破題36計(jì)第1計(jì).doc

歡迎點(diǎn)擊 阿才妙的數(shù)學(xué)教育反思 /數(shù)學(xué)破題36計(jì)第1計(jì) 芝麻開門 點(diǎn)到成功計(jì)名釋義七品芝麻官，說的是這個(gè)官很小，就是芝麻那么小的一點(diǎn). 阿里巴巴用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點(diǎn)芝麻，竟把那個(gè)龐然大門給“點(diǎn)”開了. 數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線共點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等等，這些足以說明“點(diǎn)”的重要性. 因此，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例題 （2006年鄂卷第15題）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，則 . 分析 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號(hào)省去的有無窮之多，真乃是個(gè)龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我們就打這個(gè)頂點(diǎn)的主意. 解 將等式與右邊的頂點(diǎn)三角形對(duì)應(yīng)（圖右），自然有 對(duì)此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對(duì)一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. 插語 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進(jìn)行解析，而是以點(diǎn)帶面，點(diǎn)到成功. 要點(diǎn)明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂點(diǎn). 因?yàn)槿切沃腥我粋€(gè)數(shù)，都等于對(duì)應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無窮數(shù)列的首項(xiàng). 解 在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)，并將和數(shù)列 中的各項(xiàng)依次“以點(diǎn)連線”（圖右實(shí)線），實(shí)線所串各數(shù)之和就是an . 這個(gè)an，就等于首項(xiàng)左上角的那個(gè). 因?yàn)樵谙蛳乱环譃槎M(jìn)行依次列項(xiàng)時(shí)，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項(xiàng)（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. 點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門”，這里的點(diǎn)是一個(gè)具體的數(shù)，采用的方法是以點(diǎn)串線三角形中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對(duì)的那個(gè)數(shù)就是問題的答案. 事實(shí)上，三角形中的任何一個(gè)數(shù)（點(diǎn)）都有這個(gè)性質(zhì). 例如從這個(gè)數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個(gè)數(shù)的左上角的那個(gè)數(shù). 用等式表示就是 鏈接 本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個(gè)10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. 法1 由知，可用合項(xiàng)的辦法，將的和式逐步合項(xiàng). 法2 第二問實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而法3 （2）將代入條件式，并變形得取令得 ， 以上諸式兩邊分別相加，得 說明 以上三法，都是對(duì)解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動(dòng)用了牛刀. 為此我們認(rèn)識(shí)到“芝麻開門，點(diǎn)到成功”在使用對(duì)象上的真正意義. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且A1P=CQ，則四棱錐B1A1PQC1的體積與多面體ABCPB1Q的體積比值為 . 參考解答1找“點(diǎn)”橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2. 連接P1F2 、P2F2 、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由橢圓的對(duì)稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2找“點(diǎn)”動(dòng)點(diǎn)P、Q的極限點(diǎn). 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動(dòng)點(diǎn)P與A1重合，動(dòng)點(diǎn)Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FCAA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐CA1B1C1 .顯然V棱柱.=于是奇兵天降答案為.點(diǎn)評(píng) “點(diǎn)到成功”的點(diǎn)，都是非一般的特殊點(diǎn)，它能以點(diǎn)帶面，揭示整體，制約全局. 這些特