2019-2020學(xué)年廈門雙十中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年福建省廈門雙十中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)是橢圓 上一點，是橢圓的焦點，若，則等于（ ）A2B3C5D7【答案】D【解析】根據(jù)橢圓的定義，可得，可得，即可求解，得到答案【詳解】由題意，橢圓 上一點，是橢圓的焦點，根據(jù)橢圓的定義，可得，又由，則，故選D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，合理利用橢圓的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題2已知命題，則為ABCD【答案】C【解析】含特稱量詞的命題的否定為為，使，選C.3已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為ABCD【答案】D【解析】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可。詳解：所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題。4已知空間四面體的每條棱長都等于1，點分別是的中點，則等于（ ）ABCD【答案】B【解析】分析：根據(jù)三角形法則得到，再根據(jù)已知條件，應(yīng)用向量的點積運算得到最終結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的基本定理得到 故答案為：B.點睛：這個題目考查的是向量基本定理，以及空間向量的加減法運算，向量的兩個作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.5當(dāng)時，設(shè)命題：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；命題：不等式對任意都成立若“且”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）ABCD【答案】B【解析】命題為真時，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到不等式，當(dāng)命題為真時，利用二次函數(shù)的圖象得，取交集后得 ，此時“且”為真命題【詳解】因為“且”是真命題，所以命題與命題均為真命題，當(dāng)命題真時，因為函數(shù)為雙勾函數(shù)，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)命題為真時，；所以時，命題與命題均為真命題，故選B.【點睛】本題以函數(shù)知識為背景，考查簡易邏輯，考查邏輯推理和運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6如圖 分別是橢圓 的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率【詳解】由題意知A，把A代入橢圓(ab0)，得，整理，得，0e1，故選D.【點睛】本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題7在正方體中，是棱的中點，為底面的中心，為棱上任一點，則直線與所成的角為ABCD不能確定【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的坐標(biāo)運算得，從而得兩直線垂直，即可得解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得，而，所以，即，所以直線與所成的角為故選C【點睛】本題主要考查了利用空間向量判斷兩異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.8拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（ ）ABCD【答案】B【解析】利用導(dǎo)數(shù)的知識，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時，面積取得最小值.【詳解】設(shè)，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識得：，所以，所以，所以，因為，當(dāng)時，可得的最大值為，故選B.【點睛】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過拋物線的焦點，則切線與切線互相垂直，能使運算量變得更小.二、多選題9如圖,正方形中,分別是的中點將分別沿折起,使重合于點.則下列結(jié)論正確的是（ ）AB平面C二面角的余弦值為D點在平面上的投影是的外心【答案】ABC【解析】對于A選項，只需取EF中點H，證明平面；對于B選項，知三線兩兩垂直，可知正確；對于C選項，通過余弦定理計算可判斷；對于D選項，由于，可判斷正誤.【詳解】對于A選項，作出圖形，取EF中點H，連接PH，DH，又原圖知和為等腰三角形，故,，所以平面，所以，故A正確；根據(jù)折起前后，可知三線兩兩垂直，于是可證平面，故B正確；根據(jù)A選項可知 為二面角的平面角，設(shè)正方形邊長為2，因此，由余弦定理得：，故C正確；由于，故點在平面上的投影不是的外心，即D錯誤；故答案為ABC.【點睛】本題主要考查異面直線垂直，面面垂直，二面角的計算，投影等相關(guān)概念，綜合性強，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力及空間想象能力，難度較大.10已知雙曲線的離心率為，右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則有（ ）A漸近線方程為B漸近線方程為CD【答案】BC【解析】由離心率公式化簡可得漸近線方程，通過求圓心A到漸近線的距離結(jié)合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點P,連接AP,利用點到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線和離心率的應(yīng)用，考查圓的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.三、填空題11已知 的三個頂點為 ， ，則邊上的中線長為 【答案】3【解析】試題分析：線段中點的坐標(biāo)為，因此邊上的中線長【考點】空間中兩點間的距離公式；12已知P是橢圓上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且F1PF260，則F1PF2的面積是_【答案】【解析】利用余弦定理求出，再求F1PF2的面積.【詳解】|PF1|PF2|4，又F1PF260，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos6012(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|PF1|PF2|，.【點睛】本題主要考查橢圓的定義和余弦定理，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅持就是勝利”等熟語來勉勵自己和他人保持信心、堅持不懈地努力.在這些熟語里，“石穿”、“事成”、“勝利”分別是“水滴”、“有志”、“堅持”的_條件，這正是我們努力的信心之源，激勵著我們直面一切困難與挑戰(zhàn)，不斷取得進步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷,即可得出答案.【詳解】由“石穿”、“事成”、“勝利”不能推出“水滴”、“有志”、“堅持”,如“石穿”可能推出“化學(xué)腐蝕”;由“水滴”、“有志”、“堅持”能推出“石穿”、“事成”、“勝利”如“水滴”可以推出“石穿”;綜上所述, “石穿”、“事成”、“勝利”是“水滴”、“有志”、“堅持”必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【點睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,其中熟記充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了理解能,屬于基礎(chǔ)題.14如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準(zhǔn)線于點，若，且，則此拋物線的方程為 【答案】【解析】試題分析：設(shè)，作垂直準(zhǔn)線于點，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，則，又，得，所以，又，所以為的中點，所以，所以此拋物線的方程為所以答案應(yīng)填：【考點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【思路點睛】根據(jù)過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，作垂直準(zhǔn)線于點，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，根據(jù)，且和拋物線的定義，可得，易知為的中位線，而可求得，即求得拋物線的方程本題考查拋物線的定義以及待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算屬于中檔題15設(shè),是正方體的棱和的中點,在正方體的條面對角線中,與截面成角的對角線的數(shù)目是_.【答案】【解析】由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以為原點建系,正方體三邊為坐標(biāo)軸,求出平面的法向量,求解面對角線和的夾角,即可求得答案.【詳解】以點為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸設(shè)正方體棱長為2,如圖:則 , 當(dāng)面對角線與截面成角, 需保證直線與法向量的夾角為,即其余弦值設(shè)平面的法向量 可得: ,取 ,則 當(dāng)兩條面對角線平行時,求解其中一條與面的法向量夾角即可. 平面中與平行,故不符合題意.綜上所述,符合題意的面對角線為:共條.故答案為:.【點睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)題意畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.對于立體幾何中角的計算問題,可以利用空間向量法,利用向量的夾角公式求解,屬于基礎(chǔ)題.16已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】若,使得,即需保證,.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分別求取和,即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】 函數(shù),是對號函數(shù), 當(dāng), 函數(shù)是單調(diào)增函數(shù) 當(dāng),若,使得,則需保證,故解得:故答案為: .【點睛】本題考查了不等式恒成立問題與存在解問題,掌握函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和函數(shù)的最值求法是解題關(guān)鍵,考查等價轉(zhuǎn)化思想方法與分析能力,屬于中檔題.四、解答題17過雙曲線的右焦點F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點(1)求|AB|；(2)求AOB的面積【答案】（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理直接利用弦長公式得到答案.(2)求原點到直線的距離，再利用面積公式得到答案.【詳解】解：(1)由雙曲線的方程得，F(xiàn)1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)直線AB的方程為設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x270.，.(2)直線AB的方程變形為.原點O到直線AB的距離為.【點睛】本題考查了弦長和面積，是圓錐曲線里面的常規(guī)題型，意在考查學(xué)生的計算能力.18如圖,直三棱柱,底面中,棱,、分別是、的中點.（1）求的長;（2）求的值;（3）求證:.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】（1）以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得,根據(jù)空間兩點間距離公式: ,即可求得的長.（2）求出和,根據(jù),即可求得的值.（3）求出和,的值,根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系時,即可求證.【詳解】（1）以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖:依題意得，根據(jù)空間兩點間距離公式: .（2）依題意得:,.,，.（3）依題意得,.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,熟練掌握向量的基本知識是解本題關(guān)鍵,對于立體幾何中角的計算問題,可以利用空間向量法,利用向量的夾角公式求解,考查了空間想象能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19設(shè)a，命題p：x，滿足,命題q：x，.(1若命題是真命題，求a的范圍；2為假，為真，求a的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】分別求出命題p，q成立的等價條件，（1）然后根據(jù)若p、q為真命題，列式計算，（2）由（p）q為假，（p）q為真p、q同時為假或同時為真，分別求出確實實數(shù)m的取值范圍即可【詳解】解：1真，則或得；q真，則，得，真，；2由為假，為真、q同時為假或同時為真，若p假q假，則得，若p真q真，則，所以，綜上或故a的取值范圍是【點睛】本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系的應(yīng)用，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵20設(shè)拋物線的焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過點的直線分別與拋物線C交于點D，E和點G，H，且，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）；（2）48.【解析】（1）根據(jù)題意可得：圓的半徑，從而求出值，得到拋物線方程；（2）設(shè)出和的方程，分別與拋物線聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出、的長，從而表示出四邊形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值?！驹斀狻坑捎谶^點 作垂直于 軸的直線與拋物線交于兩點，則，以線段為直徑的圓過點，則圓的半徑， 解得：,故拋物線的方程為. （2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，設(shè)點，則，所以，同理可得：，則四邊形的面積：.令，則當(dāng)，即時，四邊形DGEH面積的最小值為48【點睛】本題考查拋物線方程的求法以及圓錐曲線中的弦長公式，考查學(xué)生設(shè)而不求的思想，有一定難度。21如圖所示,已知在矩形中,平面,且.（1）問當(dāng)實數(shù)在什么范圍時,邊上能存在點,使得？（2）當(dāng)邊上有且僅有一個點使得時,求二面角的余弦值大小.【答案】（1）（2）【解析】（1）建立坐標(biāo)系,設(shè)點,則,由,可得,顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實數(shù)解時,邊上才存在點,使得,即可求得的范圍.（2）求平面的一個法向量是和平面的一個法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點,、分別為、軸建立坐標(biāo)系如圖所示: , ,.設(shè)點,則,.由,得.顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實數(shù)解時,邊上才存在點,使得,故只須. ,故的取值范圍為.（2）易見,當(dāng)時,上僅有一點滿足題意,此時,即為的中點,得:,.設(shè)平面的一個法向量是,則, ,取,所以.又平面的一個法向量是. , 二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了由向量垂直求參數(shù)和求兩平面二面角余弦值.對于立體幾何中角的計算問題,可以利用空間向量法,利