函數(shù)創(chuàng)新試題之“新定義型”函數(shù).doc

函數(shù)創(chuàng)新試題之“新定義型”函數(shù) 近幾年高考試題或模擬試題中出現(xiàn)了一種函數(shù)創(chuàng)新試題“新定義型”函數(shù)。它是以“新定義型”函數(shù)的定義或性質(zhì)為載體，考察學(xué)生的創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決問(wèn)題的能力。本文在此介紹幾種常見(jiàn)的“新定義型”函數(shù)，旨在探索題型規(guī)律，提高解題的方法。 一、密切函數(shù) 例1.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a,b上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x a,b，都有f（x）-g(x)1。則稱f(x)和g(x)在a,b上是“密切函數(shù)”，a,b稱為“密切區(qū)間”，設(shè)f(x)=x2-3x+4 與g(x)=2x-3在a,b上是“密切函數(shù)”，則它的“密切區(qū)間”可以是（ ） A，3，4 B，2，4 C，2，3 D，1，4 解析：由f(x)-g(x)= x2-5x+7 =x2-5x+7 1 得2 x 3,故所求密切區(qū)間可以是2，3 ，故應(yīng)選C. 二，科比函數(shù) 例2，對(duì)于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b(a,b),使當(dāng)x a,b時(shí)，f(x)的值域也是a,b,則稱函數(shù)f(x)為“科比函數(shù)”。若函數(shù)f(x)=k+ 是科比函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ） A.（ ，） B、 C. D. 解析：因?yàn)閒(x)=k+ 是增函數(shù)，若f(x)=k+ 是“科比函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)a,b(-2 a b),使 f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b為方程x=k+ 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而方程k=x- 有兩個(gè)不同實(shí)根，令 =t 則k=t2-t-2 (t 0) 當(dāng)t=0時(shí),k=-2;當(dāng)t= 時(shí),k= ,由圖可知，當(dāng) k -2 時(shí)，直線y=k與曲線y=t2-t-2(t0)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即方程k=t2-t-2有兩個(gè)不等實(shí)根，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是 故應(yīng)選C. 三， 保等比數(shù)列函數(shù)例3，定義在 上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an、f(an) 仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”。現(xiàn)有定義在 上的函數(shù)如下： f(x)= x2; f(x)=2x; f(x)= ; f(x)=ln .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為（ ）。A、 B C D 解析：根據(jù)“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷，如 an是等比數(shù)列，則an2 、 也是等比數(shù)列， 、 不一定是等比數(shù)列，故應(yīng)選C。 四，延拓函數(shù)例4，已知函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為F、G，且F G，若對(duì)于任意的x F，都有g(shù)（x）=f（x)，則稱g（x）為f（x）在G上的一個(gè)“延拓函數(shù)”。已知函數(shù)f（x）=2x，（x 0), 若 g（x）為f（x)在R上的一個(gè)“延拓函數(shù)”，且g（x）是偶函數(shù)，則函數(shù)g（x）的解析式是（ ）。A、 B.log2x C . D.解析：由題意得，當(dāng)x 0時(shí)，g（x）=f（x）= 2x = 2-x 又g（x）是偶函數(shù)，因此有g(shù)(-x)=g(x)恒成立，當(dāng)x 0 時(shí)，-x 0, g(x)=g(-x)=2-x= 綜上所述，g(x)= 故應(yīng)選C。 五，符號(hào)函數(shù) 1 (x0)例5，已知符號(hào)函數(shù)sgn( x)= 0 (x=0)，則函數(shù)f(x)=sgn( lnx )- lnx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） -1 (x0)A、1 B, 2 C , 3 D, 4 1 (x1)解析：由題意知sgn(lgx )= 0 (x=1) 在同一直角坐標(biāo)系中作出y=sgn( lnx )與y=lnx 的圖像， -1(0x1)由圖可知，兩函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)為3，故應(yīng)選C。 六，單函數(shù) 例6，函數(shù)的定義域?yàn)锳，若x1,x2A，且f（x1）=f( x2)時(shí)總有x1=x2 ，則稱f（x）為單函數(shù)。例如，函數(shù)f（x）=2x+1是單函數(shù)。下列命題：a,函數(shù)f（x）= x2(x R) 是單函數(shù)；b,指數(shù)函數(shù)f（x）=2x(x R)是單函數(shù)；c,若f（x）為單函數(shù)，x1,x2A且x1x2，則f( x1) f( x2)；d,在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)。其中的真命題是 _（寫出所有真命題的序號(hào)）解析：對(duì)于a，顯然f(-1)=f（1），但-11，故f(x)=x2不是單函數(shù)；對(duì)于b，f(x)= 2x是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足單函數(shù)的定義；對(duì)于c，該命題為定義的逆否命題，是真命題；對(duì)于d，單調(diào)函數(shù)顯然滿足單函數(shù)的定義，所以正確。故應(yīng)填 b c d . 七，非減函數(shù)例7，函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1,x2D，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 f（x1） f（x2），則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)為定義在0，1上的非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：a f(0)=0 ; b f(1-x) +f(x)=1 x 0,1; c 當(dāng)x 0, 時(shí)，f(x) 2x恒成立 則 f( )+f( )+f( )=_解析：因?yàn)閤 0, ,f(x) 2x 恒成立，令x= 得f( ) ，又在f(1-x)+f(x)=1中，令x= 得f ( )= ，所以f( )=f( )，因而x , f(x)= ，從而f( )= , f( )= ，因而f( )=1-f( )，故應(yīng)填上 。 八，t低調(diào)函數(shù)例8，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若存在非零實(shí)數(shù)t，使得對(duì)于任意x C（C A）,有x+t A，且f(x+t) f(x)，則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)。如果定義域?yàn)?,+)的函數(shù)f(x)= -x-m2+m2，且f(x)為0, +)上的10低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析：由題意可知，對(duì)于任意x 0，f(x+10) f(x)都成立，畫出函數(shù)f(x)= -x-m2+m2圖像，易知f(x+10)的圖像永遠(yuǎn)在f(x)的圖像下方，f(x+10)的圖像與x軸的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2m2-10，只需 2m2-100即可，解得 ，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為 , 九，上界函數(shù)例9，若f（x）g(x)滿足恒成立，則稱f(x)是g(x)的一個(gè)上界函數(shù)，如果函數(shù)f(x)=lnx 為g(x)= -lnx（t為實(shí)數(shù)）的一個(gè)上界函數(shù)，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍為_解析：由題意可知f(x) g(x)恒成立，即 -lnx lnx恒成立，因?yàn)閤 0，所以t 2xl