數(shù)學(xué)建模課后習(xí)題.doc

第一章課后習(xí)題6. 利用1.5節(jié)藥物中毒施救模型確定對于孩子及成人服用氨茶堿能引起嚴(yán)重中毒和致命的最小劑量。解：假設(shè)病人服用氨茶堿的總劑量為a，由書中已建立的模型和假設(shè)得出腸胃中的藥量為：由于腸胃中藥物向血液系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移率與藥量成正比，比例系數(shù)，得到微分方程 （1）原模型已假設(shè)時血液中藥量無藥物，則，的增長速度為。由于治療而減少的速度與本身成正比，比例系數(shù)，所以得到方程： （2）方程（1）可轉(zhuǎn)換為：帶入方程（2）可得：將和帶入以上兩方程，得：針對孩子求解，得：嚴(yán)重中毒時間及服用最小劑量：，；致命中毒時間及服用最小劑量：，針對成人求解：嚴(yán)重中毒時間及服用最小劑量：，致命時間及服用最小劑量：，課后習(xí)題7.對于1.5節(jié)的模型，如果采用的是體外血液透析的辦法，求解藥物中毒施救模型的血液用藥量的變化并作圖。解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以，x為胃腸道中的藥量，解得：用matlab畫圖:圖中綠色線條代表采用體外血液透析血液中藥物濃度的變化情況。從圖中可以看出，采取血液透析時血液中藥物濃度就開始下降。T=2時，血液中藥物濃度最高，為236.5；當(dāng)z=200時，t=2.8731，血液透析0.8731小時后就開始解毒。第二章1.用2.4節(jié)實物交換模型中介紹的無差別曲線的概念，討論以下的雇員和雇主之間的關(guān)系： 1）以雇員一天的工作時間和工資分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，畫出雇員無差別曲線族的示意圖，解釋曲線為什么是那種形狀； 2）如果雇主付計時費，對不同的工資率畫出計時工資線族，根據(jù)雇員的無差別曲線族和雇主的計時工資線族，討論雙方將在怎樣的一條曲線上達(dá)成協(xié)議； 3）雇員和雇主已經(jīng)達(dá)成了協(xié)議，如果雇主想使用雇員的工作時間增加到t2，他有兩種辦法：一是提高計時工資率，在協(xié)議線的另一點達(dá)成新的協(xié)議；二是實行超時工資制，即對工時仍付原計時工資，對工時付給更高的超時工資，試用作圖方法分析那種辦法對雇主更有利，指出這個結(jié)果的條件。 解： 1）雇員的無差別曲線族是下凸的，如圖。當(dāng)工資較低時，他愿意以多的工作時間換取少的工資；當(dāng)工資較高時，就要求以多的工資來增加工作時間。 2）雇主的計時工資族是，是工資率，這族直線與的切點，等的連線為雇員與雇主的協(xié)議線，通常是上升的，見圖： 3） 設(shè)雙方在點達(dá)成協(xié)議，當(dāng)雇主想使雇員的工作時間增至?xí)r，用提高計時工資率的辦法，應(yīng)在協(xié)議線上找出橫坐標(biāo)為的點，工資額為，見上圖，用超時工資的辦法，應(yīng)從點作某一條無差別曲線的切線，使切點P2的橫坐標(biāo)剛好是t2，若點P2在P2的下方，則工資額w2r，在每個生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產(chǎn)，畫出存貯量q(t)的圖形，設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1,單位時間每件產(chǎn)品存貯費為c2，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況。解: 貯存量q（t）的圖形如圖，單位時間總費用，使c（T）達(dá)到最小值的最優(yōu)周期。 當(dāng)kr時，相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況，當(dāng)時，產(chǎn)量被銷售量抵消，無法形成貯存量。 第四章1、某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進(jìn)行有價證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級，到期年限，收益如表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制:（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。表1 證券信息證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益/%A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145D政府134.4E市政524.5問:（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元的資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？1.1 問題分析 問經(jīng)理應(yīng)該如何投資實際上是在問對已知的幾種類型的證券要如何投資才能使得經(jīng)理的最終收益最大。應(yīng)該先對表中所給的幾種證券的各個數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，列出幾種證券投資后經(jīng)理的收益函數(shù)，同時使得該函數(shù)所得結(jié)果要滿足題目中給定的幾個限制。對于（2）、（3）問的求解只用調(diào)整相應(yīng)的限制條件和第一問函數(shù)的幾個三叔即可。1.2 模型建立（1)假設(shè)投資給證券A，B，C，D，E的資金分別為a，b，c，d，e（百萬元），經(jīng)理最終的收益為y（百萬元），則可以建立如下數(shù)學(xué)模型: 用LINGO軟件求解：得到如下結(jié)果： 證券A投資2.182百萬元，證券C投資7.364百萬元，證券E投資0.454百萬元；經(jīng)理最大稅后收益為0.298百萬元。(2) 由(1)的結(jié)果可知，若資金增加100萬元，收益可增加0.0298百萬元。大于以2.75%的利率借到100萬元資金的利息，所以應(yīng)借貸。修改（1）中的條件建立如下的心新模型：求解得到: 證券A投資2.40百萬元，證券C投資8.10百萬元，證券E投資0.50百萬元，最大稅后收益為0.3007百萬元。(3)由(1)的結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許范圍可知，證券A的稅前收益可增加0.35%，故若證券A的稅前收益增加為4.5%，投資不應(yīng)改變；證券C的稅前收益可減少0.112%(注意按50%的稅率納稅)，故若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)該改變。2、一家出版社準(zhǔn)備在某市建立兩個銷售代理點，向7個區(qū)的大學(xué)生售書，每個區(qū)的大學(xué)生數(shù)量（單位:千人）已經(jīng)表示在圖上。每個銷售代理點只能向本區(qū)和相鄰區(qū)的大學(xué)生售書，這兩點銷售代理點應(yīng)建立在何處，才能使所能供應(yīng)的大學(xué)生的數(shù)量最大？建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型并求解。圖12.2 問題分析首先簡化作圖，使得圖中的鄰里關(guān)系更加清楚，其次，通過假設(shè)0-1變量得到供應(yīng)量最大化的函數(shù)，由于一個地區(qū)不能被兩個銷售點供應(yīng)，所以得到七個限制條件，并由LINGO求解，得到一個0-1整數(shù)規(guī)劃問題的解.2.3 建立模型將大學(xué)生數(shù)量為34，29，42，21，56，18，71的區(qū)分別編號為1，2，3，4，5，6，7區(qū)，如圖所示：25 14637記r為第i區(qū)的大學(xué)生人數(shù)，用0-1變量=1表示(i,j)區(qū)的大學(xué)生由一個銷售代理點供應(yīng)圖書(ij且i,j相鄰)，否則=0。建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型： max 63x12+76x13+71x23+50x24+85x25+63x34+77x45+39x46+92x47+74x56+89x67 x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x672 x12+x131 x12+x23+x24+x251 x13+x23+x241 x24+x34+x45+x46+x471 x25+x45+x561 x46+x56+x671 x47+x671 xij=0或1用LINGO軟件求解：得到最優(yōu)解為x25 = x47 = 1,其余均為0，最優(yōu)解為177人。3、某儲蓄所每天的營業(yè)時間是上午9:00到下午5:00。根據(jù)經(jīng)驗，每天不同時間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如表所示： 表二 不同時間段要求的服務(wù)員數(shù)量時間段/時9 - 1010-1111-1212-11-22-33-44-5服務(wù)員數(shù)量43465688儲蓄所可以雇傭全時和半時兩類服務(wù)員。全時服務(wù)員每天報酬100元，從上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之間必須安排1h的午餐時間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時服務(wù)員，每個半時服務(wù)員必須連續(xù)工作4h,報酬40元。問該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時和半時兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時服務(wù)員，每天至少增加多少費用？如果該雇傭半時服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費用？3.2 問題分析先為午餐時間的服務(wù)人員假定一個人數(shù)，再利用題目所給的表中的各個時段服務(wù)人員的相應(yīng)限制人數(shù)來假定各個時段的無非人員人數(shù)。表中每個時段所需服務(wù)員人數(shù)可以得到若干個約束條件，目標(biāo)函數(shù)即為服務(wù)員數(shù)與工資的乘積得出，最小值即為最優(yōu)解。若不能雇傭半時服務(wù)員，則使其數(shù)量為零并重新修改原模型；如果雇傭半時服務(wù)員的人數(shù)沒有限制，則在原來模型的基礎(chǔ)上去掉關(guān)于半時工作人員數(shù)量的約束條件即可得出新的模型。3.3 模型建立儲蓄所每天雇傭的全時服務(wù)員中以12:00-1:00為午餐時間的有a名，以1:00-2:00為午餐時間的有b名；半時服務(wù)員中從9:00，10:00，11:00，12:00，1:00開始工作的分別為A,B,C,D,E名。 100*x+100*y+40*A+40*B+40*C+40*D+40*E; x+y+A4;x+y+A+B3;x+y+A+B+C4;y+A+B+C+D6;x+B+C+D+E5;x+y+C+D+E6;x+y+D+E;x+y+E8;A+B+C+D+E3;x,y,A,B,C,D,E0且為整數(shù)求解:得到最優(yōu)解x=3,y=4,A=0,B=0,C=2,D=0,E=1,最小費用為820元。如果不能雇傭半時服務(wù)員，則最優(yōu)解x=5，y=6,A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,最小費用為1100元，即每天至少增加1100-820=280元。如果雇傭半時服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，則最優(yōu)解為x=0,y=0,A=4,B=0,C=0,D=2,E=8，最小費用為560元，即每天可以減少費用820-560=260元。馬爾薩斯人口模型及阻滯增長模型1.1 時間:1790年-2000年繪圖代碼如下：t=1790:10:2000; x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4;p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x,r+,t,x1,b) %紅色的為原始數(shù)據(jù)，藍(lán)色的為擬合數(shù)據(jù) r=0.0202 ， x0=1.1960e-15圖型如下： 1.2 時間：1790年-1900年繪圖代碼：t=1790:10:1900;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0;p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1)x0=exp(p(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x,r+,t,x1,b) %紅色的為原始數(shù)據(jù)，藍(lán)色的為擬合數(shù)據(jù) r=0.0274，x0=1.9790e-21 圖像如下： 1、 阻滯增長模型clc;clear;t = 1790:10:1900;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0;x_m = x(1,1:11);y = ones(1,11);for i=1:11 y(i) = (x(i+1)-x(i)/x(i)/10;endp = polyfit(x_m,y,1);r = p(2);xm = r/-p(1); 計算得到：r=0.208 ， xm = 151.1570；繪制擬合曲線代碼：clear; clc;format compact;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6