力學(xué)第三四章習(xí)題課.pdf

力學(xué)第三四章習(xí)題課力學(xué)第三四章習(xí)題課 3 63 63 63 6 3 113 113 113 11 3 123 123 123 12 4 44 44 44 4 4 114 114 114 11 4 154 154 154 15 4 224 224 224 22 4 234 234 234 23 3 63 63 63 6 如圖所示 一個圓盤直徑為 如圖所示 一個圓盤直徑為d d d d 繞通過圓心的 繞通過圓心的 垂直軸以角速度垂直軸以角速度 勻速旋轉(zhuǎn) 今有一人站在圓盤上勻速旋轉(zhuǎn) 今有一人站在圓盤上 的點(diǎn)的點(diǎn)A A A A射出一顆子彈 已知子彈出膛速度為射出一顆子彈 已知子彈出膛速度為v v v v v v v v d d d d 現(xiàn)在希望子彈擊中 現(xiàn)在希望子彈擊中A A A A點(diǎn)的對徑點(diǎn)點(diǎn)的對徑點(diǎn)B B B B ABABABAB是圓盤是圓盤 直徑 則應(yīng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)直徑 則應(yīng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)C C C C 問 問 1 1 1 1 BCBCBCBC的弧長是多少的弧長是多少 2 2 2 2 這顆子彈在圓盤上的軌跡是什么 這顆子彈在圓盤上的軌跡是什么 3 3 3 3 求出相應(yīng)的曲率半徑 求出相應(yīng)的曲率半徑 C BA d 2 dBC d 2 1 由于AC與AB的夾角極小 所以 得 v d BC 2 2 子彈在圓盤上的運(yùn)動軌跡是一個圓弧 3 科里奧利力充當(dāng)向心力 2 2 FF m m 科向 即可解得圓弧的曲率半徑是 2 出現(xiàn)的問題出現(xiàn)的問題 2 2 2 2 因 因v wd v wd v wd v wd 所以所以t d vt d vt d vt d v 以這種做法得到的弧長剛好是實(shí)際 以這種做法得到的弧長剛好是實(shí)際 弧長的一半 曲率半徑是實(shí)際值的兩倍 弧長的一半 曲率半徑是實(shí)際值的兩倍 1 1 1 1 混淆了慣性系與非慣性系 混淆了慣性系與非慣性系 將直線將直線ACACACAC看成子彈的實(shí)際運(yùn)動軌跡看成子彈的實(shí)際運(yùn)動軌跡 以慣性系中規(guī)律以慣性系中規(guī)律 分析非慣性系中的運(yùn)動分析非慣性系中的運(yùn)動 X X X X 3 113 113 113 11 一圓盤繞其豎直的對稱軸以恒定的角速度 一圓盤繞其豎直的對稱軸以恒定的角速度 旋轉(zhuǎn) 在圓盤上沿徑向開有一光滑小槽 槽內(nèi)一質(zhì)旋轉(zhuǎn) 在圓盤上沿徑向開有一光滑小槽 槽內(nèi)一質(zhì) 量為量為mmmm的質(zhì)點(diǎn)以的質(zhì)點(diǎn)以v v v v0 0 0 0的初速從圓心開始沿半徑向外運(yùn)的初速從圓心開始沿半徑向外運(yùn) 動 動 試求 試求 1 1 1 1 質(zhì)點(diǎn)到達(dá)圖示位置 即 質(zhì)點(diǎn)到達(dá)圖示位置 即y yy yy yy y0 0 0 0 時的速度 時的速度v v v v 2 2 2 2 質(zhì)點(diǎn)到達(dá)該處所需要的時間 質(zhì)點(diǎn)到達(dá)該處所需要的時間t t t t 3 3 3 3 質(zhì)點(diǎn)在該處所受到的槽壁對它的側(cè)向作用力 質(zhì)點(diǎn)在該處所受到的槽壁對它的側(cè)向作用力F F F F z y x o m 解 1 在轉(zhuǎn)動慣性系中 小球受到慣性離心力 方向 y 所以在y方向上 令則 積分得在y方向上 垂直于y方向上 所以在y y0時 質(zhì)點(diǎn)的速率為 ymF 2 yy 2 y v y yv dy dv dydt dvdy y dt dv 2 yvv y 2 0 22 0 2 0 2 yv x y vvvv xy 2 0 22 0 22 2 總 2 由式 得 積分得 3 此時 槽對質(zhì)點(diǎn)的作用力F與質(zhì)點(diǎn)所受到 的科里奧利力是一對作用力與反作用力 即 yvvy 2 0 22 0 2 v y dt dy 2 0 2 2 v y v y v y dy y t 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 1ln 11 0 vy mvmF 2 0 2 2 22 3 123 123 123 12 一圓柱形剛性桿 一圓柱形剛性桿OxOxOxOx上套有一質(zhì)量為上套有一質(zhì)量為mmmm的小環(huán) 桿的一的小環(huán) 桿的一 端固定 整個桿繞著通過固定端端固定 整個桿繞著通過固定端O O O O的豎直軸以恒定的角速度的豎直軸以恒定的角速度 旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)時桿與豎直軸的夾角旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)時桿與豎直軸的夾角 保持不變 設(shè)小環(huán)與桿之保持不變 設(shè)小環(huán)與桿之 間的摩擦系數(shù)為間的摩擦系數(shù)為 已知當(dāng)小環(huán)相對于桿運(yùn)動到圖示位置 已知當(dāng)小環(huán)相對于桿運(yùn)動到圖示位置x x x x 時 其相對于桿的速度為 時 其相對于桿的速度為 試列出此時小環(huán)沿桿的運(yùn)動方程 不要求解此方程 試列出此時小環(huán)沿桿的運(yùn)動方程 不要求解此方程 mg F科 F離 v x z f摩 N z x o m x 解 解 所受到的科里奧利力為 所受到的科里奧利力為 所受到的慣性離心力為 所受到的慣性離心力為 所受到的摩擦力為 所受到的摩擦力為 所受到的合力為 所受到的合力為 綜上綜上4 4 4 4式可得小環(huán)沿桿的運(yùn)動方程為 式可得小環(huán)沿桿的運(yùn)動方程為 sin2 sincossin cos sin sin2 sincos cos sin 2 2 2 22 22 22 vmmgxmmgxm xmmgFmgxmxm sin22vmvm F 科 sin 2 xmF fmgFxm cossin F mgFf 2 sincos 2 科 4 44 44 44 4 如圖 試求一個半徑為 如圖 試求一個半徑為a a a a的半圓形均勻平板的質(zhì)心的半圓形均勻平板的質(zhì)心 如圖 建立直角坐標(biāo)系如圖 建立直角坐標(biāo)系 由對稱性知由對稱性知 x x x xc c c c 0 0 0 0 設(shè)平板的面密度為設(shè)平板的面密度為 總質(zhì)量總質(zhì)量 面元的質(zhì)量 面元的質(zhì)量 dxdydxdydxdydxdy 則則 即平板的質(zhì)心為 即平板的質(zhì)心為 0 4a 30 4a 30 4a 30 4a 3 2 2 a M 3 4a M dxdyy y c y x a 0 0 a o 解 動量定理 取 t1時刻m1速度為v1 時刻m2速度為v2 則有 由上兩式得 v mmt F 1211 vmvmtt F 221121 m t mm t v mm t v FF F 2 2 21 1 2 21 1 1 mvtF 4 114 114 114 11 如圖 一子彈水平地穿過兩個前后并排 靜止放置在光滑水 如圖 一子彈水平地穿過兩個前后并排 靜止放置在光滑水 平面上的木塊 木塊的質(zhì)量分別為平面上的木塊 木塊的質(zhì)量分別為m1m1m1m1 m2m2m2m2 設(shè)子彈穿過木塊所用的 設(shè)子彈穿過木塊所用的 時間分別為時間分別為 t1t1t1t1 t2t2t2t2 求 子彈穿過兩木塊后兩木塊的運(yùn)動速度 求 子彈穿過兩木塊后兩木塊的運(yùn)動速度 設(shè)木塊對子彈的阻力為恒力 設(shè)木塊對子彈的阻力為恒力F F F F m1m2 4 154 154 154 15 一個長為 一個長為a a a a 重為 重為w w w w的均勻細(xì)繩掛在一個光滑細(xì)釘上自由的均勻細(xì)繩掛在一個光滑細(xì)釘上自由 下滑 當(dāng)兩邊的繩長相等時 細(xì)繩處于平衡狀態(tài) 在小擾動下 下滑 當(dāng)兩邊的繩長相等時 細(xì)繩處于平衡狀態(tài) 在小擾動下 從釘上滑落 求 從釘上滑落 求 1 1 1 1 當(dāng)繩剛脫離細(xì)釘時 細(xì)繩的速度 當(dāng)繩剛脫離細(xì)釘時 細(xì)繩的速度 2 2 2 2 當(dāng)繩長一邊為 當(dāng)繩長一邊為b b b b 另一邊為 另一邊為c c c c時 它對釘子的壓力 時 它對釘子的壓力 解 方法一解 方法一 1 1 1 1 該過程機(jī)械能守恒 該過程機(jī)械能守恒 h a 4h a 4h a 4h a 4 2 2 2 2 由受力分析可得 由受力分析可得 b b b b c c c c 由于由于 a a a ab b b b a a a ac c c c 消去消去a a a ab b b b a a a ac c c c得得 v mhw 2 2 1 2 ag v a g w T w a g w w T c c c b b b a bc WT 2 2 a bc WTF 2 42 c b a a 2 方法二方法二 對繩取微元對繩取微元dmdmdmdm 系統(tǒng)受到合外力的沖量系統(tǒng)受到合外力的沖量Fdt dpFdt dpFdt dpFdt dp 得到合外力得到合外力 繩子的質(zhì)心為繩子的質(zhì)心為 a m dt dp F v 2 2 a cb rc 2 22 dt a m a m vdtv a m vdtv vdvddp v mm 2 21 2 系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒 因合外力因合外力 則繩對釘子的壓力為則繩對釘子的壓力為 2 1 0 2 rrvc mgm mg a m cb v 2 2 2 mgmgF a cb FN2 2 aa cb F wbc mg N 22 2 4 1 出現(xiàn)的問題出現(xiàn)的問題 2 2 2 2 將繩子的質(zhì)心加速度與 將繩子的質(zhì)心加速度與b b b b c c c c段的加速度混淆 段的加速度混淆 設(shè)繩子一端下降距離為設(shè)繩子一端下降距離為x x x x 質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度 不是合外力不是合外力 w F dm dtw F dm dtw F dm dtw F dm dt wg a x dt dv w 2 1 1 1 1 繩重 繩重w w w w 即 即w Mgw Mgw Mgw Mg w w w w MMMM 3 3 3 3 對細(xì)釘?shù)恼f明 對細(xì)釘?shù)恼f明 忽略半徑的影響忽略半徑的影響 解 捕到氫氣的質(zhì)量解 捕到氫氣的質(zhì)量 dm dm dm dm AvdtAvdtAvdtAvdt 取飛船飛行的方向?yàn)檎较蛉★w船飛行的方向?yàn)檎较?整個過程動量守恒整個過程動量守恒 dm v vdm v vdm v vdm v vr r r r M v dv Mv M v dv Mv M v dv Mv M v dv Mv Avdt v vAvdt v vAvdt v vAvdt v vr r r r M v v M v v M v v M v v1 1 1 1 Mdv Mdv Mdv Mdv Mdv dt Mdv dt Mdv dt Mdv dt Av v vAv v vAv v vAv v vr r r r 可見 當(dāng)且僅當(dāng)可見 當(dāng)且僅當(dāng)v vr 2v vr 2v vr 2v vr 2時 飛船有最大加時 飛船有最大加 速度速度 M A v a r 4 2 max 4 2 2 2 vv v rr A 4 224 224 224 22 一質(zhì)量為 一質(zhì)量為MMMM的宇宙飛船 在星際空間飛行 它用面積為的宇宙飛船 在星際空間飛行 它用面積為A A A A的洞捕集靜的洞捕集靜 止的氫 每單位體積的質(zhì)量為止的氫 每單位體積的質(zhì)量為 再將其排出 排氣的方向與飛船的飛行 再將其排出 排氣的方向與飛船的飛行 方向相反 排氣的速率相對于飛船為方向相反 排氣的速率相對于飛船為vrvrvrvr 問 飛船的速率 問 飛船的速率v v v v等于多少時 它等于多少時 它 的加速度最大 用的加速度最大 用MMMM A A A A vrvrvrvr表示 表示 v vAvF v vtAvtF r r M A v M vAv M F a v a v v r r r 4 2 2 max 飛船有最大加速度 時 當(dāng) 方法二 方法二 對排出的氫氣有對排出的氫氣有 對飛船有對飛船有 解 方法一解 方法一 由變質(zhì)量動量定理知 由變質(zhì)量動量定理知 即即 得得 積分得積分得 F dt mvd 合 v kg dv dt 2 1 1 2 2 e e tgk tgk k g tv kmv dt dm mg dt dm v dt dv m k g tvt 時 當(dāng) 4 234 234 234 23 一雨滴的初始質(zhì)量為 一雨滴的初始質(zhì)量為m0m0m0m0 在重力作用下從靜止開始下落 假設(shè) 在重力作用下從靜止開始下落 假設(shè) 此雨滴從云中得到質(zhì)量 其質(zhì)量的增長率正比于它的瞬間質(zhì)量和瞬間此雨滴從云中得到質(zhì)量 其質(zhì)量的增長率正比于它的瞬間質(zhì)量和瞬間 速率的乘積 即速率的乘積 即dm dt kmvdm dt kmvdm dt k