.48. 問函數(shù)(xb0, n1, 證明: nbn-1(a-b)an-bnb0, 證明: 9證明下列不等式:(1)|arctan a-arctan b|a-b|;(2)當(dāng)x1時(shí), exex .10證明方程x5+x-1=0只有一個(gè)正根. 11證明下列不等式: 當(dāng)x0時(shí), ;12. 證明下列不等式: 當(dāng)x0時(shí), ;13. 證明下列不等式: 當(dāng)時(shí), sin x+tan x2x; 14. 證明下列不等式: 當(dāng)時(shí), ; 15設(shè)=0, 證明多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+ +anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).16設(shè)f(x)在0, a上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)=0, 證明存在一點(diǎn)x(0, a), 使f(x)+xf (x)=0.17設(shè)0ab, 函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 試?yán)每挛髦兄刀ɡ? 證明存在一點(diǎn)x(a, b)使.18設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 且|f (x)|a時(shí), |f(x)-f(a)|g(x)-g(a). 19設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且連接點(diǎn)和的直線與交于點(diǎn)，證明：存在，使.20. 設(shè)在內(nèi)連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且為單調(diào)增函數(shù),令,證明:在為單調(diào)增函數(shù).21. 設(shè)函數(shù)對(duì)一切,滿足方程,證明:當(dāng)在點(diǎn)處取得極值,則此極值必是極小值.22. 證明: 當(dāng)時(shí),.五.應(yīng)用題1. 某車間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋, 現(xiàn)有存磚只夠砌20cm長(zhǎng)的墻壁, 問應(yīng)圍成怎樣的長(zhǎng)方形才能使這間小屋的面積最大？2. 某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓, 截面的面積為5m2, 問底寬x為多少時(shí)才能使截面的周長(zhǎng)最小, 從而使建造時(shí)所用的材料最??？ 3. . 從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形做成一漏斗(如圖), 問留下的扇形的中心角j取多大時(shí), 做成的漏斗的容積最大？4. 求內(nèi)接于橢圓 且兩邊分別平行于坐標(biāo)軸的面積最大的矩形.5. 欲作一個(gè)容積為3000的無蓋圓柱形蓄水池,已知池底單位面積造價(jià)為池壁單位面積造價(jià)的3倍,問蓄水池的尺寸怎樣設(shè)計(jì)才能使得總造價(jià)最省?6. 已知球的半徑為,試在它的內(nèi)接圓柱體中,求出具有最大側(cè)面積的圓柱體的底半徑與高.7