周炳坤激光原理課后習題答案.pdf

激光原理 激光原理 習題解答習題解答第一章第一章習題解答習題解答 1 為了使氦氖激光器的相干長度達到 1KM 它的單色性 0 應為多少 解答 設相干時間為 則相干長度為光速與相干時間的乘積 即 cLc 根據相干時間和譜線寬度的關系 c L c 1 又因為 00 0 0 c nm8 632 0 由以上各關系及數據可以得到如下形式 單色性 00 c L 0 10 12 10328 6 101 8 632 nm nm 解答完畢 2 如果激光器和微波激射器分別在 10 500nm 和 Z MH3000 輸出 1 瓦連續(xù)功率 問每秒鐘 從激光上能級向下能級躍遷的粒子數是多少 解答 功率是單位時間內輸出的能量 因此 我們設在 dt 時間內輸出的能量為 dE 則 功率 dE dt 激光或微波激射器輸出的能量就是電磁波與普朗克常數的乘積 即 d nhE 其中 n 為 dt 時間內輸出的光子數目 這些光子數就等于腔內處在高能級的激發(fā)粒子在 dt 時間輻射躍遷到低能級的數目 能級間的頻率為 由以上分析可以得到如下的形式 h dt h dE n 功率 每秒鐘發(fā)射的光子數目為 N n dt 帶入上式 得到 1 34 10626 6 1 s sJhdt n N s J 功率 每秒鐘發(fā)射的光子數 根據題中給出的數據可知 z H m msc 13 6 18 1 1 103 1010 103 z H m msc 15 9 18 2 2 105 1 10500 103 z H 6 3 103000 把三個數據帶入 得到如下結果 19 1 10031 5 N 18 2 105 2 N 23 3 10031 5 N 3 設一對激光能級為 E1 和 E2 f1 f2 相應的頻率為 波長為 能級上的粒子數密度分別為 n2 和 n1 求 a 當 3000 兆赫茲 T 300K 的時候 n2 n1 b 當 1 m T 300K 的時候 n2 n1 c 當 1 m n2 n1 0 1 時 溫度 T 解答 在熱平衡下 能級的粒子數按波爾茲曼統(tǒng)計分布 即 TK EE Tk h f f n n bb expexp 12 1 2 1 2 統(tǒng)計權重 21 ff 其中 123 1038062 1 JKkb為波爾茲曼常數 T 為熱力學溫度 a 99 0 1038062 1 10626 6 expexp 123 34 1 2 TkJ sJ Tk h n n b b 21 123 34 1 2 1038 1 1038062 1 10626 6 expexp TkJ c sJ Tk h n n b c K n n k c sJ n n k h T bb 3 1 2 34 1 2 1026 6 ln 10626 6 ln 4 在紅寶石調 Q 激光器中 有可能將幾乎全部 3 r C離子激發(fā)到激光上能級并產生激光巨脈沖 設紅 寶石棒直徑為 1cm 長度為 7 5cm 3 r C離子濃度為 319 102 cm 巨脈沖寬度為 10ns 求激光的最大 能量輸出和脈沖功率 解答 紅寶石調 Q 激光器在反轉能級間可產生兩個頻率的受激躍遷 這兩個躍遷幾率分別是 47 和 53 其中幾率占 53 的躍遷在競爭中可以形成 694 3nm 的激光 因此 我們可以把激發(fā)到高能級上的粒子數看 成是整個激發(fā)到高能級的 3 r C粒子數的一半 事實上紅寶石激光器只有一半的激發(fā)粒子對激光有貢獻 設紅寶石棒長為 L 直徑為 d 體積為 V 3 r C總數為 N 3 r C粒子的濃度為 n 巨脈沖的時間寬度 為 則 3 r C離子總數為 4 2L d nVnN 根據前面分析部分 只有 N 2 個粒子能發(fā)射激光 因此 整個發(fā)出的脈沖能量為 h nLd h N E 82 2 脈沖功率是單位時間內輸出的能量 即 8 2h nLdE P解答完畢 5 試證明 由于自發(fā)輻射 原子在 2 E能級的平均壽命為 21 1 A s 證明如下 根據自發(fā)輻射的定義可以知道 高能級上單位時間粒子數減少的量 等于低能級在單位時 間內粒子數的增加 即 sp dt dn dt dn 212 其中等式左邊表示單位時間內高能級上粒子數的變化 高能級粒子數隨時間減少 右邊的表示低能級上單位時間內接納的從高能級上自發(fā)輻射下來的粒子數 再根據自發(fā)輻射躍遷幾率公式 2 21 21 1 ndt dn A 把 221 21 nA dt dn sp 代入 式 得到 221 2 nA dt dn 對時間進行積分 得到 tAnn 21202 exp 其中 2 n隨時間變化 20 n為開始時候的高能級 具有的粒子數 按照能級壽命的定義 當 1 20 2 e n n 時 定義能量減少到這個程度的時間為能級壽命 用字母 s 表示 因此 1 21 s A 即 21 1 A s 證明完畢 6 某一分子的能級E4到三個較低能級E1 E2 和E3的自發(fā)躍遷幾率分別為 A43 5 10 7s 1 A 42 1 10 7s 1 A41 3 10 7s 1 試求該分子 E4能級的自發(fā)輻射壽命 4 若 1 5 10 7s 2 6 10 9s 3 1 10 8s 在對 E4連 續(xù)激發(fā)且達到穩(wěn)態(tài)時 試求相應能級上的粒子數比值 n1 n4 n2 n4和 n3 n4 并說明這時候在哪兩個能級間實 現了集居數 解 1 由題意可知 E4上的粒子向低能級自發(fā)躍遷幾率 A4 為 sAAAA 7777 4342414 109103101105 1 則該分子 E4能級的自發(fā)輻射壽命 s A 8 7 4 4 101 1 109 11 結論 如果能級 u 發(fā)生躍遷的下能級不止 1 條 能級 u 向其中第 i 條自發(fā)躍遷的幾率為 Aui 則能級 u 的 自發(fā)輻射壽命為 i ui N A 1 2 對E4連續(xù)激發(fā)并達到穩(wěn)態(tài) 則有 0 4321 nnnn 414 1 1 1 Ann 424 2 2 1 Ann 434 3 3 1 Ann 上述三個等式的物理意義是 在只考慮高能級自發(fā)輻射和 E1能級只與 E4能級 間有受激吸收過程 見圖 宏觀上表現為各能級的粒子數沒有變化 由題意可得 414 1 1 1 Ann 則15105103 77 141 4 1 A n n 同理 06 0106101 97 242 4 2 A n n 5 0101105 87 343 4 3 A n n 進一步可求得 250 2 1 n n 12 0 3 2 n n 由以上可知 在 E2和 E4 E3和 E4 E2和 E3能級間發(fā)生了粒子數反轉 7 證明 當每個模式內的平均光子數 光子簡并度 大于 1 時 輻射光中受激輻射占優(yōu)勢 證明如下 按照普朗克黑體輻射公式 在熱平衡條件下 能量平均分配到每一個可以存在的模上 即 hn Tk h h E b 1exp n為頻率為 的模式內的平均光子數 由上式可以得到 1exp 1 Tk h h E n b 又根據黑體輻射公式 n c h Tk h Tk h c h bb 3 33 3 8 1exp 1 1exp 18 根據愛因斯坦輻射系數之間的關系式 21 21 3 3 8 B A c h 和受激輻射躍遷幾率公式 2121 BW 則可 以推導出以下公式 21 21 21 21 21 21 3 3 8A W A B B A c h n 如果模內的平均光子數 n 大于 1 即 1 21 21 A W n 則受激輻射躍遷幾率大于自發(fā)輻射躍遷幾率 即輻射光中受 激輻射占優(yōu)勢 證明完畢 8 一質地均勻的材料對光的吸收系數為 1 01 0 mm 光通過 10cm 長的該材料后 出射光強為入射光 強的百分之幾 如果一束光通過長度為 1M 地均勻激勵的工作物質 如果出射光強是入射光強的兩倍 試求該物質的 41 A 42 A 43 A 4 E 3 E 2 E 1 E 增益系數 解答 設進入材料前的光強為 0 I 經過z距離后的光強為 zI 根據損耗系數 zIdz zdI1 的定義 可以得到 zIzI exp 0 則出射光強與入射光強的百分比為 8 36 100 100exp 100 10001 0 0 1 mmmm z ez I zI k 根據小信號增益系數的概念 zIdz zdI g 1 0 在小信號增益的情況下 上式可通過積分得到 140 0 0 0 0 00 0 1093 6 1000 2ln ln lnexpexp mm z I zI g I zI zg I zI zgzgIzI 解答完畢 激光原理 習題解答第二章習題解答 1 試利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔 即任意傍軸光線在其中可以往返無限次 而且兩次往返即自行閉 合 證明如下 共焦腔的定義 兩個反射鏡的焦點重合的共軸球面腔為共焦腔 共焦腔分為實共焦腔和虛共 焦腔 公共焦點在腔內的共 焦腔是實共焦腔 反之是虛共焦腔 兩個反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對稱共 焦腔 可以證明 對稱共焦腔是實雙凹腔 根據以上一系列定義 我們取具對稱共焦腔為例來證明 設兩個凹鏡的曲率半徑分別是 1 R和 2 R 腔長為L 根據對稱共焦腔特點可知 LRRR 21 因此 一次往返轉換矩陣為 211121 22 2 1 2 1 22 1 22 12 2 1 R L R L R L R L RR R L L R L DC BA T 把條件LRRR 21 帶入到轉換矩陣 T 得到 10 01 DC BA T 共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子 1 2 1 1 DA 如果 1 2 1 DA或者 1 2 1 DA 則諧振腔是臨界腔 是否是穩(wěn)定腔要根據情況來定 本題中 因此可以斷定是介穩(wěn)腔 臨界腔 下面證明對稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔 經過兩個往返的轉換矩陣式 2 T 10 01 2 T 坐標轉換公式為 1 1 1 1 1 12 2 2 10 01 rrr T r 其中等式左邊的坐標和角度為經過兩次往返后的坐標 通過上邊的式子可以看出 光線經過兩次往返后回 到光線的出發(fā)點 即形成了封閉 因此得到近軸光線經過兩次往返形成閉合 對稱共焦腔是穩(wěn)定腔 2 試求平凹 雙凹 凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件 解答如下 共軸球面腔的 21 2 21 222 1 2 1 RR L R L R L DA 如果滿足 1 2 1 1 DA 則腔 是穩(wěn)定腔 反之為非穩(wěn)腔 兩者之間存在臨界腔 臨界腔是否是穩(wěn)定腔 要具體分析 下面我們就根據以上的內容來分別求穩(wěn)定條件 對于平凹共軸球面腔 221 2 21 2 1 222 1 2 1 R L RR L R L R L DA 1 R 所以 如果1 2 11 2 R L 則是穩(wěn)定腔 因為L和 2 R均大于零 所以不等式的后半部分一定成立 因此 只要滿足1 2 R L 就能滿足穩(wěn)定腔的條件 因此 1 2 R L 就是平凹腔的穩(wěn)定條件 類似的分析可以知道 凸凹腔的穩(wěn)定條件是 LRR 21 0 且LRR 21 雙凹腔的穩(wěn)定條件是 LR 1 LR 2 第一種情況 LR 1 LR 2 且LRR 21 第二種情況 2 21 L RRR 對稱雙凹腔 求解完畢 3 激光腔的諧振腔由一曲率半徑為 1M 的凸和曲率半徑為 2M 的凹面鏡構成 工作物質長度為 0 5M 其折 射率為 1 52 求腔長 1 L在什么范圍內諧振腔是穩(wěn)定的 解答如下 設腔長為 1 L 腔的光學長度為L 已知IMR 1 MR2 2 ML5 0 0 1 1 52 1 2 根據 21 2 21 222 1 2 1 RR L R L R L DA 代入已知的凸凹鏡的曲率半徑 得到 2 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 LL MM L M L M L DA 因為含有工作物質 已經不是無源腔 因此 這里 L 應該是光程的大小 或者說是利用光線在均勻介質里 傳播矩陣 即 52 1 5 0 1 5 0 1 2 0 1 01 LLLL L 代入上式 得到 2 112 52 1 5 0 1 5 0 52 1 5 0 1 5 0 11 2 1 LL LLDA 要達到穩(wěn)定腔的條件 必須是 1 2 1 1 DA 按照這個條件 得到腔的幾何長度為 17 217 1 1 L 單位是米 解答完畢 5 有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器 腔長 L 30CM 方形孔徑邊長為 d 2a 0 12CM 632 8nm 鏡的反 射率為 r1 1 r2 0 96 其他損耗以每程 0 003 估計 此激光器能否做單模運轉 如果想在共焦鏡面附近加 一個方形小孔光闌來選擇 TEM00模 小孔的邊長應為多大 試根據圖 2 5 5 作一大略的估計 氦氖激光器 增益由公式 d l e lg4 1031 0 估算 其中的 l 是放電管長度 分析 如果其他損耗包括了衍射損耗 則只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數 增 益大于損耗 則可產生激光振蕩 如果其他損耗不包括衍射損耗 并且菲涅爾數小于一 則還要考慮衍射損耗 衍射損耗的大小可以根 據書中的公式 00 10 9 10 4 94N來確定 其中的 N 是菲涅爾數 解答 根據 d l e lg4 1031 0 可以知道單程增益 g0L ln 1 0 0003L d 0 0723 由于反射不完全引起的損耗可以用公式 2 1 24 或者 2 1 25 來衡量 根據 2 1 24 得到 r 0 5lnr1r2 0 0204 根據題意 總的損耗為反射損 其他損耗 因此單程總損耗系數為 0 0204 0 0003 g0L 如果考慮到衍射損耗 則還要根據菲涅爾數來確定衍射損系數 此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅爾數為 N a2 L 7 6 菲涅爾數大于一很多倍 因此可以不考慮衍射 損耗的影響 通過以上分析可以斷定 此諧振腔可以產生激光振蕩 又根據氦氖激光器的多普勒展寬達到 1 6GHZ 而縱模及橫模間隔根據計算可知很小 在一個大的展寬范圍內可以后很多具有不同模式的光波振蕩 因此 不采取技術措施不可能得到基模振蕩 為了得到基模振蕩 可以在腔內加入光闌 達到基模振蕩的作用 在腔鏡上 基模光斑半徑為 cm L os 2 1046 2 因此 可以在鏡面上放置邊長為 2 0s的光闌 解答完畢 6 試求出方形鏡共焦腔面上 30 TEM模的節(jié)線位置 這些節(jié)線是等距分布嗎 解答如下 方形鏡共焦腔自再現模滿足的積分方程式為 dydxeyxe L i yx a a a a L yyxx ik mn ikL mnmn 經過博伊德 戈登變換 在通過厄密 高斯近似 可以用厄密 高斯函數表示鏡面上場的函數 L yxc nmmnmn ey L Hx L HCyx 22 22 L yx L yx ex L x L Cey L Hx L HCyx 2222 2 12 2 8 22 3 30033030 使 0 30 yx 就可以求出節(jié)線的位置 由上式得到 l xx 2 2 3 0 3 21 這些節(jié)線是等距的 解答完畢 7 求圓形鏡共焦腔 20 TEM和 02 TEM模在鏡面上光斑的節(jié)線位置 解答如下 圓形鏡共焦腔場函數在拉蓋爾 高斯近似下 可以寫成如下的形式 m m e r L r Cr s r s n m m s mnmn sin cos 22 2 0 2 2 0 2 0 這個場對應于 mn TEM 兩個三角函數因 子可以任意選擇 但是當 m 為零時 只能選余弦 否則整個式子將為零 對于 20 TEM 2sin 2cos 22 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2020 s r ss e r L r Cr 并且1 2 2 0 2 2 0 s r L 代入上式 得到 2sin 2cos2 2 0 2 2 0 2020 s r s e r Cr 我們取余弦項 根據 題中所要求的結果 我們取 02cos 2 2 0 2 2 0 2020 s r s e r Cr 就能求出鏡面上 節(jié)線的位置 既 4 3 4 02cos 21 對于 02 TEM 可以做類似的分析 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 202 2 0 2 0 2 0 0 0202 222 ss r s r ss e r LCe r L r Cr 4 0 4 2 0 2 2 0 2 0 2 24 1 2 sss rrr L 代入上式并使光波場為零 得到 0 24 1 2 2 0 2 4 0 4 2 0 2 0 0 0202 s r sss e rrr Cr 顯然 只要0 24 1 2 4 0 4 2 0 2 2 0 2 0 2 sss rrr L 即滿足上式 最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為 ss rr 0201 2 2 1 2 2 1 解答完畢 8 今有一球面腔 兩個曲率半徑分別是 R1 1 5M R2 1M L 80CM 試證明該腔是穩(wěn)定腔 求出它的等 價共焦腔的參數 在圖中畫出等價共焦腔的具體位置 解 共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是 1 2 1 1 DA 這個公式具有普適性 教材 36 頁中間文字部分 對于簡單共軸球面腔 可以利用上邊式子的變換形式10 21 gg判斷穩(wěn)定性 其中 i i R L g 1 題中 15 8 11 1 1 R L g 10 8 11 2 2 R L g 093 0 21 gg 在穩(wěn)定腔的判別范圍內 所以是穩(wěn)定腔 任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價 一個一般穩(wěn)定球面腔唯一對應一個共焦腔 他們的行波 場是相同的 等價共焦腔的參數包括 以等價共焦腔的腔中心為坐標原點 從坐標原點到一般穩(wěn)定球面兩個腔鏡面 的坐標 1 Z和 2 Z 再加上它的共焦腔的鏡面焦距F 這三個參數就能完全確定等價共焦腔 根據公式 激光原理 p66 2 8 4 得到 M RLRL LRL Z18 0 18 05 18 0 8 018 0 21 2 1 M RLRL LRL Z62 0 18 05 18 0 8 05 18 0 21 1 2 235 0 18 05 18 0 8 015 18 05 18 018 0 22 21 21122 RLRL LRRLRLRL F 因此MF485 0 等價共焦腔示意圖略 9 某二氧化碳激光器采用平 凹腔 L 50CM R 2M 2a 1CM 波長 10 6 m 試計算鏡面上的 光斑半徑 束腰半徑及兩個鏡面上的損耗 解 此二氧化碳激光器是穩(wěn)定腔 其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無窮大 根據公式 激光原理 p67 2 8 6 或 2 8 7 得到 M ggg g L ggg g ss 66 4 1 211 2 4 1 211 2 01 1022 2316 110687 1 11 M ggg g L ggg g ss 66 4 1 212 1 4 1 212 1 02 10997 8333 510687 1 11 其中第一個腰斑半徑對應平面鏡 上式中 L S 0 是這個平凹腔的等價共焦腔鏡面上的腰斑半徑 并且根據一般穩(wěn)定球面腔與等價共焦腔的性質 他們具有同一個束腰 根據共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關系可知 M S 193 1 414 1 687 1 2 0 0 作為穩(wěn)定腔 損耗主要是衍射損 衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數有關 在損耗不大的情況下 是倒數 關系 即 N 1 根據公式 激光原理 p69 2 8 18 或 2 8 19 分別求出兩個鏡面的菲涅爾數 6 2 6 4 2 1 2 1 1 10615 1 1022 21416 3 1025 0 s ef a N 4 2 6 4 2 1 2 1 1 10831 9 10997 81416 3 1025 0 s ef a N 根據衍射損耗定義 可以分別求出 7 1 1 102 6 1 ef N 5 2 2 1002 1 1 ef N 10 證明在所有菲涅爾數 L a N 2 相同而曲率半徑 R 不同的對稱穩(wěn)定球面腔中 共焦腔的衍射損耗 最低 這里 L 表示腔長 a 是鏡面的半徑 證明 在對稱共焦腔中 22 2 21 21 21 RR f RR LRR 11 今有一平面鏡和一個曲率半徑為 R 1M 的凹面鏡 問 應該如何構成一個平 凹穩(wěn)定腔以獲得最 小的基模遠場發(fā)散角 畫出光束發(fā)散角與腔長的關系 解答 我們知道 遠場發(fā)散角不僅和模式 頻率 有關 還和腔的結構有關 根據公式 2 6 14 得到 f 2 0 如果平面鏡和凹面鏡構成的諧振腔所對應的等價共焦腔焦距最大 則可以獲得最小的基模 光束發(fā)散角 mf RLRL LRRLRLRL f25 0 max 2 21 21122 代入發(fā)散角公式 就得到最小發(fā)散角為 4 25 0 22 0 f 發(fā)散角與腔長的關系式 llf 1 22 0 13 某二氧化碳激光器材永平凹腔 凹面鏡的 R 2M 腔長 L 1M 試給出它所產生的高斯光束的束腰 腰斑半徑的大小和位置 該高斯光束的焦參數和基模發(fā)散角 解答 M LRR LRRLRLRL F1 2 2 21 2112 M F 84 1 1416 3 6 10 0 rad F 3 0 0 1067 3128 1 2 14 某高斯光束束腰光斑半徑為 1 14MM 波長 10 6 M 求與束腰相距 30 厘米 100 厘米 1000 米遠處的光斑半徑及相應的曲率半徑 解答 根據公式 激光原理 p71 2 9 4 2 9 6 2 2 0 0 2 0 11 z f z z 把不同距離的數據代入 得到 MMcm45 130 CMm97 210 Mm97 21000 曲率半徑 2 2 0 1 z zzR 與不同距離對應的曲率半徑為 McmR79 030 MmR015 1010 MmR10001000 15 若已知某高斯光束的束腰半徑為 0 3 毫米 波長為 632 8 納米 求束腰處的 q 參數值 與束腰距離 30 厘米處的 q 參數值 與束腰相距無限遠處的 q 值 解答 束腰處的 q 參數值實際上就是書中的公交參量 激光原理 p73 2 9 12 iiifq68 44 2 0 0 根據公式 激光原理 p75 2 10 8 zqzq 0 可以得到 30 厘米和無窮遠處的 q 參數值分別為 iqq68 44303030 0 無窮遠處的參數值為無窮大 16 某高斯光束束腰半徑為 1 2 毫米 波長為 10 6 微米 現在用焦距 F 2cm 的鍺透鏡聚焦 當束腰與 透鏡距離分別為 10 米 1 米 10 厘米和 0 時 求焦斑大小和位置 并分析結果 解答 根據公式 激光原理 p78 2 10 17 和 2 10 18 當束腰與透鏡距離 10 米時 M lF F 4 2 2 2 0 2 2 0 2 0 同理可得到 解答完畢 17 二氧化碳激光器輸出波長為 10 6 微米的激光 束腰半徑為 3 毫米 用一個焦距為 2 厘米的凸透鏡 聚焦 求欲得到焦斑半徑為 20 微米及 2 5 微米時 透鏡應該放在什么位置 解答 根據公式 激光原理 p78 2 10 18 2 2 0 2 2 0 2 2 0 lF F 上式中束腰到透鏡的距離 l 就是我們要求的參數 其他各個參數都為已知 代入題中給出的數據 并 對上式進行變換 得到 2 2 0 2 0 2 0 2 F Fl 當焦斑等于 20 微米時 Ml395 1 透鏡距束腰的距離 當焦斑等于 2 5 微米時 Ml87 23 此提要驗證 18 如圖 2 2 所示 入射光波廠為 10 6 微米 求 0 及 3 l 解答 經過第一個透鏡后的焦斑參數為 2 2 0 2 11 2 0 2 1 2 0 lF F 2 2 0 2 11 2 111 1 Fl FFl Fl 經過第二個透鏡后的焦參數為 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 lF F 2 2 0 2 2 2 22 13 Fl FFl Fl 2 lll 解方程可以求出題中所求 19 某高斯光束束腰腰斑半徑為 1 2 毫米 波長為 10 6 微米 現在用一個望遠鏡將其準直 主鏡用曲 率半徑為 1 米的鍍金反射鏡 口徑為 20 厘米 副鏡為一個焦距為 2 5 厘米 口徑為 1 5 厘米的鍺透鏡 高 斯光束束腰與透鏡相距 1 米 如圖所示 求該望遠鏡系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率 解答 根據公式 激光原理 p84 2 11 19 2 2 0 2 11 l M f l MM 其中 1 2 F F M 為望遠鏡主鏡與副鏡的焦距比 題中的反射鏡 相當于透鏡 且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距 已知 MM2 1 0 M 6 10 CMF5 2 1 CM R F50 2 2 CMa5 12 1 CMa202 2 Ml1 經過驗證 光斑在第一個透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸 衍射效應很小 因此可以用 準直倍率公式 代入準直倍率公式得到 97 5011 2 2 01 2 2 2 0 l F Fl MM 解答完畢 20 激光器的諧振腔有兩個相同的凹面鏡組成 它出射波長為 的基模高斯光束 今給定功率計 卷 尺以及半徑為 a 的小孔光闌 試敘述測量該高斯光束焦參數 f 的實驗原理及步驟 設計如下 首先明確焦參數的構成元素為腰斑半徑 0 波長 及 參數 根據提供的數據 激光器的波長為 已知 我們不可能直接測量腔內的腰斑半徑 因為是對稱腔 束腰在腔內 只能通過技術手段測量發(fā)射出 來的光波場的腰斑半徑 然后利用 2 1 f zf z 這里的 z 是由激光器腔中心到光功率計的 距離 用卷尺可以測量 光功率計放置在緊貼小孔光闌的后面 沿著光場橫向移動 測量出 z 把測 量的 z 和 z 代入公式 可以求出焦參數 設計完畢 以上只是在理論上的分析 實際中的測量要復雜得多 實驗室測量中會用透鏡擴束及平面 鏡反射出射光 增加距離進而增加測量精度 21 二氧化碳激光諧振腔由兩個凹面鏡構成 兩個鏡面的曲率半徑分別是 1 米和兩米 光腔長度為 0 5 米 問 如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置 才能使它構成該諧振腔的自再現光束 解答 高斯光束的自再現條件是 激光原理 p84 2 12 1 及 2 12 2 00 ll 0qllq cc 根據公式 激光原理 p78 2 10 17 及 2 10 18 2 2 0 2 2 0 2 2 0 lF F 經過曲率半徑為 1 米的反射鏡后 為了保證自再現條件成立 腔內的束腰半徑應該與經過反射鏡的高 斯光束的束腰相同 因此得到 2 2 0 2 11 2 1 1 lF F 1 同理 經過第二個反射鏡面也可以得到 2 2 0 2 22 2 2 1 lF F 2 Lll 21 3 根據以上三個式子可以求出 1 l 1 l 0 Ml375 0 1 Ml125 0 2 M 63 1 0 解答完畢 22 1 用焦距為 F 的薄透鏡對波長為 束腰半徑為 0 的高斯光束進行變換 并使變換后的高斯 光束的束腰半徑 0 0 此稱為高斯光束的聚焦 在fF 和 2 0 ffF兩種情況下 如 何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離 2 在聚焦過程中 如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變 如 何選擇透鏡的焦距 F 解答 1 根據 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 flF F lF F 可知 1 2 2 2 2 0 2 0 flF F 即02 22 fFll 通過運算可得到 22 fFFl 或者 22 fFFl 舍去 2 參考 激光原理 p81 2 l一定時 0 隨焦距變化的情況 23 試用自變換公式的定義式 0 qllq cc 激光原理 p84 2 12 2 利用 q 參數來推導出自變換條 件式 2 2 0 1 2 1 l lF 證明 設高斯光束腰斑的 q 參數為 2 0 0 iifq 腰斑到透鏡的距離為l 透鏡前表面和后表面的 q 參 數分別為 1 q 2 q 經過透鏡后的焦斑處 q 參數用 c q表示 焦斑到透鏡的距離是 c l l 透鏡的焦距為 F 根據 q 參數變換 可以求出前表面 后表面 及焦斑處的 q 參數 分別是 透鏡前表面 lqq 01 透鏡后表面 Fqq 111 12 焦斑的位置 cc lqq 2 把經過變換的 1 1 2 qF Fq q 代入到焦斑位置的 q 參數公式 并根據自再現的條件 得到 lqq iifqq ll l qF Fq lqq c c ccc 01 2 0 0 1 1 2 由此可以推導出 2 2 0 1 2 1 l lF 證明完畢 24 試證明在一般穩(wěn)定腔中 其高斯模在腔鏡面處的兩個等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率 半徑 證明 設一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是 1 R 2 R 腔長為L 坐標取在這個穩(wěn)定腔的等價共焦腔中心上 并 且坐標原點到鏡面的距離分別是 1 z和 2 z 等價共焦腔的焦距為f 根據 25 試 從 式 221 211 RlLl 和 112 211 RlLl 導 出0 1 2 1 CBll 其 中 的 21 2 2 2 RRL RLL B 21 21 2RRL RLLR C 并證明對雙凸腔04 2 CB 解答 略 26 試計算MR1 1 ML25 0 CMa5 2 1 CMa1 2 的虛共焦腔的 單程 和 往返 若想保持 1 a不變并從凹面鏡 1 M端單端輸出 應如何選擇 2 a 反之 若想保持 2 a不 變并從凸面鏡 2 M輸出 1 a如何選擇 在這兩種情況下 單程 和 往返 各為多大 解答 虛共焦腔的特點 2 1 21 2 1 2 2 2 1 1 1 2121 21 1 2 22 R R mmM R R a a m a a m gggg L RR 激光原理 p91 96 2 1 1 1 1 M M 往返 單程 激光原理 p97 2 1511 2 15 12 根據 50 5 02 1 1 1 12 1 2 單程 單程 mRLR R R M 同理 75 1 1 2 M 往返 單端輸出 如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端輸出平面波 并使腔內振蕩光束全部通過激活物質 則 凹面鏡和凸透鏡的選區(qū)要滿足 01 aa M a a 0 2 其中的 a 分別代表 按角標順序 工作物質的半 徑 凹面鏡半徑 凸面鏡半徑 1 實施意義上的單面輸出 從凸面鏡端輸出 按照圖 激光原理 p96 圖 2 15 2a 為了保證從凸面鏡 到凹面鏡不發(fā)生能量損失 則根據圖要滿足 1 2 1 2 1 2 2 2 a a R R R R 因為凸面鏡的尺寸不變 所以在曲率半徑給定的條件下 凹面鏡的半徑應該 為 CM R R aa2 1 1 21 2 從凹面鏡端輸出 只要保證有虛焦點發(fā)出的光到達凹面鏡后的反射光 平行光 正好在凸面鏡的限 度范圍內 則可保證從凹面鏡單端輸出 因此 此時只要滿足 21 aa 即可 因此CMa5 2 2 這兩種情況下的單程和往返損耗略 解答完畢 第三章習題 1 試由式 3 3 5 導出式 3 3 7 說明波導模的傳輸損耗與哪些因素有關 在其他條件不變時 若 波導半徑增大一倍 損耗將如何變化 若 減小到原來的21 損耗又將如何變化 在什么條件 下才能獲得低的傳輸損耗 解 由 2 1 2 1 1 2 ka i ka u k nnm nm 及 nmnmnm i 可得 Im 2 1 2 1 1 Re 2 n nm nmnm kaka u k Re 2 Re 2 2 1 Im 3 2 0 22 n nm n nm nmnm a u kaka u k 波導模的傳輸損耗 nm 與波導橫向尺寸a 波長 0 波導材料的折射率實部以及不同波導模對應得 不同 nm u值有關 a 波導半徑增大一倍 損耗減為原來的 8 1 b 波長減小到原來的一半 損耗減為原來的 4 1 獲得低的傳輸損耗應增大波導橫向尺寸 選擇折射率實部小的介質材料和 nm u小的波導模 2 試證明 當 為實數時 若02 2 最低損耗模為 01 TE模 而當02 2 時 為 11 EH模 并證 明 01 TE模的損耗永遠比 01 TM模低 證明 模對 模對 模對 nm m m nm nm EH TM TE a u 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 0 2 2 0 2 3 2 0 2 3 3 8 對于以上三種不同模 參看書中表 3 1 對于同一種模式 m越小 損耗越小 因此以下考慮 01 TE 01 TM 11 EH模之間誰最小 11 EH中1 n最小 題中設 為實數 顯然1 所以 0101 0101 TETM 只需 考慮 01 TE與 11 EH 當1 1 2 22 11 2 01 11 01 11 01 u u EH TE 時 11 EH小02 2 當1 11 01 11 01 EH TE 時 01 TE小02 2 3 BeO在m 6 10波長時033 0 Re n 試求在內徑為mma4 12 的BeO波導管中 11 EH模 和 12 EH模的損耗 11 a和 12 a 分別以 1 cm 1 m以及mdB來表示損耗的大小 當通過cm10長的這 種波導時 11 EH模的振幅和強度各衰減了多少 以百分數表示 解 由 Re 2 3 2 0 2 n nm nm a u 1315 11 1058 1cm1058 1 m m dB1037 1686 8L 2 1111 1315 12 1034 8cm1034 8 m m dB1024 7L 2 12 當10cmz 時 02 0 0 1 E zE 04 0 0 1 I zI 4 試計算用于m 6 10波長的矩形波導的 11 a值 以 1 cm及mdB表示 波導由BeO制成 033 0 Re n mma4 12 計 算 由 2 SiO制 成 的 同 樣 的 波 導 的 11 a值 計 算 中 取 37 1 Re n 解 Re 8 1 3 2 0 11n a BeO 1513 11 1035 11035 1 cmm mdBL012 0686 8 1111 2 SiO 141 11 106 5056 0 cmm mdBL487 0686 8 1111 5 某二氧化碳激光器用 2 SiO作波導管 管內徑mm4 12 a 取 37 1Re n 管長 10cm 兩端對 稱地各放一面平面鏡作腔鏡 試問 為了 11 EH模能產生振蕩 反射鏡與波導口距離最大不得超過多少 計算中激活介質增益系數 1 01cm 0 解 14 n 3 2 2 11 11 cm10575 6Re 2 u a 10cmz 時 0907 1ee z2ggz 110 而 平 面 反 射 鏡 所 產 生 的 耦 合 損 耗 為4 0 f z 2 3 11 f z 57 0C 其 中 a6435 0 f 0 2 0 為使 11 EH模能產生振蕩則要求 1C1e 11 gz 得 66cm 1277f 0z 即反射鏡與波導口距離不得超過 1 66cm 第四章第四章 1 靜止氖原子的 42 23PS 譜線中心波長為 632 8 納米 設氖原子分別以 0 1C O 4C O 8C 的速度向著 觀察者運動 問其表觀中心波長分別變?yōu)槎嗌?解答 根據公式 激光原理 P136 c c 1 1 0 由以上兩個式子聯立可得 0 C C 代入不同速度 分別得到表觀中心波長為 nm C 4 572 1 0 nm C 26 414 4 0 nm C 9 210 9 0 解答完畢 驗證過 2 設有一臺麥克爾遜干涉儀 其光源波長為 試用多普勒原理證明 當可動反射鏡移動距離 L 時 接收 屏上的干涉光強周期性的變化 L2次 證明 對于邁氏干涉儀的兩個臂對應兩個光路 其中一個光路上的鏡是不變的 因此在這個光路中不存在多普勒 效應 另一個光路的鏡是以速度 移動 存在多普勒效應 在經過兩個光路返回到半透鏡后 這兩路光分 別保持本來頻率和多普勒效應后的頻率被觀察者觀察到 從半透境到觀察者兩個頻率都不變 觀察者感受 的是光強的變化 光強和振幅有關 以上是分析內容 具體解答如下 無多普勒效應的光場 tEE 2cos 0 產生多普勒效應光場 tEE 0 2cos 在產生多普勒效應的光路中 光從半透經到動鏡產生一次多普勒效應 從動鏡回到半透鏡又產生一次多普 勒效應 是在第一次多普勒效應的基礎上 第一次多普勒效應 c 1 第二次多普勒效應 ccc 2 111 2 在觀察者處 t c t c tE t c tEEEE 2cos22cos2 2 12cos2cos 0 021 觀察者感受到的光強 t c I I 22cos1 2 0 顯然 光強是以頻率 c 2為頻率周期變化的 因此 在移動的范圍內 光強變化的次數為 L c LL c t c 22 22 證明完畢 驗證過 3 在激光出現以前 Kr86低氣壓放電燈是最好的單色光源 如果忽略自然加寬和碰撞加寬 試估計在 77K 溫度下它的 605 7 納米譜線的相干長度是多少 并與一個單色性 10 8的 H e Ne激光器比較 解 根據相干長度的定義可知 c Lc 其中分母中的是譜線加寬項 從氣體物質的加寬類型看 因 為忽略自然和碰撞加寬 所以加寬因素只剩下多普勒加寬的影響 根據 P138 頁的公式 4 3 26 可知 多普勒加寬 2 1 0 7 1016 7 M T D 因此 相干長度為 cm M T cc L D c 4 89 1016 7 2 1 0 7 根據題中給出的氦氖激光器單色性及氦氖激光器的波長 632 8 納米 可根據下述公式得到氦氖激光器的相 干長度 cm cc Lc632810108 632 89 2 可見 即使以前最好的單色光源 與現在的激光光源相比 相干長度相差 2 個數量級 說明激光的相干性 很好 4 估算 CO2氣體在 300K 下的多普勒線寬 D 若碰撞線寬系數 49MHZ Pa 討論在什么氣壓范圍內從非 均勻加寬過渡到均勻加寬 解 根據 P138 頁的公式 4 3 26 可知 多普勒加寬 ZD MH M T 53 1016 7 2 1 0 7 因為均勻加寬過渡到非均勻加寬 就是 LD 的過程 據此得到 P LD 得出PaP D3 1008 1 結論 氣壓 P 為 1 08 103Pa 時 是非均勻加寬與均勻加寬的過渡閾值 當氣壓遠遠大于 1 08 103Pa 的情 況下 加寬主要表現為均勻加寬 驗證過 5 氦氖激光器有下列三種躍遷 即 3S2 2P4的 632 8 納米 2S2 2P4的 1 1523 微米和 3S2 3P4的 3 39 微米的躍 遷 求 400K 時他們的多普勒線寬 并對結果進行分析 解 根據 P138 頁的公式 4 3 26 可分別求出不同躍遷的譜線加寬情況 3S2 2P4的 632 8 納米的多普勒加寬 GHz M Tc M T D 5 1 1016 7 1016 7 2 1 0 7 2 1 0 7 2S2 2P4的 1 1523 微米的多普勒加寬 GHz M Tc M T D 83 0 1016 7 1016 7 2 1 0 7 2 1 0 7 3S2 3P4的 3 39 微米的多普勒加寬 GHz M Tc M T D 28 0 1016 7 1016 7 2 1 0 7 2 1 0 7 由以上各個躍遷的多普勒線寬可見 按照結題結果順序 線寬是順次減少 由于題中線寬是用頻率進行描 述 因此頻率線寬越大 則單色性越好 驗證過 6 考慮二能級工作系統(tǒng) 若 E2能級的自發(fā)輻射壽命為 S 無輻射躍遷壽命為 nr 假設 t 0 時激光上能級 E2的粒子數密度為 n2 0 工作物質的體積為 V 發(fā)射頻率為 求 1 自發(fā)輻射功率隨時間的變化規(guī)律 2 E2能級的原子在其衰減過程中發(fā)出的自發(fā)輻射光子數 3 自 發(fā)輻射光子數與初始時刻 E2能級上的粒子數之比 2 解 1 根據 P11 相關內容 考慮到 E2的能級壽命不僅僅是自發(fā)輻射壽命 還包括無輻射躍遷壽命 因此 E2能級的粒子數變化規(guī)律修正為 t entn 0 22 其中的 與 S nr的關系為 nrS 111 為 E2能級的壽命 在時刻 t E2能級由于自發(fā)和無輻射躍遷而到達下能級的總粒子數為 Vtn 2 由于自發(fā)輻射躍遷而躍遷到激光下能級的粒子數為 212 VAtn 因此由于自發(fā)輻射而發(fā)射的功率隨時間的 變化規(guī)律可以寫成如下形式 t S ehVnhVAtntP 1 0 221221 2 由上式可知 在 t t dt 時間內 E2能級自發(fā)輻射的光子數為 dteVndtVAtndt h tP dn t S 1 0 2212 21 21 則在 0 的時間內 E2能級自發(fā)輻射的光子總數為 VndteVndtVAtndt h tP dnn S t S 0 1 0 2 0 2 0 212 0 21 2121 3 自發(fā)輻射光子數與初始時刻能級上的粒子數之比為 S Vn n 0 2 21 2 此題有待確認 7 根據激光原理 4 4 節(jié)所列紅寶石的躍遷幾率數據 估算抽運幾率 13 W等于多少時紅寶石對波長 694 3 納米 的光透是明的 對紅寶石 激光上 下能級的統(tǒng)計權重為4 21 ff 且計算中可不考慮光的各種損耗 解答 已知紅寶石的 17 32 105 0 SS 15 31 103 SA 13 21 103 0 SA 0 21 S 0 31 S 分析如下 增益介質對某一頻率的光透明 說明介質對外界光場的吸收和增益相等 或者吸收極其微弱 以至于對進入的光場強度不會產生損耗 對于本題中的紅寶石激光器 透明的含義應該屬于前者 根據公式 2112221112 321 32321212212121 2 32313131 3 BBfBfB nnnn SnSAnWnWn dt dn SAnWn dt dn 激光原理 P146 4 4 22 由上邊的第二項和第四項 可以得到 323212122121 32321212212121 2 SnSAnnnB SnSAnWnWn dt dn 1 又因為小信號下 粒子數翻轉剛剛達到閾值 2132 AS 因此0 3 n 且0 3 dt dn 由此 方程組的第一個式子可以轉變?yōu)?3231 131 3 SA Wn n 代入 1 式 得到 3231 32131 212122121323212122121 2 SA SWn SAnnnBSnSAnnnB dt dn 既然對入射光場是透明的 所以上式中激光能級發(fā)射和吸收相抵 即激光上能級的粒子數密度變化應該與 光場無關 并且小信號時激光上能級的粒子數密度變化率為零 得到 212121 3231 32131 21212 3231 32131 212122121 2 0 0 nnnnB SA SWn SAn SA SWn SAnnnB dt dn 最后得到 12 32 31 2113 1018 31 S S A AW 解答完畢 驗證過 11 短波長 真空紫外 軟 X 射線 譜線的主要加寬是自然加寬 試證明峰值吸收截面為 2 2 0 證明 根據 P144 頁吸收截面公式 4 4 14 可知 在兩個能級的統(tǒng)計權重 f1 f2的條件下 在自然加寬的情況 下 中心頻率 0處吸收截面可表示為 N vA 1 4 2 0 2 2 21 12 1 上式 s N 2 1 P133 頁公式 4 3 9 又因為 s A 1 21 把 A21和 N的表達式代入 1 式 得到 2 2 0 21 證畢 驗證過 12 已知紅寶石的密度為 3 98g cm3 其中 Cr2O3所占比例為 0 05 質量比 在波長為 694 3nm 附近的峰 值吸收系數為 0 4cm 1 試求其峰值吸收截面 T 300K 解 分析 紅寶石激光器的 Cr3 是工作物質 因此 所求峰值吸收截面就是求 Cr3 的吸收截面 根據題中所給資料可知 Cr2O3的質量密度為 3 98g cm3 0 05 1 99 10 3g cm3 摩爾質量為 52 2 16 3 152g mol 設