測(cè)量誤差分析.ppt

第二章測(cè)量誤差分析與處理 當(dāng)對(duì)同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測(cè)量 得到一系列不同的測(cè)量值 稱為測(cè)量列 利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法 從理論上來(lái)估計(jì)隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 也就是首先從測(cè)量列中求得一個(gè)最優(yōu)概值 然后對(duì)最優(yōu)概值的測(cè)量誤差作出估計(jì) 得出測(cè)量值 這就是數(shù)據(jù)處理 第一節(jié)隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 一 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)測(cè)定值的隨機(jī)性表明了測(cè)量誤差的隨機(jī)性質(zhì) 隨機(jī)誤差就其個(gè)體來(lái)說(shuō)變化是無(wú)規(guī)律的 但在總體上卻遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 測(cè)量列中的隨機(jī)誤差 i xi X0式中 i 測(cè)量列的隨機(jī)誤差 i 1 2 3 n xi 測(cè)量列的測(cè)量值 X0 被測(cè)量的真值 隨機(jī)誤差分布的性質(zhì)有界性 在一定的測(cè)量條件下 測(cè)量的隨機(jī)誤差總是在一定的 相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動(dòng) 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零 單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大 絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小 絕對(duì)值為零的誤差出現(xiàn)的概率比任何其它數(shù)值的誤差出現(xiàn)的概率都大 對(duì)稱性 絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相同 其分布呈對(duì)稱性 抵償性 在等精度測(cè)量條件下 當(dāng)測(cè)量次數(shù)不斷增加而趨于無(wú)窮時(shí) 全部隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零 正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為式中 標(biāo)準(zhǔn)誤差 均方根誤差 e 自然對(duì)數(shù)的底 如用測(cè)定值x本身來(lái)表示 則 二 正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分 對(duì)于一定的被測(cè)量 在靜態(tài)情況下 X0是一定的 的大小表征著諸測(cè)定值的彌散程度 值越小 正態(tài)分布密度曲線越尖銳 幅值越大 值越大 正態(tài)分布密度曲線越平坦 幅值越小 可用參數(shù) 來(lái)表征測(cè)量的精密度 越小 表明測(cè)量的精密度越高 并不是一個(gè)具體的誤差 它的數(shù)值大小只說(shuō)明了在一定條件下進(jìn)行一列等精度測(cè)量時(shí) 隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況 在一定條件下進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí) 任何單次測(cè)定值的誤差 i可能都不等于 但我們認(rèn)為這列測(cè)定值具有同樣的均方根誤差 而不同條件下進(jìn)行的兩列等精度測(cè)量 一般來(lái)說(shuō)具有不同的 值 隨機(jī)誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個(gè)測(cè)定值的真誤差 i的數(shù)值 而只能在一定的概率意義之下估計(jì)測(cè)量隨機(jī)誤差數(shù)值的范圍 或者求得誤差出現(xiàn)于某個(gè)區(qū)間得概率 將正態(tài)分布密度函數(shù)積分概率積分 若令a z 則 第二節(jié)直接測(cè)量誤差分析與處理 子樣平均值 代表由n個(gè)測(cè)定值x1 x2 xn組成的子樣的散布中心子樣方差 描述子樣在其平均值附近散布程度 一 算術(shù)平均值原理 測(cè)定值子樣的算術(shù)平均值是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值 算術(shù)平均值的意義設(shè)x1 x2 xn為n次測(cè)量所得的值 則算術(shù)平均值為 算術(shù)平均值的性質(zhì)用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值 則有式中vi xi的剩余誤差 xi 第i個(gè)測(cè)量值 i 1 2 n 1 剩余誤差的代數(shù)和等于零 即 2 剩余誤差的平方和為最小 即 測(cè)定值子樣平均值的均方根誤差是測(cè)定值母體均方根誤差的倍 在等精度測(cè)量條件下對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量 用測(cè)定值子樣平均值估計(jì)被測(cè)量真值比用單次測(cè)量測(cè)定值估計(jì)具有更高的精密度 二 貝塞爾公式 因?yàn)檎嬷礨0為未知 所以必須用殘差vi來(lái)表示 即此式稱貝塞爾公式 三 測(cè)量結(jié)果的置信度 假設(shè)用對(duì) 進(jìn)行估計(jì)的誤差為 那么 對(duì)于某一指定的區(qū)間 落在該區(qū)間內(nèi)的概率為 同樣地 可以求得測(cè)定值子樣平均值落在區(qū)間 的概率為 表示 測(cè)定值子樣平均值這一隨機(jī)變量出現(xiàn)于一個(gè)固定區(qū)間內(nèi) 這一事件的概率 表示 在寬度一定作隨機(jī)變動(dòng)的隨機(jī)區(qū)間內(nèi)包含被測(cè)量真值 這一事件的概率 定義區(qū)間為測(cè)量結(jié)果的置信區(qū)間 也稱為置信限 為置信區(qū)間半長(zhǎng) 也稱為誤差限概率為測(cè)量經(jīng)過(guò)在置信區(qū)間內(nèi)的置信概率 危險(xiǎn)率 置信區(qū)間與置信概率共同表明了測(cè)量結(jié)果的置信度 即測(cè)量結(jié)果的可信程度 對(duì)于同一測(cè)量結(jié)果 置信區(qū)間不同 其置信概率是不同的 置信區(qū)間越寬 置信概率越大 反之亦然 一列等精度測(cè)量的結(jié)果可以表達(dá)為在一定的置信概率之下 以測(cè)定值子樣平均值為中心 以置信區(qū)間半長(zhǎng)為誤差限的量測(cè)量結(jié)果 子樣平均值 置信區(qū)間半長(zhǎng) 置信概率P 例題1 在等精度測(cè)量條件下對(duì)某透平機(jī)械的轉(zhuǎn)速進(jìn)行了20次測(cè)量 獲得如下的一列測(cè)定值 單位 r min 4753 14757 54752 74752 84752 14749 24750 64751 04753 94751 24750 34753 34752 14751 24752 34748 44752 54754 74650 04751 0試求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速 設(shè)測(cè)量結(jié)果的置信概率P 95 在實(shí)際測(cè)量工作中 并非任何場(chǎng)合下都能對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量 而多為單次測(cè)量 如果知道了在某種測(cè)量條件下測(cè)量的精密度參數(shù) 而且在同樣的測(cè)量條件下取得單次測(cè)量的測(cè)定值 那么單次測(cè)量情況下測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式為 測(cè)量結(jié)果 單次測(cè)定值 置信區(qū)間半長(zhǎng) 置信概率P 例題2 對(duì)例1所述的透平機(jī)轉(zhuǎn)速測(cè)量 設(shè)測(cè)量條件不變 單次測(cè)量的測(cè)定值為4753 1r min 求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速 測(cè)量結(jié)果的置信概率P 95 在同樣的置信概率下 用單次測(cè)定值表示測(cè)量結(jié)果比用多次測(cè)量所獲得的測(cè)定值子樣平均值表示的誤差大 四 測(cè)量結(jié)果的誤差評(píng)價(jià) 標(biāo)準(zhǔn)誤差若測(cè)量結(jié)果用單次測(cè)定值表示 誤差限采用標(biāo)準(zhǔn)誤差 則測(cè)量結(jié)果 單次測(cè)定值x 標(biāo)準(zhǔn)誤差 P 68 3 若測(cè)量結(jié)果用測(cè)定值子樣平均值表示 誤差限采用標(biāo)準(zhǔn)誤差 則測(cè)量結(jié)果 子樣平均值x 標(biāo)準(zhǔn)誤差 P 68 3 極限誤差測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的三倍 定義為測(cè)量列的極限誤差子樣平均值的極限誤差與測(cè)量列極限誤差的關(guān)系是 五 小子樣誤差分析與t分布 當(dāng)測(cè)量次數(shù)很少時(shí) 子樣平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差很不準(zhǔn)確 并且子樣容量愈小 這種情況就愈嚴(yán)重 為了在 未知的情況下 根據(jù)子樣平均值估計(jì)被測(cè)量真值 就須考慮一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 它的分布只取決于子樣容量n 而與 無(wú)關(guān) 這時(shí)需引入統(tǒng)計(jì)量t 定義t為t不服從正態(tài)分布 而服從t分布 其概率密度函數(shù)為式中 是特殊函數(shù) v是正整數(shù) 稱為t分布的自由度 當(dāng)進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量時(shí) 由于t受平均值的約束 服從自由度為n 1的t分布 所以 n 1 t分布與母體均方根誤差 無(wú)關(guān) 只與子樣容量n有關(guān) 表中列有在各種自由度和置信概率下 滿足式的tp值 它表明自由度為v的t分布在區(qū)間 tp tp 內(nèi)的概率為P 假設(shè)一列等精度獨(dú)立測(cè)定值x1 x2 xn服從正態(tài)分布 真值和均方根誤差均未知 根據(jù)這一列測(cè)定值可求得算術(shù)平均值及其均方根誤差的估計(jì)值 由于服從自由度v n 1的t分布 所以可用上式做以下的概率描述或測(cè)量結(jié)果可表示為 測(cè)量結(jié)果 例3 用光學(xué)高溫計(jì)測(cè)量某金屬鑄液的溫度 得到如下5個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù) 975 1005 988 993 987設(shè)金屬鑄液溫度穩(wěn)定 測(cè)溫隨機(jī)誤差屬于正態(tài)分布 試求鑄液的實(shí)際溫度 取P 95 解 根據(jù)P 95 和v 4 查表得tp 2 78 則測(cè)量結(jié)果為 若上例用正態(tài)分布求取給定置信概率下得置信溫度區(qū)間是 980 6 999 0 這要比由t分布求得得區(qū)間小 這表明 在測(cè)量次數(shù)較少的情況下 用正態(tài)分布計(jì)算誤差限 往往會(huì)得到 太好 的結(jié)果 夸大了測(cè)量結(jié)果的精密度 因此 對(duì)小子樣的誤差分析 應(yīng)采用t分布處理 第三節(jié)間接測(cè)量誤差分析與處理 在間接測(cè)量中 測(cè)量誤差是各個(gè)測(cè)量值誤差的函數(shù) 因此 研究間接測(cè)量的誤差也就是研究函數(shù)誤差 研究函數(shù)誤差有下列三個(gè)基本內(nèi)容 已知函數(shù)關(guān)系和各個(gè)測(cè)量值的誤差 求函數(shù)即間接測(cè)量值的誤差 已知函數(shù)關(guān)系和規(guī)定的函數(shù)總誤差 要求分配各個(gè)測(cè)量值的誤差 確定最佳的測(cè)量條件 即使函數(shù)誤差達(dá)到最小值時(shí)的測(cè)量條件 一 誤差傳布原理 設(shè)間接測(cè)量值y是直接測(cè)量值x1 x2 xm的函數(shù) 其函數(shù)關(guān)系的一般形式可表示為y f x1 x2 xm 假定對(duì)x1 x2 xm各進(jìn)行了n次測(cè)量 那么每個(gè)xi都有自己的一列測(cè)定值xi1 xi2 xin 其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為 若將測(cè)量x1 x2 xm時(shí)所獲得的第一個(gè)測(cè)定值代入函數(shù)關(guān)系式 可求得間接測(cè)量值的第一個(gè)測(cè)定值y1 即y1 f x11 x21 xm1 由于測(cè)定值x11 x21 xm1與真值之間存在隨機(jī)誤差 所以y1與真值之間也必定有誤差 記為 y1 由誤差的定義 上式可寫(xiě)為Y y1 f X1 11 X2 21 Xm m1 若較小 且諸Xi是彼此獨(dú)立的量 將上式按泰勒公式展開(kāi) 并取其誤差的一階項(xiàng)作為一次近似 略去一切高階誤差項(xiàng) 那么上式可近似寫(xiě)成 同樣地 將測(cè)量x1 x2 xn時(shí)所獲得的第二 第三 直至第n個(gè)測(cè)定值分別代入函數(shù)關(guān)系式 可得 將上述各式相加并除以n 可求得間接測(cè)量值的算術(shù)平均值 也就是Y的最優(yōu)概值 式中 正好是測(cè)量xm時(shí)所得一列測(cè)定值的算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差 記為 所以 另一方面 將直接測(cè)量x1 x2 xm所獲得的測(cè)定值的算術(shù)平均值 代入函數(shù)關(guān)系式 并將其在x1 x2 xm的鄰域內(nèi)用泰勒公式展開(kāi) 可有 將上兩式進(jìn)行比較 可得由此可得出結(jié)論 間接測(cè)量值的最佳估計(jì)值可以由與其有關(guān)的各直接測(cè)量值的算術(shù)平均值代入函數(shù)關(guān)系式求得 并且可以知道 直接測(cè)量值x1 x2 xm第j次測(cè)量獲得的測(cè)定值的誤差 與其相應(yīng)的間接測(cè)量值Y的誤差之間關(guān)系應(yīng)為 假定的分布服從正態(tài)分布 只有當(dāng)y與x1 x2 xn之間存在線性關(guān)系時(shí) 這種假設(shè)才成立 否則只是近似成立 那么可求得y的標(biāo)準(zhǔn)誤差 其中 根據(jù)隨機(jī)誤差的性質(zhì) 若直接測(cè)量值xi彼此獨(dú)立 則當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí) 必有 i k 所以 則而正好是第i個(gè)直接測(cè)量值xi的標(biāo)準(zhǔn)誤差的平方 因此可得出間接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差與諸直接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差之間如下的關(guān)系 式中 稱為誤差傳遞系數(shù) 稱為自變量xi的部分誤差 記為Di 由此可得出結(jié)論 間接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是各獨(dú)立直接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和函數(shù)對(duì)該直接測(cè)量值偏導(dǎo)數(shù)乘積的平方和的平方根 以上兩個(gè)結(jié)論是誤差傳布原理的基本內(nèi)容 是解決間接測(cè)量誤差分析與處理問(wèn)題的基本依據(jù) 它們還可以推廣到描述間接測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和各直接測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差之間的關(guān)系 有時(shí) 測(cè)量結(jié)果的誤差用相對(duì)誤差的形式描述更合適 如果以間接測(cè)量值的算術(shù)平均值作為約定值 那么間接測(cè)量值y的實(shí)際相對(duì)誤差為式中 是直接測(cè)量值xi的實(shí)際相對(duì)誤差 最后 應(yīng)指出以下兩點(diǎn) 1 上述各公式是建立在對(duì)每一獨(dú)立的直接測(cè)量值xi進(jìn)行多次等精度獨(dú)立測(cè)量的基礎(chǔ)上的 否則 上述公式嚴(yán)格地說(shuō)將不成立 2 對(duì)于間接測(cè)量值與各直接測(cè)量值之間呈非線性函數(shù)關(guān)系的情況 上述公式只是近似的 只有當(dāng)計(jì)算y的誤差允許作線性近似時(shí)才能使用 二 函數(shù)誤差的分配 在間接測(cè)量中 當(dāng)給定了函數(shù)y的誤差 再反過(guò)來(lái)求各個(gè)自變量的部分部分誤差的允許值 以保證達(dá)到對(duì)已知函數(shù)的誤差要求 這就是函數(shù)誤差的分配 誤差分配是再保證函數(shù)誤差再要求的范圍內(nèi) 根據(jù)各個(gè)自變量的誤差來(lái)選擇相應(yīng)的適當(dāng)儀表 1 按等作用原則分配誤差等作用原則認(rèn)為各個(gè)部分誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等 即由此可得如果各個(gè)測(cè)量值誤差滿足上式 則所得的函數(shù)誤差不會(huì)超過(guò)允許的給定值 2 按可能性調(diào)整因?yàn)橛?jì)算得到的各個(gè)局部誤差都相等 這對(duì)于其中有的測(cè)量值 要保證其誤差不超出允許范圍較為容易實(shí)現(xiàn) 而對(duì)有的測(cè)量值就難以滿足要求 因此按等作用原則分配誤差可能會(huì)出現(xiàn)不合理的情況 同時(shí)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí) 相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳遞函數(shù)成反比 所以盡管各個(gè)部分誤差相等 但相應(yīng)的測(cè)量值并不相等 有時(shí)可能相差很大 由于存在以上情況 對(duì)等作用原則分配的誤差 必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整 對(duì)難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大 對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小 而對(duì)其余項(xiàng)不予調(diào)整 3 驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差誤差調(diào)整后 應(yīng)按誤差分配公式計(jì)算總誤差 若超出給定的允許誤差范圍 應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償 若發(fā)現(xiàn)實(shí)際總誤差較小 還可以適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng) 例4 已知銅電阻阻值與溫度的關(guān)系為Rt R20 1 a20 t 20 20 時(shí)銅電阻阻值R20 6 0 018 a20 0 004 0 00004 1 求銅電阻在30 時(shí)的電阻值及其誤差 第五節(jié)粗大誤差 粗大誤差是指不能用測(cè)量客觀條件解釋為合理的那些突出誤差 它明顯地歪曲了測(cè)量結(jié)果 含有粗大誤差的測(cè)定值稱為壞值 應(yīng)予以剔除 產(chǎn)生粗大誤差的原因 測(cè)量者的主觀原因客觀外界條件的原因 一 拉伊特準(zhǔn)則 拉伊特準(zhǔn)則 3 準(zhǔn)則 如果測(cè)量列中某一測(cè)定值殘差vi的絕對(duì)值大于該測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍 那么可認(rèn)為該測(cè)量列中有粗大誤差存在 且該測(cè)定值為壞值 壞值剔除后 應(yīng)重新計(jì)算新測(cè)量列的算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差 并再次進(jìn)行檢驗(yàn)看余下的數(shù)據(jù)中是否還含有壞值 拉伊特準(zhǔn)則是判定粗大誤差存在的一種最簡(jiǎn)單的方法 拉伊特準(zhǔn)則是在重復(fù)測(cè)量次數(shù)n趨于無(wú)窮大的前提下建立的 當(dāng)n有限時(shí) 尤其是當(dāng)n很小時(shí) 如n 10 此準(zhǔn)則就不可靠 二 格拉布斯準(zhǔn)則 對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度獨(dú)立測(cè)量 獲得一列測(cè)定值x1 x2 xn 為了檢查測(cè)定值中是否含有粗大誤差 將xi由小到大按順序排列為 格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論導(dǎo)出了統(tǒng)計(jì)量的分布 取定危險(xiǎn)率a 可求得臨界值g0 n a 而 這樣 得到了判定粗大誤差的格拉布斯準(zhǔn)則 若測(cè)量列中最大測(cè)定值或最小測(cè)定值的殘差有滿足者 則可認(rèn)為含有殘差vi的測(cè)定值是壞值 因此該測(cè)定值按危險(xiǎn)率a應(yīng)該剔除 用格拉布斯準(zhǔn)則判定測(cè)量列中是否含有粗大誤差的壞值時(shí) 選擇不同的危險(xiǎn)率可能得到不同的結(jié)果 危險(xiǎn)率的含義是按本準(zhǔn)則判定為異常數(shù)據(jù) 而實(shí)際上并不是 從而犯錯(cuò)誤的概率 危險(xiǎn)率就是誤剔除的概率 例5 測(cè)某一介質(zhì)溫度15次 得到以下一列測(cè)定值數(shù)據(jù) 20 42 20 43 20 40 20 43 20 42 20 43 20 39 20 30 20 40 20 43 20 42 20 41 20 39 20 39 20 40試判斷其中有無(wú)含有粗大誤差的壞值 解 1 按大小順序?qū)y(cè)定值重新排列20 30 20 39 20 39 20 39 20 40 20 40 20 40 20 41 20 42 20 42 20 42 20 43 20 43 20 43 20 43 2 計(jì)算子樣平均值和測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差 3 選取a 5 查表得g0 15 5 2 41 4 計(jì)算最大與最小測(cè)定值的殘差 并用格拉布斯準(zhǔn)則判定因故x 1 20 30在a 5 下被判定為壞值而剔除 5 剔除含有粗大誤差的壞值后 重新計(jì)算余下測(cè)定值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差 查表求新的臨界值 再進(jìn)行判定 故余下的測(cè)定值中已無(wú)粗大誤差的壞值 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的 它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性 不能像隨機(jī)誤差那樣依靠統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)處理 只能采取具體問(wèn)題具體分析的方法 通過(guò)仔細(xì)的校驗(yàn)和精心的試驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)與消除 第六節(jié)系統(tǒng)誤差的分析與處理 設(shè)有一列測(cè)定值x1 x2 xn 若測(cè)定值xi中含有系統(tǒng)誤差 i 消除系統(tǒng)誤差之后其值為x i 則xi x i i 其算術(shù)平均值為式中 是消除系統(tǒng)誤差之后的一列測(cè)定值的算術(shù)平均值 一 系統(tǒng)誤差的性質(zhì) 測(cè)定值xi的殘差式中 v i是消除系統(tǒng)誤差之后的測(cè)定值的殘差 由此 可以得到系統(tǒng)誤差的兩點(diǎn)性質(zhì) 1 對(duì)恒值系統(tǒng)誤差 由于 所以vi v i 由殘差計(jì)算出的測(cè)量列的均方根誤差式中 是消除系統(tǒng)誤差后測(cè)量列的均方根誤差 因此 得到系統(tǒng)誤差的性質(zhì)之一 恒值系統(tǒng)誤差的存在 只影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度 不影響測(cè)量的精密度參數(shù) 如果測(cè)定值子樣容量足夠大 含有恒值系統(tǒng)誤差的測(cè)定值仍服從正態(tài)分布 2 對(duì)變值系統(tǒng)誤差 一般有 所以vi v i 因此 得到系統(tǒng)誤差的第二個(gè)性質(zhì) 變值系統(tǒng)誤差的存在 不僅影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度 而且會(huì)影響測(cè)量的精密度參數(shù) 二 系統(tǒng)誤差處理的一般原則 1 在測(cè)量之前 應(yīng)該盡可能預(yù)見(jiàn)到產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來(lái)源 設(shè)法消除之 或者使其影響減少到可以接收的程度 系統(tǒng)誤差的來(lái)源一般可以歸納為以下幾個(gè)方面 由于測(cè)量設(shè)備 試驗(yàn)裝置不完善 或安裝 調(diào)整 使用不得當(dāng)而引起的誤差 由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差 由于測(cè)量方法不正確 或者測(cè)量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差 2 在實(shí)際測(cè)量時(shí) 盡可能地采用有效的測(cè)量方法 消除或減弱系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 1 對(duì)置法 消除恒值系統(tǒng)誤差常用的方法 這種方法的實(shí)質(zhì)是交換某些測(cè)量條件 使得引起恒值系統(tǒng)誤差的原因以相反的方向影響測(cè)量結(jié)果 從而中和其影響 例如 在兩臂為l1 l2的天平上稱重 先將被測(cè)重量x放在左邊 標(biāo)準(zhǔn)砝碼P放在右邊 調(diào)平衡后 有 若l1與l2不嚴(yán)格相等 則取x P必引入恒值系統(tǒng)誤差 此時(shí) 若將x P交換位置 由于l1 l2 P需換為P 才能與x平衡 即于是可取這樣可消除因天平臂長(zhǎng)不等而引入的恒值系統(tǒng)誤差 2 對(duì)稱觀測(cè)法 消除線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差最有效的方法 若在測(cè)量過(guò)程中存在某種隨時(shí)間呈線性變化的系統(tǒng)誤差 則可以通過(guò)對(duì)稱觀測(cè)法來(lái)消除 它就是將測(cè)量以某一時(shí)刻為中心對(duì)稱地安排 取各對(duì)稱點(diǎn)兩次測(cè)定值的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果 即可達(dá)到消除線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差的目的 由于許多系統(tǒng)誤差都隨時(shí)間變化 而且在短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為是線性變化 因此 如果條件許可均宜采用對(duì)稱觀測(cè)法 3 半周期偶數(shù)觀測(cè)法 可以很好地消除周期性變化的系統(tǒng)誤差 周期性系統(tǒng)誤差可表示為其中 為常數(shù) t為決定周期性誤差的量 T為周期性系統(tǒng)誤差的變化周期 當(dāng)t t0時(shí) 周期性誤差 0為當(dāng)時(shí) 而 可見(jiàn) 測(cè)得一個(gè)數(shù)據(jù)后 相隔t的半個(gè)周期再測(cè)一個(gè)數(shù)據(jù) 取二者的平均值 即可消去周期性系統(tǒng)誤差 3 在測(cè)量之后 通過(guò)對(duì)測(cè)定值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理 檢查是否存在尚未被注意到的變值系統(tǒng)誤差 4 最后 要設(shè)法估計(jì)出未被消除而殘留下來(lái)的系統(tǒng)誤差對(duì)最終測(cè)量結(jié)果的影響 三 系統(tǒng)誤差存在與否的檢驗(yàn) 一般情況下 人們不能直接通過(guò)對(duì)等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理來(lái)判斷恒值系統(tǒng)誤差的存在 除非改變恒值系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的測(cè)量條件 但對(duì)于變值系統(tǒng)誤差 有可能通過(guò)對(duì)等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理來(lái)判定變值系統(tǒng)誤差的存在 在容量相當(dāng)大的測(cè)量列中 如果存在著非正態(tài)分布的變值系統(tǒng)誤差 那么測(cè)定值的分布將偏離正態(tài) 檢驗(yàn)測(cè)定值分布的正態(tài)性 將揭露出變值系統(tǒng)誤差的存在 在實(shí)際測(cè)量中 往往不必作煩冗細(xì)致的正態(tài)分布檢驗(yàn) 可以借助于考察測(cè)定值殘差的變化情況和利用某些較為簡(jiǎn)捷的判據(jù)來(lái)檢驗(yàn)變值系統(tǒng)誤差的存在 1 根據(jù)測(cè)定值殘差的變化判定變值系統(tǒng)誤差的存在若對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量 獲得一系列測(cè)定值x1 x2 xn 各測(cè)定值的殘差表示為 如果測(cè)定值中系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大 那么 殘差vi的符號(hào)將主要由項(xiàng)的符號(hào)來(lái)決定 因此 如果將殘差按照測(cè)量的先后順序排列起來(lái) 這些殘差的符號(hào)變化將反映出的符號(hào)變化 進(jìn)而反映出 i的符號(hào)變化 由于變值系統(tǒng)誤差 i的變化具有某種規(guī)律 因而殘差vi的變化也具有大致相同的規(guī)律性 由此可得 準(zhǔn)則 將測(cè)量列中諸測(cè)定值按測(cè)量的先后順序排定 若殘差的大小有規(guī)律地向一個(gè)方向變化 由正到負(fù)或者相反 則測(cè)量列中會(huì)有累進(jìn)的系統(tǒng)誤差 準(zhǔn)則 將測(cè)量列中諸測(cè)定值按測(cè)量的先后順序排定 若殘差的符號(hào)呈有規(guī)律的交替變化 則測(cè)量列中含有周期性的系統(tǒng)誤差 例6 對(duì)某恒溫箱內(nèi)的溫度進(jìn)行了10次測(cè)量 一次獲得如下測(cè)定值 20 06 20 07 20 06 20 08 20 1020 12 20 14 20 18 20 18 20 21試判定該測(cè)量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差 解 計(jì)算各測(cè)定值的殘差 并按先后順序排列如下 0 06 0 05 0 06 0 04 0 02 0 0 02 0 06 0 06 0 09可見(jiàn) 殘差由負(fù)變正 其數(shù)值逐漸增大 故測(cè)量列中存在累進(jìn)系統(tǒng)誤差 2 利用判據(jù)來(lái)判定變值系統(tǒng)誤差的存在根據(jù)殘差變化情況來(lái)判定變值系統(tǒng)誤差的存在 只有在測(cè)定值所含系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況下才是有效的 否則 殘差的變化情況并不能作為變值系統(tǒng)誤差存在與否的依據(jù) 為此 還需要進(jìn)一步依靠統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)判別 下面給出幾個(gè)變值系統(tǒng)誤差存在與否的判據(jù) 這些判據(jù)的實(shí)質(zhì)是以檢驗(yàn)分布是否偏離正態(tài)為基礎(chǔ)的 判據(jù)1 對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量 獲得一列測(cè)定值x1 x2 xn 各測(cè)定值的殘差依次為v1 v2 vn 把前面k個(gè)殘差和后面 n k 個(gè)殘差分別求和 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 取k n 2 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 取k n 1 2 并取其差值若差值D顯著地異于零 則測(cè)量列中含有累進(jìn)的系統(tǒng)誤差 判據(jù)2 對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量 獲得一列測(cè)定值x1 x2 xn 各測(cè)定值的真誤差依次為 1 2 n 設(shè) 若 則可認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差 其中 是該測(cè)量列的均方根誤差 判據(jù)2是以獨(dú)立真誤差的正態(tài)分布為基礎(chǔ)的 在實(shí)際計(jì)算中 可以用殘差vi來(lái)代替 i 例7 試用判據(jù)1 2來(lái)判定例6中的測(cè)量列是否含有系統(tǒng)誤差 解 計(jì)算得到各測(cè)定值的殘差 0 06 0 05 0 06 0 04 0 02 0 0 02 0 06 0 06 0 09 用判據(jù)1檢驗(yàn)因?yàn)榭梢?jiàn) D 顯著地異于零 故可認(rèn)為測(cè)量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差 這與準(zhǔn)則1判定的結(jié)論相同 當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)窮大時(shí) 只要D 0 一般就可認(rèn)為測(cè)量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差 當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí) D 0不能說(shuō)明累進(jìn)誤差的存在 一般采用 D vmax 作為判定測(cè)量列中累進(jìn)系統(tǒng)誤差存在的依據(jù) 用判據(jù)2檢驗(yàn)因?yàn)楣士膳卸y(cè)量列內(nèi)含有周期性系統(tǒng)誤差 這一結(jié)果在例6中未曾得到 這說(shuō)明 在判定一個(gè)測(cè)量列中是否會(huì)有變值系統(tǒng)誤差時(shí) 聯(lián)合運(yùn)用上述判定變值系統(tǒng)誤差存在與否的準(zhǔn)則和判據(jù)是有益的 3 利用數(shù)據(jù)比較判定任意兩組數(shù)據(jù)間系統(tǒng)誤差的存在設(shè)對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量 其測(cè)量結(jié)果為任意兩組測(cè)量數(shù)據(jù)之間不存在系統(tǒng)誤差的條件是 第六節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度 一 測(cè)量不確定度定義及其構(gòu)成由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度稱為測(cè)量不確定度 在數(shù)值上為 由一個(gè)測(cè)量列得到的測(cè)量結(jié)果中 如在其算術(shù)平均值中 已按已知的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了修正 則它與被測(cè)量的真值之間的差 存在某一估算的間隔 區(qū)間 范圍 這個(gè)范圍的上限與修正過(guò)的平均值的差 或修正過(guò)的平均