圓錐曲線的一組生成方式_一道課本習題引發(fā)的探究性學習.pdf

圓錐曲線的一組生成方式 一道課本習題引發(fā)的探究性學習 黃元華 廣東省深圳市高級中學 在一堂高二圓錐曲線的復習課上 我講完一 道有關(guān)圓的課本習題后 靈機一動 設(shè)計了一次探 究性學習 原題再現(xiàn) 題目長為 的線段 的兩個端點 和 分別在 軸和 軸上滑動 求線段 的中點的 軌跡方程 此題即人教社普通高中課程標準實驗 教科書數(shù)學 必修 版第 頁 組第 題 解 設(shè)線段 中點 的坐標為 則 點 的坐標為 點 的坐標為 則 由已知有 槡 化簡可得點 的 軌跡方程為 課后探究 該題實際上給出了一種圓的定義 或者說一 種圓的生成方式 即由兩條相交直線和動線段中 點能生成圓 定理 長度為定值的線段的兩端點分別在兩 互相垂直的直線上滑動 則該線段中點的軌跡為 圓 圓心為兩直線交點 半徑為定值之半 上課時 我講到這里 突然想到 若適當改變 該題的條件 能否由兩條相交直線和動線段生成 其它圓錐曲線呢 若有可能 我們將可得到圓錐 曲線的一組新定義 我感到這是一個有探究價值 的好課題 何不把它交給學生去研究呢 下課前 我把這個探究課題交給學生 并對全班學生說 同學們六人一組 課后開展合作探究 要求寫成 書面報告 正好明天是兩節(jié)連堂課 明天上課時請 各組派代表上臺匯報研究成果 成果越多越好 但 須給出令人信服的證明或說明 同學們興奮異 常 但也有部分學生面有難色 因為他們從來沒有 遇見過這樣的數(shù)學作業(yè) 成果展示 第二天上課前 我查看了學生們交上來的書 面報告 他們改變了原題的部分條件 生成了圓之 外的其它圓錐曲線 其中不乏創(chuàng)新和精彩之處 上 課時各組代表爭先恐后登臺匯報研究成果 經(jīng)稍 加整理 分述如下 為了敘述方便 下面約定 是兩條相交 直線 交點為 夾角為 且 橢圓的生成方式之一 結(jié)論 長度為定值的線段的兩端點分別在 兩條相交 不垂直 直線上滑動 則該線段的中點 的軌跡為橢圓 設(shè)兩相交直線的夾角為 則離心率 槡 證明 設(shè) 為兩相交直線 夾角為 以它們夾角的平分線為 軸 以它們的 交點 為原點 建立直角坐標系 如圖 設(shè) 的方程分別為 其中 分別為 上的動點 且 為線 段 的中點 圖 設(shè) 則由已知有 槡 所以 年 第 卷 第 期 數(shù)學通報 即 所以 槡 即 所以 點 的軌跡方程為 當 即 時 此 時方程 表示長軸在 軸上的橢圓 長 短半軸 長分別為 橢圓的離心率 槡 槡 槡 槡 注 在本結(jié)論中 若兩條相交直線垂直 即 時 方程 即 此時點 的軌跡為圓 橢圓的生成方式之二 結(jié)論 長度為定值的線段 的兩端點分 別在兩條互相垂直的直線 上滑動 且 為 定值 則點 的軌跡為橢圓 證明 分別以 所在直線為 軸 軸建 立直角坐標系 如圖 設(shè) 則由定比分點坐標公式有 圖 烅 烄 烆 則 烅 烄 烆 又 則得 所以 所以點 的軌跡方程為 當 時 點的軌跡是焦點在 軸 上的橢圓 槡 當 時 點的軌跡是焦點在 軸上 的橢圓 槡 雙曲線的生成方式之一 結(jié)論 直線 交于 是 夾角平 分線上異于 的一定點 線段 過定點 且其 兩端點分別在 上滑動 則該線段中點的軌跡 是雙曲線 其實軸為線段 兩條漸近線分別與 平行 若設(shè)兩相交直線的夾角為 則雙曲線的虛軸長為 離心率 槡 證明 以 夾角的平分線為 軸 以線段 的中點為原點建立直角坐標系 如圖 設(shè) 則 的方程可分別設(shè)為 其 則由條件有 圖 所以 數(shù)學通報 年 第 卷 第 期 因為 四點共線 所以 即 即 即 化簡變形可得 故點 的軌跡是雙曲線 其實 半軸長為 虛半軸長為 漸近線方程為 雙曲線的離心率 槡 槡 槡 雙曲線的生成方式之二 結(jié)論 一線段的兩端點分別在兩相交直線 上滑動 且該線段與兩相交直線圍成三角形的面 積為定值 則該線段中點的軌跡是一對共軛雙 曲線 證明 以 的交點為原點 以 夾角 的平分線為 軸建立直角坐標系 如圖 設(shè) 則 的方程分 別為 其中 面積 即 又 圖 即 得 變形得 故 點的軌跡方程為 拋物線的生成方式 結(jié)論 動線段 的兩端點分別在兩條互 相垂直的直線上滑動 且 其中 為定值 則線段 中點的軌跡為兩條 拋物線 證明 分別以 所在直線為 軸 軸建 立直角坐標系 如圖 設(shè) 則 由 有 圖 又 烅 烄 烆 消去 得 故線段 中點 的軌跡方程為 得出此結(jié)論后 馬上有學生主動要求發(fā)言 生 此結(jié)論不美 生 此結(jié)論價值不大 生 此結(jié)論的發(fā)現(xiàn)者 很平靜地回答 此結(jié) 論得出后 并沒有想象中的興奮 因為表達式失去 了某種對稱的美 不過由于拋物線本身不是中心 對稱圖形 這種結(jié)果也是可以預見的了 掌聲 四起 其中既有理解 更有贊賞 師 結(jié)論美不美或者價值大不大并不重要 重 要的是同學們所體現(xiàn)出來的主動探索精神 最大 的價值在于探究本身 年 第 卷 第 期 數(shù)學通報 兩端點在兩相交直線上滑動的動線段還滿足 什么條件 它的中點軌跡是拋物線 筆者和學生 還在研究這個問題 但目前尚未得出令人賞心悅 目的結(jié)論 有興趣的讀者不妨一試 生成其他平面曲線 圖 結(jié)論 動 線 段 的 兩端點分別在兩條互相 垂直的直線上滑動 且垂 足到動線段所在直線的 距離為定值 則 動線段中點的軌跡方程 為 證明 分別以這兩 條互相垂直的直線為 軸 軸建 立直角坐標系 如圖 設(shè) 則由條件有 則 故直線 的方程為 即 由點到直線的距離公式 槡 變形 得 即點 的軌跡方程 師 該軌跡是什么曲線 生 我們首先發(fā)現(xiàn) 它關(guān)于 軸 軸 直線 直線 及原點對稱 然后用描點法畫 出了它的大致圖象 如圖 圖 師 給它取個名吧 生 既然它有四支 類比 雙曲線 的名字 就叫它 四曲線 吧 滿堂爆笑 結(jié)論匯總 下課前 分鐘 我與學生一道整理并總結(jié)本 次探究課得出的所有結(jié)論 兩相交直線 的夾角 動線段 所滿足的條件 在線段 上的位置 軌跡軌跡方程 為定長 中點圓 為定長 中點橢圓 為定長 橢圓 直線 過定點 定點位于 夾角平分線上 異于 中點雙曲線 的面積為定值 中點一對共軛雙曲線 中點一對拋物線 點到直線 的距離為 定值 中點 四曲線 延伸思考 本次臨時設(shè)計的探究課取得了意想不到的收 獲 學生的探究熱情 能力和成果均超乎我當初的 下轉(zhuǎn)第 頁 數(shù)學通報 年 第 卷 第 期 這位教師說 那可不行 那樣就出現(xiàn)了圓內(nèi) 角和圓外角的概念 超出了 課標 要求 增加概念 就增加了學生的負擔 我問其他老師 同意這位老師的意見嗎 有幾個教師點頭同意 面對這種現(xiàn)狀 我確實感到遺憾 學生甲的出 現(xiàn)給數(shù)學教育賦予了多么好的良機 如果讓學生 的 鼠標探索 進一步 將 明顯地拽回到圓內(nèi) 一個事實出來了 一條弧所對的圓內(nèi)角大于圓周 角 再將 拉到圓外 另一個事實有了 一條弧 所對的圓外角小于圓周角 雖然在探索和歸納上述結(jié)論時出現(xiàn)了圓內(nèi) 角 圓外角的概念 但是它絕不會給學生帶來負 擔 相反 會給理解和掌握圓周角的性質(zhì)帶來幫 助 有比較才有鑒別 一件事物的特征往往在與另 外事物的比較中才顯得更加清晰 另外 我們把三個結(jié)論 同弧所對的的圓周角 相等 同弧所對的圓內(nèi)角大于圓周角 同弧所對的 圓外角小于圓周角 綜合到一起 便得到結(jié)論 同 弧所對的圓周角相等 且同弧所對的相等的角的 頂點是共圓的 這個結(jié)論蘊含了四點共圓的判定 定理 這個定理的得到如此自然 在不知不覺中浮 現(xiàn)出來 也許有的教師又說 判定四點共圓不是 課 標 內(nèi)容 沒錯 我們并沒有刻意去學習四點共圓 的判定定理 我們也不準備圍繞它做大量的習題 但毋容置疑的是 它是課堂上學習過程的自然 導出 如果教師無視課堂上學生活生生的操作活動 和思維活動 刻意地捍衛(wèi)教師課前設(shè)計的教學流 程 那么課堂教學就死水一潭 表面上活躍的學生 活動 也只不過是教師導演的木偶劇 如果 課標 安排了什么就教什么 考綱 有什么就要求什么 其它內(nèi)容一概 屏蔽 那么 課標 考綱 上的內(nèi) 容學起來也費勁 學生在老師的嚴控下漸漸沉悶 了 是不會有大出息的 數(shù)學教育要讓學生的思維展開翅膀 不要搞 那么多禁區(qū) 只有不斷地放飛 才能變得結(jié)實 才 能飛得高 才能擴大視野 才能越飛越高興 參考文獻 張筑生 讓解題的思路來的自然 中等數(shù)學 喬治 波利亞著 閻育蘇譯 怎樣解題 北京 科學出版 社 上接第 頁 想象 在欣喜之余 筆者感觸良多 最大的感觸是 我們給學生創(chuàng)設(shè)的探究機會太少了 我們常常低 估了學生的能力 未給他們充分提供展示才能的 機會 卻抱怨學生動手能力 主動性差 其實問題 的根子在于我們教師自身 學問學問 是學 問 而不是學 答 我們的 學生天天都忙著學會解答老師給出的問題 幾乎 沒有自己獨立提出問題 然后盡己之力解決它的 機會 即我們的學生只學 答 從不學 問 這才 是我們培養(yǎng)出的人才缺乏創(chuàng)新能力的真正根源 創(chuàng)設(shè)盡可能多的機會讓學生去自主探究 應 成為中學教師的自覺行為與追求 探究性學習是 在學生不知道相關(guān)知識的前提下 讓學生通過一 個個科學探究性實驗來完成求知的過程 這是一 種區(qū)別于傳統(tǒng)教育的全新的課程理念 教師應努 力成為數(shù)學探究課題的創(chuàng)造者 應該為學生提供 較為豐富的數(shù)學探究課題的案例和背景材料 愛 因斯坦說過 提出一個問題往往比解決一個問題 更重要 因為解決問題也許僅僅是一個教學上或 實驗上的技能而已 而提出新的問題 新的可能 性 從新的