線性空間練習(xí)題.doc

第9章 歐氏空間練習(xí)題一、填空題1設(shè)是3階方陣，若分別為的屬于特征值和4的特征向量，則 2.已知二次型經(jīng)過(guò)正交變換化為，則 3. 設(shè)是實(shí)數(shù)域，二維平面上雙線性函數(shù)，則在基向量組下的度量矩陣= 4設(shè)是歐氏空間，基向量組的度量矩陣，若中向量，則的內(nèi)積= 二、選擇題1.設(shè)二次型，若表示橢圓柱面，則（）(A) (B) (C) (D) 2. 3. 階實(shí)對(duì)稱矩陣和相似的充分必要條件是（ ）(A) 與都有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；(B) ；(C) 和的主對(duì)角線上的元素的和相等；(D) 與的個(gè)特征值都相等4.下列矩陣中不一定可逆的是（ ）（）正交矩陣 （）正定矩陣 （）伴隨矩陣 （）初等矩陣5設(shè)是4階實(shí)對(duì)稱矩陣，0是3重特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含（ ）個(gè)解向量 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3三、解答題1設(shè)齊次線性方程組的解空間是，在歐氏空間（標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積）中，給出的一組基，的正交補(bǔ)空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基2. 已知為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，,是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，試求：（1）的另一個(gè)特征值及其特征向量；（2） 矩陣3設(shè)，試給出矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣和有理標(biāo)準(zhǔn)形矩陣4. 已知實(shí)二次型 =經(jīng)過(guò)正交變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形,求實(shí)參數(shù)及正交矩陣5.設(shè)3解矩陣A的各行元素之和均為0，線性無(wú)關(guān)的3維列向量滿足。（1）證明：矩陣A與對(duì)角形矩陣相似；（2）如果，求矩陣A；（3）求正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。6設(shè)是維歐氏空間的向量組, 為的向量組，滿足： ，（1） 若線性無(wú)關(guān)，證明是歐氏空間的一組基；（2） 若是歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明也是歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基參考答案一、填空題1 4 2. 2 3. 4二、選擇題1. C 2. B 3. 4. C 5 D三、解答題1（）（答案不唯一）（）（答案不唯一）2. （1） ；（2） 3 4. 由，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量， ， ，正交變換X = QY中的正交矩陣= 5. （1）證明：矩陣