78章《控制工程基礎習題詳解》高等教育出版社 20106.pdf

第七章 系統(tǒng)的設計與校正 127 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 內(nèi)容提要 一 校正的基本方式 1 串聯(lián)校正 2 反饋校正 3 復合校正 二 線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律 1 比例控制 teKtm p 2 微分控制 de t m t dt 3 積分控制 0 t i m tKe t dt 三 常用校正裝置 一 無源校正裝置 1 無相移校正裝置 比例控制器 KsGc 1 K 2 相位超前校正裝置 11 1 1 Ts G s Ts 3 滯后校正裝置 1 1 1 c TS G s TS 二 有源校正裝置 常用的有源校正裝置由運算放大器和阻容元件構(gòu)成 根據(jù)連接方式的不同 可分為 P 控 制器 PI 控制器 PD 控制器和 PID 控制器等 c u t 1 Z 2 Z r u t 圖 7 1 比例控制器 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 128 四 串聯(lián)校正 1 增益校正 2 相位超前校正 3 相位滯后校正 4 相位滯后 超前校正 五 PID 校正器的設計 1 二階系統(tǒng)最優(yōu)模型 2 高階系統(tǒng)最優(yōu)模型 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 129 7 1 在系統(tǒng)校正中 常用的性能指標有哪些 答 時域性能指標和頻域性能指標 7 2 試分別求出題圖 7 2 a 和 b 超前網(wǎng)絡和滯后網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) 并繪制伯德圖 解 a 由題圖 7 2 a 可得系統(tǒng)的微分方程為 1 rc c uidtu c u i R 對上述微分方程在零初始條件下進行拉普拉斯變換 然后消去中間變量 得系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 為 1 CRs G s CRs 繪出系統(tǒng)的伯德圖如題圖 7 2 c 所示 b 由題圖 7 2 b 可得系統(tǒng)的微分方程為 題圖 7 2 r u c u C R a c u r u C R b 0 L RC T 1 decdB20 0 90 題圖7 2 c 超前網(wǎng)絡的伯德圖 0 L RC T 1 decdB20 0 90 題圖7 2 d 滯后網(wǎng)絡的伯德圖 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 130 1 rc ct uRiu uid c 對上述微分方程在零初始條件下進行拉普拉斯變換 然后消去中間變量 得系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 為 1 1 G s CRs 繪出系統(tǒng)的伯德圖如題圖 7 2 d 所示 7 3 某單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 64 6 2 0 sss sG 1 計算校正前系統(tǒng)的剪切頻率和相位裕度 2 串聯(lián)傳遞函數(shù)為 12 0 1 s s sGc 的超前校正裝置 求校正后系統(tǒng)的剪切頻率和相位裕度 3 串聯(lián)傳遞函數(shù)為 1100 110 s s sGc 的滯后校正裝置 求校正后系統(tǒng)的剪切頻率和相位裕度 4 討論串聯(lián)超前 串聯(lián)滯后校正的不同作用 解 1 繪出校正前系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性曲線 如題圖 7 3 a 中曲線 L所示 由圖 7 3 a 得出待校正系統(tǒng)的剪切頻率為srad c 1 1 算出待校正系統(tǒng)的相位裕度為 3 51 6 4 arctan90180 1 2 1 1 1 c c c 2 給系統(tǒng)串聯(lián)傳遞函數(shù)為 12 0 1 s s sGc的超前校正裝置后 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 12 0 1 64 6 2 0 s s sss sGsGsG c 在題圖 7 3 a 中 曲線 1 c L為校正裝置的對數(shù)幅頻漸近線 曲線 L 為校正后系統(tǒng)的對 數(shù)幅頻漸近線 由題圖 7 3 a 可知 校正后系統(tǒng)的剪切頻率仍為srad c 1 1 但是由于 串入了一個超前裝置 使得系統(tǒng)相頻特性曲線發(fā)生變化 在剪切頻率處的相位相對未校正前 的相位有所增加 從而相位裕度增大 即 1 1 11 2 1 1 4 18090 arctanarctanarctan0 2 85 6 c c cc c ooo 通過上述分析 可以看到 校正后系統(tǒng)的相位裕度由原來的 3 51增大到 85 但是剪切頻 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 131 率沒變 MATLAB 參考程序 graph731 m w 0 1 1 100 G0 tf 6 1 4 6 0 Gc1 tf 1 1 0 2 1 G series G0 Gc1 x0 y0 bd asymp G0 w xc1 y1c bd asymp Gc1 w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc1 yc1 b semilogx x y k grid hold off 3 給系統(tǒng)串聯(lián)傳遞函數(shù)為 1100 110 s s sGc 的滯后校正裝置后 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1100 110 64 6 2 0 s s sss sGsGsG c 在題圖 7 3 b 中 曲線 2 c L為校正裝置的對數(shù)幅頻漸近線 曲線 L 為校正后系統(tǒng)的對 數(shù)幅頻漸近線 由題圖 7 3 b 可知 校正后系統(tǒng)的剪切頻率為srad c 1 0 2 由于串入 了一個滯后裝置 使得系統(tǒng)的相頻特性有所下降 從而相位裕度減小 即 題圖7 3 a 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線 srad 0 L 1 c L L 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 132 2 2 22 2 2 0 1 4 18090 arctanarctan10arctan100 46 83 6 c c cc c ooo 通過上述分析 可以看到 校正后系統(tǒng)的相位裕度由原來的 3 51減小到 83 46 4 相位超前校正既能提高系統(tǒng)的響應速度 保證系統(tǒng)的其他特性不變 相位滯后校正減小了穩(wěn)態(tài)誤差而又不影響穩(wěn)定性和響應的快速性 MATLAB 參考程序 graph732 m w 0 001 1 100 G0 tf 6 1 4 6 0 Gc2 tf 10 1 100 1 G series G0 Gc2 x0 y0 bd asymp G0 w xc2 yc2 bd asymp Gc2 w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc2 yc2 b semilogx x y k grid hold off 7 4 如題圖 7 4 所示 最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性為 L 串聯(lián)校正裝置對數(shù)幅 頻漸近特性為 c L 題圖7 3 b 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線 srad 2 c L 0 L L 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 133 1 求未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 0 Gs及串聯(lián)校正裝置 sGc 2 在圖中畫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性 L 并求校正后系統(tǒng)的相位裕度 3 簡要說明這種校正裝置的特點 解 1 求 0 sG和 sGc 確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)的個數(shù) 因為對數(shù)幅頻特性的低頻段漸近線的斜率為 decdB20 故有1 v 確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式 在10 處 斜率變化decdB20 對應慣性環(huán)節(jié) 在 100 處 斜率變化decdB20 對應慣性環(huán)節(jié) 因此系統(tǒng)應具有下述傳遞函數(shù) 101 0 11 0 0 sss K sG 由給定條件確定傳遞函數(shù)參數(shù) 由于低頻漸近線通過點 20 10 故 20lg20 10 K 解得100 K 于是 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 101 0 11 0 100 0 sss sG 繪制出待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性線 如題圖7 4 a 中曲線 0 L所示 同樣可求得串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)為 12 5 1 50 c s G s s L dB 題圖7 4 20dBdec 20dBdec 60dBdec L 20 40 60 80 20 40 60 rad s c L L 0 11 101000 02 0 01 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 134 其對應的對數(shù)幅頻漸近特性線 如題圖7 4 a 中曲線 c L所示 2 校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 10012 5 1 0 1 1 0 01 1 50 s G s ssss 題圖7 4 a 中曲線 L為對應的對數(shù)幅頻漸近特性曲線 點劃線 由題圖7 4 a 中可測得校正后系統(tǒng)的剪切頻率為srad c 5 從而求得校正后的相位 裕度為 01 56 50arctan5 2arctan01 0arctan1 0 arctan90180 5 c cccc 3 此為滯后校正 采用原系統(tǒng) 0 L的decdB20 做校正后系統(tǒng)的中頻段 使相位裕 度增加 動態(tài)性能之平穩(wěn)性變好 截止頻率降低 快速性變差 抗干擾性能增強 MATLAB 參考程序 graph74 m w 0 01 1 1000 G0 tf 100 conv 1 0 conv 0 1 1 0 01 1 Gc tf 2 5 1 50 1 G series G0 Gc srad 0 L c L L 題圖7 4 a 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近線 MATLAB 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 135 x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off 7 5 單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 500 5 K Gs s s 采用超前校正 使校正后系統(tǒng)速度誤差系數(shù)sKv 100 相位裕度 45 解 1 將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為時間常數(shù)的標準式 0 100 0 21 K G s ss 由題意 有 100100 v KK 取1K 則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 100 0 21 G s ss 2 繪制出待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近曲線 如題圖7 5 a 中曲線 0 L所示 由題 圖7 5 a 得待校正系統(tǒng)的剪切頻率為srad c 4 22 算出待校正系統(tǒng)的相位裕度為 6 122 0arctan90180 c 根據(jù)題目要求 有 4 4086 1245 m 3 假設超前校正裝置的傳遞函數(shù)為 1 1 1 1 c Ts G sKK Ts a 確定超前裝置的參數(shù) 和T 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 136 由于 4 40 1 1 arcsin m 則 7 4 b dB7 67 4lg10lg10 在題圖7 5 a 中曲線 0 L上dB7 6 處的 取為新的剪切頻率 即 c 由題圖7 5 a 可 求出 srad mc 9 32 根據(jù) m T 1 可求得 014 0 T c 超前校正裝置的傳遞函數(shù)為 s ss sGc 014 01 066 01 014 01 014 07 41 d 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 s s ss sG 014 01 066 01 12 0 100 srad 0 L c L L 題圖7 5 a 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 137 題圖7 5 a 中 c L為校正環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性漸近線 L為校正后系統(tǒng)的的對數(shù)幅頻 特性漸近線 4 MATLAB 驗證 待校正系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖如題圖7 5 b 所示 單位階躍響應如題圖 7 5 d 所示 系統(tǒng)穩(wěn)定 測得 sradc1 22 8 12 3 70 p M stp14 0 2 25 sts 校正后系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖如題圖7 5 c 所示 單位階躍響應如題圖7 5 e 所示 系統(tǒng)穩(wěn)定 測得 題圖7 5 e 校正后系統(tǒng)的時間響應 題圖7 5 c 校正后系統(tǒng)的伯德圖 題圖7 5 b 待校正系統(tǒng)的伯德圖 題圖7 5 d 待校正系統(tǒng)的時間響應 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 138 sradc7 32 2 49 23 p M stp086 0 2 17 0 sts 通過比較可知 校正后系統(tǒng)的超調(diào)量下降 穩(wěn)定裕度提高 響應的快速性明顯提高 系統(tǒng)的 動態(tài)性能得到較好改善 MATLAB 參考程序 graph75 m w 0 1 1 1000 G0 tf 100 conv 1 0 0 2 1 Gc tf 0 066 1 0 014 1 G series G0 Gc h tf 1 1 G0h feedback G0 h Gh feedback G h x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off figure 2 margin G0 grid figure 3 margin G grid figure 4 step G0h grid figure 5 step Gh grid 7 6 單位負反饋最小相位系統(tǒng)開環(huán)相頻特性表達式為 arctan 2 arctan90 1 求相位裕度為30 時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 2 在不改變截止頻率 c 的前提下 試選取參數(shù) c K與T 使系統(tǒng)在加入串聯(lián)校正環(huán)節(jié) 1 1 s TsK sC c c 后 系統(tǒng)的相位裕度提高到60 解 1 根據(jù)開環(huán)相頻特性的表達式 可確定系統(tǒng)有一個積分環(huán)節(jié) 兩個時間常數(shù)不同的慣性 環(huán)節(jié) 即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)具有如下形式 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 139 1 1 2 s s s K sG 根據(jù)題目要求 30 180 0 c 所以有 18090arctanarctan30 2 c c ooo 解得 79 0 c 由于21 oo oo 滿足性能指標要求 系統(tǒng)校正前的剪切頻率為sradc83 2 相位裕度為 10 03 o 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn) 定 采用滯后校正后的剪切頻率為 0 644 c rad s 相位裕度為 43 35 o 閉環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定 表明滯后校正是通過減小系統(tǒng)的剪切頻率來提高系統(tǒng)的相位裕度 題圖7 7 a 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線 srad 0 L c L L 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 143 5 MATLAB 驗證 待校正系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖如題圖7 7 b 所示 單位階躍響應如題 圖7 7 d 所示 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定 測得 sradc57 2 02 6 24 2 5 2 sraddBh g 校正系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖如題圖7 7 c 所示 單位階躍響應如題圖7 7 e 所示 所 以系統(tǒng)穩(wěn)定 測得 sradc56 0 9 46 14 2 6 18 sraddBh g 28 p M stp5 2 25 sts MATLAB 參考程序 graph77 m w 0 001 1 100 G0 tf 8 conv 1 0 conv 1 1 0 2 1 題圖7 7 b 待校正系統(tǒng)的伯德圖 題圖7 7 c 校正后系統(tǒng)的伯德圖 題圖7 7 d 待校正系統(tǒng)的單位階躍響應 題圖7 7 e 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 144 Gc tf 12 5 1 156 25 1 G series G0 Gc h tf 1 1 G0h feedback G0 h Gh feedback G h x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off figure 2 margin G0 grid figure 3 margin G grid figure 4 step G0h grid figure 5 step Gh grid 7 8 最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線如題圖7 8所示 其中虛線表示校正前系統(tǒng)的 數(shù)幅頻特性漸近線 ABCDEF 實線表示校正后系統(tǒng)的數(shù)幅頻特性漸近線 ABDEF 1 確定系統(tǒng)所采用的是何種串聯(lián)校正 并寫出校正裝置的傳遞函數(shù) sGc 2 確定校正后系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益值 3 當開環(huán)增益1 K時 求校正后系統(tǒng)的相位裕度 和幅值裕度h 0 1 1 10100 L dB decdB20 decdB40 decdB60 decdB0 A B C D E F 題圖7 8 最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 145 解 1 根據(jù)校正前系統(tǒng)的數(shù)幅頻特性漸近線 ABCDEF 可寫出系統(tǒng)校正前的傳遞函數(shù) 為 101 0 1 1 1 110 2 0 ss s s K sG 根據(jù)校正系統(tǒng)的數(shù)幅頻特性漸近線 ABDEF 可寫出系統(tǒng)校正后的傳遞函數(shù)為 101 0 1 11 0 1 sss K sG 由于采用的是串聯(lián)校正 因此根據(jù) 0 sGsGsG c 可確定串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 110 11 0 1 2 ss s sGc 即該系統(tǒng)采用的是串聯(lián)滯后 超前校正裝置 2 根據(jù)校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 0 101 0 11 0 KssssD 011 0001 0 23 KssssD 列出勞斯表如下 Ks K s Ks s 0 1 2 3 11 0 001 011 0 11 0 1001 0 根據(jù)勞斯判據(jù) 有 0 0 11 0 001 011 0 K K 即 0110 K 3 當開環(huán)增益1 K時 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 101 0 11 0 1 sss sG 由此可知 剪切頻率為積分環(huán)節(jié)與橫軸的交點頻率 即srad c 1 則 72 83 01 0arctan1 0 arctan90180 1 c cc 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 146 根據(jù) 18001 0arctan1 0arctan90 gg 解得 srad g 6 31 將srad g 6 31 代入 1 g g K G j 可得 109 8 g K 或40 8 g KdB MATLAB驗證 當開環(huán)增益1 K時 繪制出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如題圖7 8 a 所示 其中 0 L為校正前系統(tǒng)的的對數(shù)幅頻特性漸近線 c L為校正環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻 特性漸近線 L為校正后系統(tǒng)的的對數(shù)幅頻特性漸近線 MATLAB 參考程序 graph78 m w 0 05 1 300 G0 tf 10 1 conv 1 2 1 0 0 01 1 Gc tf conv 1 1 1 1 conv 0 1 1 10 1 G series G0 Gc x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold srad c L 0 L L 題圖7 8 a 校正前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性線 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 147 semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off 7 9 題圖7 9是一采用PD串聯(lián)校正的控制系統(tǒng) 1 當1K10K Dp 時 求系統(tǒng)的相角裕度 2 若要求該系統(tǒng)的剪切頻率為srad c 5 相位裕度 50 求 p K和 D K的值 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 KK Dp ss s sG 1 當1K10K Dp 時 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 1 01 01 1 01 ss s ss s sG 繪制出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如題圖7 9 a 中曲線 1 L 所示 由題圖7 9 a 可知 剪切頻率為3 16 c rad s 則相位裕度為 3 16 18090 arctan0 1arctan 35 1 c cc ooo 2 D p pDp K K 1 KKK 1 1 s s G s s ss s 根據(jù)漸近線的特性 有 p 2 K 1 c s D K p K 1 1 ss sC sR 題圖7 9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 148 解得 p K25 相位裕度 D 5 K 18090 arctanarctan 50 25 c cc ooo 解得 D K4 對應的對數(shù)幅頻特性漸近線如題圖7 9 a 中曲線 2 L 所示 相應的伯德圖如題圖7 9 b 所示 測得 5 8 c rad s 52 6 o 題圖7 9 a 系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線 rad s 1 L 2 L 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 149 MATLAB 參考程序 graph79 m w 0 1 1 100 G1 tf 1 10 1 1 0 G2 tf 4 25 1 1 0 x1 y1 bd asymp G1 w x2 y2 bd asymp G2 w figure 1 semilogx x1 y1 r hold semilogx x2 y2 b grid hold off figure 2 margin G2 grid hold off 7 10 用線性集成電路運算放大器作為電壓放大器的轉(zhuǎn)速負反饋閉環(huán)控制有靜差直流調(diào)速系 統(tǒng)如圖7 10所示 主電路是由晶閘管可控整流器供電的V M 晶閘管 電動機 系統(tǒng) 已知 數(shù)據(jù)如下 電動機 額定數(shù)據(jù)為10kW 220V 55A 1000r min 電樞電阻Ra 0 5 晶閘管觸發(fā)整流裝置 三相橋式可控整流電路 整流變壓器Y Y聯(lián)接 二次線電壓 U21 230V 電壓放大系數(shù)Ks 44 題圖7 9 b 系統(tǒng)的伯德圖 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 150 V M系統(tǒng)電樞回路總電阻R 1 0 測速發(fā)電機 永磁式 額定數(shù)據(jù)為23 1W 110 V 0 21A 1900r min 直流穩(wěn)壓電源 15V 若生產(chǎn)機械要求調(diào)速范圍D 10 靜差率s 5 試計算調(diào)速系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)參數(shù) 暫不考 慮電動機的啟動問題 解 1 為滿足調(diào)速系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標 額定負載時的穩(wěn)態(tài)速降應為 1000 0 05 r min5 26r min 1 10 1 0 05 N cl n s n Ds 2 求閉環(huán)系統(tǒng)應有的開環(huán)放大系數(shù) 先計算電動機的電動勢系數(shù) 22055 0 5 V min r0 1925V min r 1000 NNa e UI R C nN 則開環(huán)系統(tǒng)的額定速降為 55 1 0 r min285 7r min 0 1925 N op e I R n C 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)應為 1 op cl n K n 285 7 154 3 153 3 5 26 TG M 0 R 0 R 1 R 1ba R 2 RP 1 RP n U c U UPE d U d I n U 題圖7 10 轉(zhuǎn)速負反饋閉環(huán)控制有靜差直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 151 3 計算轉(zhuǎn)速反饋環(huán)節(jié)的反饋系數(shù)和參數(shù) 轉(zhuǎn)速反饋系數(shù) 包含測速發(fā)電機的電動勢系數(shù) etg C和其輸出電位器 2 RP的分壓系數(shù) 2 即 2etg C 根據(jù)測速發(fā)電機的額定數(shù)據(jù) 有 110 0 579V min r 1900 min etg V C r 試取 2 0 2 如測速發(fā)電機與主電動機直接連接 則在電動機最高轉(zhuǎn)速1000r min時 轉(zhuǎn) 速反饋電壓為 2 1000r min0 2 0 0579 1000V11 58V netg UC 穩(wěn)態(tài)時 n U 很小 n U只要略大于 n U即可 現(xiàn)有直流穩(wěn)壓電源為15V 完全能夠滿足給 定電壓的需要 因此 取 2 0 2 是正確的 于是 轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)的計算結(jié)果是 2 0 2 0 0579V min r0 01158V min r etg C 電位器 2 RP的選擇方法如下 為了使測速發(fā)電機的電樞壓降對轉(zhuǎn)速檢測信號的線性度 沒有顯著影響 取測速發(fā)電機輸出最高電壓時 其電流值約為額定值的20 則 2 0 0579 1000 1379 0 20 2 0 21 etgN RP Ntg C n R I 此時 2 RP所消耗的功率為 2 0 20 0579 1000 0 2 0 21W2 43W RPetgNNtg WC nI 為了不致使電位器溫度很高 實選電位器的瓦數(shù)應為所消耗功率的一倍以上 故可將 2 RP選 為10W 1 5k 的可調(diào)電位器 4 計算運算放大器的放大系數(shù)和參數(shù) 根據(jù)調(diào)速指標要求 前已求出閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)應為 K 53 3 則運算放大器的 放大系數(shù) p K應為 p se K K KC 53 3 20 14 0 01158 44 0 1925 實取21 p K 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 152 圖7 10中運算放大器的參數(shù)計算如下 根據(jù)所用運算放大器的型號 取 0 40Rk 則 10 21 40k840k p RK R 7 11 在題7 10中 已知1 0R 44 s K 0 1925V min r e C 系統(tǒng)運動部分的 飛輪慣量 2 10NGD 2 m 根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標D 10 s 5 計算 系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)應 有K 53 3 試判別這個系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 首先應確定主電路的電感值 用以計算電磁時間常數(shù) 對于V M系統(tǒng) 為了使主電 路電流連續(xù) 應設置平波電抗器 題7 10給出的是三相橋式可控整流電路 為了保證最小 電流 dmindN I10 I 時電流仍能連續(xù) 應采用式下式計算電樞回路總電感量 即 2 min 0 693 d U L I 現(xiàn)在 2 2 230 V132 8V 33 l U U 則 132 8V 0 69316 73mH 55A 10 L 取17mH0 017HL 計算系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 電磁時間常數(shù) 0 017H 0 017s 1 0 l L T R 機電時間常數(shù) 2 10 1 0 s0 075s 30 375 375 0 19250 1925 m em GD R T C C 對于三相橋式整流電路 50 Hz f 晶閘管裝置的滯后時間常數(shù)為0 00167s s T 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)放大系數(shù)應滿足式 2 mlss ls T TTT K TT 的穩(wěn)定條件 即 第七章 系統(tǒng)的設計與校正 153 22 0 075 0 0170 00167 0 00167 49 4 0 017 0 00167 mlss ls T TTT K TT 按穩(wěn)態(tài)調(diào)速性能指標要求K 53 3 因此 此閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 7 12 在題7 11的閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)中 若改用IGBT脈寬調(diào)速系統(tǒng) 電動機不變 電樞回 路參數(shù)為 0 6R 5mHL 44 s K 0 1ms s T 開關(guān)頻率為10kHz 按同樣 的穩(wěn)態(tài)性能指標D 10 s 5 該系統(tǒng)能否穩(wěn)定 解 采用脈寬調(diào)速系統(tǒng)時 各環(huán)節(jié)時間常數(shù)為 0 005H 0 00833s 0 6 l L T R 2 10 0 6 s0 045s 30 375 375 0 19250 1925 m em GD R T C C 0 0001s s T 按照式 2 mlss ls T TTT K TT 的穩(wěn)定條件 應有 22 0 045 0 008330 0001 0 0001 455 4 0 00833 0 0001 mlss ls T TTT K TT 而按照穩(wěn)態(tài)性能指標要求 額定負載時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速降應為5 26 min cl nr 見題 7 10 脈寬調(diào)速系統(tǒng)的開環(huán)額定速降為 55 0 6 r min171 4r min 0 1925 N op e I R n C 為了保持穩(wěn)態(tài)性能指標 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)應滿足 1 op cl n K n 171 4132 6 131 6 5 26 顯然 系統(tǒng)完全能在滿足穩(wěn)態(tài)性能的條件下穩(wěn)定運行 第八章 離散控制系統(tǒng) 154 第八章 離散控制系統(tǒng) 內(nèi)容提要 一 線性離散系統(tǒng)概述 1 離散系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 2 采樣定理 香農(nóng)采樣定理 如果對信號 tf的采樣頻率 T s 2 大于或等于2 c 即 cs 2 二 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學基礎 1 z 變換的定義 0 Ts k z e k ZftFsF zf kT z 2 z變換法 1 級數(shù)求和法 2 部分分式法 3 留數(shù)計算法 3 z變換的定理 1 線性定理 1 1221122 Z a f kTa fkTa F za F z 2 滯后定理 n Z f kTnTzF z 3 超前定理 0 nj nnj j Z f kTnTz F zzf jT 控制器 D A執(zhí)行機構(gòu) A D 被控對象 檢測裝置 給定值 輸出值 圖8 1 離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第八章 離散控制系統(tǒng) 155 4 位移定理 ataT Z ef kTF ez m 5 微分定理 d Z kTf kTTzF z dz 6 初值定理 0 0 lim lim kz fkTF z 7 終值定理 1 1 lim lim 1 kz ff kTzF z 4 z 反變換 1 長除法 2 部分分式展開法 3 留數(shù)計算法 5 差分方程及求解方法 差分方程 12 012 2 2 n m c kTa c kTTa c kTTa c kTnT b r kTbr kTTb r kTTb r kTmT L L 用z變化解差分方程 三 脈沖傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù) zG定義為在零初始條件下輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z 變換值比 Y z G z U z 四 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 1 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 系統(tǒng)的特征方程的所有根都分布在z平面上的單 位圓內(nèi) 或者說 所有特征根的模都小于1 2 w平面的勞斯判據(jù) 第八章 離散控制系統(tǒng) 156 在采樣系統(tǒng)特征方程 0 zA中 若用 1 1 w w z代入 即可得到以w為變量的方程 0 wD 它是w的代數(shù)方程 若0 zA的根都在z平面上的單位圓內(nèi) 則 0 wD的 根都在w的左半平面內(nèi) 由此可以間接判定 zA的所有根是否都在單位圓內(nèi) 五 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 1 lim lim 1 1 tz R z ee tz G z 1 單位階躍輸入 1 0型系統(tǒng) 1 p e K 2 I型或高于I型的系統(tǒng) 0 e 2 單位斜坡輸入 1 0型系統(tǒng) e 2 I型系統(tǒng) 1 v e K 3 II型及II型以上的系統(tǒng) 0e 3 單位加速度輸入 1 0型與I型系統(tǒng) e 2 II型系統(tǒng) 2 1 1 e G 其中 2 2 1 1 1 z GzG z 3 III型或III型以上的系統(tǒng) 0e 第八章 離散控制系統(tǒng) 157 8 1 求下列函數(shù)的z變換 1 x tt 解 22 1 1 1 1 1 dzzzTz Z x tZ tTzTz dz zzz 2 sin 10 x ttu t 解 0 k k X zx kt z 0 sin10 k k kt z 用歐拉方程 1010 00 sin10 2 jkTjkT kk kk ee kt zz j 1010 0 1 2 jkTkjkTk k ezez j 101101 111 211 jTjT jezez 1010 cos10sin10cos10sin10 jTjT eTjTeTjT 將和代入化簡 1 12 sin10 1 2sin10 zT zTz X z 2 sin10 2 cos101 zT zzT 3 t x ta 解 0 ktk k x ta z 122 1 TT a zaz L L 1 1 1 T a z 4 2 1 E s ssa 解 用留數(shù)法計算 E s的極點 12 0sa 2 1 12 s 2 0 22 1 111 E Z 1 ssa sTsT dzz ssa dsssazessaze 222 1 1 aT Tzzz a zazaze 第八章 離散控制系統(tǒng) 158 22 1 1 1 aT aT Tzze a zazze 5 cosx ttt 解 0 1 cos 22 j tj t j kTj kTk k ee ZtZeez 11 2 111 2 11 cos 2 cos1 j Tj T ezez z zT zzT 2 2 22 cos 2 cos1 cos2cos 2 cos1 dz zT Z x tTz dz zzT Tz zTzT zzT 3 6 4 t x teu t 解 3 131 0 41 4 11 kTk T k Z x tez zez 7 2 1 s E s s 解 22 111 s E s sss 2 1 1 zTz E z zz 8 23 t x tt e 解 2 2 3 1 1 T z z Z t z 由復位移定理 233233 23 3333 1 1 TTTT t TT T zezeT zeze Z t e zeze 9 3 1 3 x tt 解 32 3 4 1 41 3 6 1 Tzz Zt z 第八章 離散控制系統(tǒng) 159 10 2 1 1 s e E s ss 解 22 1111 1 1 1 s s e E se sssss 1 2 1 1 1 T T Tzzz E zz zzze 8 2 求函數(shù)的初值和終值 1 2 X z 0 80 1 z zz 解 初值 2 2 0 lim lim1 0 90 08 zz z xX z zz 終值 2 1 lim 1 0 0 8 0 1 z z xz zz 2 1 2 1 X z z 解 初值 1 2 0 lim lim2 1 zz xX z z 終值 11 1 11 2 lim 1 lim 1 2 1 zz xzX zz z 3 1 1 2 10 1 z X z z 解 初值 1 1 2 10 0 lim lim0 1 zz z xX z z 終值 1 11 1 2 11 10 lim 1 lim 1 1 zz z xzX zz z 第八章 離散控制系統(tǒng) 160 4 2 4 1 2 z X z zz 解 初值 12 1 0 lim lim4 0 250 750 5 zz xX z zz 終值 2 1 11 4 lim 1 lim 1 4 1 2 zz z xzX zz zz 8 3 求下列函數(shù)的z 反變換 1 X z 1 53 z zz 解 15 1 22 1 53 153 X z zzzzz 15 2153 zz X z zz 1 1 0 6 2 k x k 2 2 2 2 1 2 z X z zz 解 用留數(shù)法計算 極點 1z 雙重極點 2z 單極點 2 12 2 1 2 1 2 2 12 2 z 1 1 2 2 lim 2 1 2 k z k z dz x kzz dzzz z zz zz 4 1 24 1 8 2 2 kk k 24 1 4 2 kk k 3 0 2 z X z z 解 0 2kx k 第八章 離散控制系統(tǒng) 161 4 3 TT z X z zeze 解 33 33 11 1 TTTT TTTT X z eeee zzezezeze 33 3 3 1 1 TTTT kTkT TT zz X z eezeze x kee ee 8 4證明下列關(guān)系式成立 1 k z Z a x tX a 證 00 kkkk kk zz Z a x ta x kT zx kTx aa 2 d Z tf tTzF z dz 證 因為 1 000 kkk kkk dddd F zf kT zf kTzkf kTz dzdzdzdz 00 111 kk kk kf kT zkT f kT zZ tf t zTzTz 所以 d Z tf tTzF z dz 8 5已知連續(xù)函數(shù) x t的拉氏變換為 5 5 s s 求其z變換 解 55 5111 Z 5 51 1 TT zz Z x tZ s ssszzezze 8 6求圖題8 6所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 0 sX sXi 10 1 s s sT1 題圖8 6 第八章 離散控制系統(tǒng) 162 解 G 1 G z zzZ G s G z 1 1 1010 1 G 1 1 ez G sz s szze 特征方程 1 G 0z 變成為 11 1 10 1 0zzeez 因為 1 0 368e 所以 2 4 9520 3680zz 求得根為 12 0 076 z4 876z 因為一個根的模大于1 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定 8 7判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 023 2 zz 解 12 2 z1z 有一個根在單位圓外所以系統(tǒng)不穩(wěn)定 2 已知系統(tǒng)的特征方程 0368 0632 0 2 zz 解 應用雙線性變換 令 1 1 z 2 11 0 632 0 3680 11 簡化得 第八章 離散控制系統(tǒng) 163 2 0 368220 二階系統(tǒng)系數(shù)都大于零 所以系統(tǒng)穩(wěn)定 8 8 求題圖 8 8 所示典型計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 圖中 zD和 zG分別表示 控制器和系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù) s e Ts 1 z zG sG zU zE ty zY zR tr T T T te 0 sG zD T 解 解 由于輸入 輸出信號都是連續(xù)信號 不能直接作Z變換 為了清楚地表示閉環(huán)脈 沖傳遞函數(shù)是 zY和 zR之比 在圖中用虛線畫出虛設的采樣開關(guān) 兩個采樣開關(guān)是同步 的 采樣周期為T 由圖得 zDzEzU zGzUzY 又因為 tytrte tytrte 所以 zYzRzE 消去中間變量可得 1 zR zGzD zGzD zY 所以 1 Y zD z G z z R zD z G z 8 98 9 具有零階保持器的線性離散系統(tǒng)如題圖 8 9 所示 采樣周期1 0 T秒 1 a 試判斷 系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍 題圖 8 8 典型計算機控制系統(tǒng) 第八章 離散控制系統(tǒng) 164 ass K s e Ts 1 tr T ty 題圖 8 9 系統(tǒng)框圖 解 解 包括零階保持器的廣義對象開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 1 1 2 1 ss K ZzzG K zz zTzT z z T TTT e 1 ee1 1e 1 2 2 905 0 1 00468 000484 0 zz zK 2 1 2 1 w T w T z zGwG ww wwK 80 381 3 81 31872 000016 0 2 2 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 081 3 1872 081 3 00016 081 3 1 2 KwKwKwG 列出勞斯陣表 3 81 0 00016K 3 81K 3 80 0 1872K 3 81Kw w w 1 2 保證陣表第一列不變號 K值的范圍是 0 K 20 3 本例中 若采樣間隔T l 秒 則使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是 0 K 2 39 可以證明 二階連續(xù)系統(tǒng)中 K值在 0 的范圍內(nèi)都是穩(wěn)定的 可見 采樣和零階保 持器對系統(tǒng)穩(wěn)定性是有影響的 第八章 離散控制系統(tǒng) 165 8 10 8 10 如題圖 8 10 所示 且1 a 1 K s 1 T 試求系統(tǒng)在單位階躍 單位速度和單 位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 ass K s e Ts 1 tr T ty 題圖 8 10 系統(tǒng)框圖 解解 由題 8 9 可知