關于矩陣的習題.ppt

習題課矩陣 P99 第10題設A為n階方陣 并且Ak O 試證E A可逆 并且 證明 若n階方陣A滿足AB E 則A可逆 所以A E可逆 并且 E A 1 E A A2 Ak 1 第11題設A為n階方陣 且滿足A2 2A 3E O 證明 1 A可逆 并求A的逆 2 A 2E可逆 并求 A 2E 的逆 證明 1 所以A可逆 并且 所以 A 2E 可逆 并且 2 第15題已知為方陣B滿足AB A B 求矩陣B 其中 解 AB A B A E B A 可以用矩陣方程的行初等變換方法計算B 所以 第16題已知 且矩陣B滿足A2 AB E 求矩陣B 解法一 因為A2 E AB所以B A 1 A2 E 解法二 因為AB A2 E可以用矩陣方程的初等變換方法計算B AA2 E 行初等變換 EB 第17題設A是n階方陣 B是n r矩陣 且r B n 試證 1 如果AB O 那么A O 2 AB B 那么A E 解 1 因為AB O AB T BTAT O 又r B n 所以r BT n 因此矩陣方程BTAT O 齊次線性方程組的矩陣形式 AT僅有零解 即AT的所有元素為零 即AT O 所以A O 2 因為AB B A E B O 根據 1 則A E O 即A E 第18題設A B是兩個n階反對稱矩陣 則 1 A2是對稱矩陣 2 AB BA時 AB是對稱矩陣 解 1 A2 T ATAT A A A2所以A2是對稱矩陣 2 AB T BTAT B A BA AB 所以AB是對稱矩陣 例題 設n階方陣A的伴隨矩陣為A 證明 1 若 A 0 則 A 0 2 A A n 1 證明 由伴隨矩陣的定義顯然有AA A A A En 兩邊取行列式即得 A A det A En A n 故當 A 不等于0時 2 是顯然的 而只要我們證明了 1 則 2 對于 A 0的矩陣A也是成立的 下面我們證明 1 反證法 假設則 A 0 則A 可逆 于是在AA A En兩邊右乘 A 1 有A A En A 1 O 因為 A 0 因此A的伴隨矩陣A 應該為O 與假設矛盾 例設A為n階方陣滿足A2 A 2E O 證明A和A 2E均可逆 求它們的逆矩陣 解 由A2 A 2E O易得 A E A 2E 即 A E A E 故由逆矩陣的定義可得A可逆 且類似可求得 A 2E A 3E 4E 即 第19證明 1 非奇異對稱 反對稱 矩陣A的逆仍然是對稱 反對稱 矩陣 2 奇數階反對稱矩陣必不可逆 解 1 因為A是非奇異 并對稱矩陣 A可逆 且 A 1 T AT 1 A 1 由定義可知A 1也是對稱矩陣 同理可證反對稱句陣的情況 2 設A為反對稱矩陣 則AT A AT A 1 n A A 行列式性質1 當n為奇數時 A A 則2 A 0 所以 A 0 即A不可逆 第20題設n階方陣A可逆 將A的第i行與第j行元素交換后得到B 1 證明B可逆 2 求AB 1 解 1 根據已知條件 有E i j A B E i j 是初等矩陣 又A可逆 所以A行初等變換E即Ps P2P1 A 代入 式 E i j Ps P2P1 B 即P1 1P2 1 Ps 1E i j 1B E B行初等變換E所以B可逆 2 E i j A B E i j AB 1 E AB 1 E i j 1 E i j 第22題 為n階非零實矩陣 若aij Aij 其中Aij的元素aij的代數余子式 i j 1 2 n 證明 A O 證明 用反證法 假設 A O 即 這與A為n階非零實矩陣矛盾 所以 A O 證明 因為r A r 矩陣A aij m n 則 第23題設A是秩為r的mXn矩陣 證明A必可表示成秩為1的mXn矩陣之和 即存在m階的可逆矩陣P1及n階可逆矩陣Q1 使 所以 其中 由于P Q均可逆 所以 第24題設實對稱矩陣A滿足A2 O 證明A O 證明 用數學歸納法證明 當n 2時 因為A是實對稱矩陣 假設n 1時結論成立 即 所以n 2時結論成立 n時 所以n時 矩陣A O 因而結論成立 第25題設A為二階矩陣 A2 E A E 證明 r A E r A E 1 證明 A為二階矩陣 并A2 E所以 A2 E O 即 A E A E O 又A E O A E O 所以r A E O r A E O 以下用反證法假設r A E 1 或r A E 1 只有r A E 2 或r A E 2 A E A E O 看成矩陣方程AX O 中 A E O 則 A E O與A E矛盾 所以r A E 1 同理r A E 1 第26題設A為mXn矩陣 且m n 證明 ATA