概率論復(fù)習(xí)題.doc

1. 設(shè)A,B兩廠產(chǎn)品次品率分別為1和2，若已知兩廠產(chǎn)品分別占總數(shù)的60和40,現(xiàn)從中任取一件,發(fā)現(xiàn)是次品，求此次品是A廠生產(chǎn)的概率.解：記A=此產(chǎn)品是次品，B=此產(chǎn)品是A廠生產(chǎn)，C=此產(chǎn)品是B廠生產(chǎn)P(A)=P(B)P(A|B)+ P(C)P(A|C)=0.6*0.01+0.4*0.02=0.014P(B|A)= P(B) P(A|B)/P(A)=0.6*0.01/0.014=3/7（貝葉斯公式P21）2. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間2,5上服從均勻分布，求對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)中，至少兩次的觀測(cè)值大于3的概率.解：X在區(qū)間2,5上服從均勻分布，即X的密度函數(shù)為F(x)=1/3 , 2x5 ；0 ，其他所以 P（3x5）=1/3dx=2/3記A=至少兩次的觀測(cè)值大于3則 P(A)=20/27（均勻分布P41）3. 已知的聯(lián)合分布列 0 1/3 1-1 0 1/12 1/3 求（1）；(2)；（3）.0 1/6 0 0 2 5/12 0 0解：（1）=-1*5/12+0*1/6+2*5/12=5/12（2）EY=0*7/12+1/3*1/12+1*1/3=13/36E(Y2)=0*7/12+1/9*1/12+1*1/3=37/108DY= E(Y2)-(EY)2=37/108-(13/36)2=275/1296（3）EXY= -13/36(方差P83)4(本題10分)將4個(gè)球隨機(jī)地放在5個(gè)盒子里，求下列事件的概率(1) 4個(gè)球全在一個(gè)盒子里; (2) 恰有一個(gè)盒子有2個(gè)球.解：（1）記A=4個(gè)球全在一個(gè)盒子里則P(A)=C(4，4)*5/54=1*5/54=125 （2）記B=恰有一個(gè)盒子有2個(gè)球 則P(A)=C(4，2)*5*4*3/54=6*5*4*3/54=72/1255(本題10分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為(1) 求常數(shù)A; (2) 求P(1)； (3) 求的數(shù)學(xué)期望.解：（1）因?yàn)閒(x)是一密度函數(shù)，所以A1/(1+x)dx=1解得 A=1/(2ln2)(2) P(1)=P(01)+ P(0)=1/2ln2（1+x）dx+0=1/2(3)E =1/2ln2（1+x）xdx=3/(2ln2)-1（連續(xù)型隨機(jī)變量P40，數(shù)學(xué)期望P80）6(本題10分) 設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 與是否相互獨(dú)立? (2) 求的分布及；解：（1）與不相互獨(dú)立證明： 1 2 4 5 0 1 2 P 0.15 0.23 0.34 0.28 p 0.39 0.32 0.29由于p11=0.05,而p0.=0.39,p.1=0.15，易見p11 p0.*p.1由此，由定義知與不相互獨(dú)立（2）* 0 1 2 4 5 8 10 P 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10所以，=3.16（邊緣分布P54 隨機(jī)變量的獨(dú)立性P59）7(本題10分)有10盒種子，其中1盒發(fā)芽率為90，其他9盒為20.隨機(jī)選取其中1盒，從中取出1粒種子，該種子能發(fā)芽的概率為多少？若該種子能發(fā)芽，則它來自發(fā)芽率高的1盒的概率是多少？解：記A=該種子能發(fā)芽，B=該種子來自來自發(fā)芽率高的1盒，C=該種子來自來自發(fā)芽率低的1盒則有分解 A=BACA依假設(shè)，P（B）=0.1,P(C)=0.9,P(A|B)=0.9, P(A|C)=0.2所以，P(A)=0.1*0.9+0.9*0.2=0.27 （全概率公式P20）P(B|A)= P(B) P(A|B)/P(A)=0.1*0.9/0.27=1/3（貝葉斯公式P21）8(本題12分) 某射手參加一種游戲，他有4次機(jī)會(huì)射擊一個(gè)目標(biāo).每射擊一次須付費(fèi)10元. 若他射中目標(biāo)，則得獎(jiǎng)金100元，且游戲停止. 若4次都未射中目標(biāo)，則游戲停止且他要付罰款100元. 若他每次擊中目標(biāo)的概率為0.3,求他在此游戲中的收益的期望.解：記X為他在游戲中的收益，則X的分布律為X 90 80 70 60 -140 P 0.3 0.21 0.147 0.1029 0.2401EX=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.659(本題12分)某工廠生產(chǎn)的零件廢品率為5，某人要采購(gòu)一批零件，他希望以95的概率保證其中有2000個(gè)合格品.問他至少應(yīng)購(gòu)買多少零件？(注：,)解：不考10.袋中有大小、重量等完全相同的四個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)學(xué)1，2，2，3，現(xiàn)從袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分別以X、Y記第一次和第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：（1）（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（2）X，Y的邊緣分布；（3）判斷X與Y是否獨(dú)立。解：（1）XY123101/61/1221/61/61/631/121/60（2）X 1 2 3 Y 1 2 3 P 1/4 1/2 1/4 P 1/4 1/2 1/4（3）由于p21=1/6,而p2.=1/2,p.1=1/4，易見p21 p2.*p.1由此，由定義知X與Y不相互獨(dú)立11.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為： （1）求X的分布函數(shù)F解：（1）當(dāng)x1時(shí),F(x)= (-,x) 0dx+(0,1) 2xdx+(1,x) 0dx=1 0 , x1（2）P(0.3X2)= (0.3,1) 2xdx+(1,2) 0dx=0.91(P47 15 P40 例12)12（15分）對(duì)某一目標(biāo)依次進(jìn)行了三次獨(dú)立的射擊，設(shè)第一，二，三次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.4,0.5,0.7，試求：（1）三次射擊中恰好有一次命中的概率(8分)；（2）三次射擊中至少有一次命中的概率(7分)。解：（1）0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36 （2）1- 0.6*0.5*0.3=0.9113設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)連續(xù)，試求：（1）常數(shù)A,B；（2）X的分布函數(shù)F(x)；（3）求的密度函數(shù)。(每小問各5分)解：（1）B=2,A=1(2)(3)14（10分）設(shè)一盒內(nèi)有2件次品，3件正品，進(jìn)行無放回的抽取，每次取一件產(chǎn)品，用X記第一次抽取所取得次品的個(gè)數(shù)，Y記第二次抽取所取得次品的個(gè)數(shù)，試求（X,Y）的聯(lián)合分布律。不做，差不多的題，哈哈15（20分）設(shè)二維隨機(jī)變量（,）的聯(lián)合密度函數(shù)為：，試求：（1） 常數(shù)c；(4分)（2） E(),E(),D(),D()。(16分)16（10分）一個(gè)袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)白球，7個(gè)紅球，現(xiàn)采用不放回方式從中摸球兩次，每次一個(gè)，求：（1）第2次才取到白球的概率； （2）第2次取到白球的概率。(每問各5分)解：（1）記A=第2次才取到白球則P(A)= 7*3/(10*9)=7/30（2）記B=第2次取到白球則P(B)= 7*3/(10*9)+ 3*2/(10*9)=3/1017設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，（1）試確定常數(shù)c；(5分)（2）求X的分布函數(shù)F(x)；(7分)（3）求P|X|2；(5分)（4）求的密度函數(shù)。(8分)18（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（,）的聯(lián)合分布律為： 12341000200304（1） 求,的邊緣分布律；(6分)（2） 求的分布律。(4分)19：某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，若要求，問允許最多為多少？（附：）20：對(duì)球的直徑作測(cè)量，設(shè)其值于上均勻分