第18講高頻考點(diǎn)分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討.doc

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第18講：高頻考點(diǎn)分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室 編輯12講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)，高考中命題、邏輯推理和程序框圖問題主要有以下幾種：1. 四種命題的判定；2. 真假命題的判定；3. 充分必要條件的判定；4. 邏輯推理；5. 程序框圖。結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以上五方面探討命題和簡(jiǎn)易邏輯問題的求解。一、四種命題的判定：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年安徽省文5分）命題“存在實(shí)數(shù),，使”的否定是【 】 對(duì)任意實(shí)數(shù), 都有 不存在實(shí)數(shù)，使 對(duì)任意實(shí)數(shù), 都有 存在實(shí)數(shù)，使【答案】?！究键c(diǎn)】否命題?！窘馕觥咳绻麅蓚€(gè)命題中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱互為否命題。因此，命題“存在實(shí)數(shù),，使”的否定是：對(duì)任意實(shí)數(shù), 都有。故選。例2. （2012年湖北省理5分）命題“”的否定是【 】A B C D 【答案】D?！究键c(diǎn)】命題的否定。【解析】根據(jù)特稱命題“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”，結(jié)合已知中命題，即可得到答案：命題“”是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，“”的否定是“”。故選D。例3. （2012年湖北省文5分）命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是【】A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) 【答案】B?！究键c(diǎn)】命題的否定?！窘馕觥扛鶕?jù)特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個(gè)無理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”。故選B。例4. （2012年湖南省理5分）命題“若，則”的逆否命題是【 】A.若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】C ?！究键c(diǎn)】四種命題?！窘馕觥恳?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以 “若，則”的逆否命題是 “若，則”。 故選C。例5. （2012年遼寧省理5分）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則p是【 】(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0【答案】C?！究键c(diǎn)】含有量詞的命題的否定?！窘馕觥棵}p為全稱命題，所以其否定p應(yīng)是特稱命題，所以(f(x2)f(x1)(x2x1)0否定為(f(x2)f(x1)(x2x1)0。故選C。例6. （2012年重慶市文5分）命題“若p則q”的逆命題是【 】（A）若q則p （B）若p則 q（C）若則 （D）若p則【答案】A ?！究键c(diǎn)】四種命題?！痉治觥繉⒃}的條件與結(jié)論互換，可得逆命題，從而可得解答：命題“若p則q”的逆命題是：若q則p。故選A 。例7. （2012年陜西省理12分）（1）如圖，證明命題“是平面內(nèi)的一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真.（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【答案】解：（1）證明：如圖，過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)直線的方向向量分別是，則共面。根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)使得，則。，。又，。，從而。（2）逆命題：a是平面內(nèi)一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則。逆命題為真命題?！究键c(diǎn)】向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系，命題?！窘馕觥浚?）作出輔助線，在直線上構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方向向量：過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到結(jié)果。 另解： 如圖，記，為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作，垂足為，則。，直線。又，平面，平面。又平面，。（2）把所給的命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出逆命題的正確性。 如上圖，記，為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作，垂足為，則。，直線。又，平面。又平面，。二、真假命題的判定：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：其中的真命題為【 】 的共軛復(fù)數(shù)為 的虛部為 【答案】?！究键c(diǎn)】真假命題，復(fù)數(shù)的概念?！窘馕觥浚?的共軛復(fù)數(shù)是， 不是真命題；是真命題；的共軛復(fù)數(shù)為不是真命題；的虛部為是真命題。故選。例2. （2012年四川省理5分）下列命題正確的是【 】A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C。【考點(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)?！窘馕觥坎捎门懦ǎ喝魞蓷l直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確。故選C。例3. （2012年山東省文5分）設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.則下列判斷正確的是【 】 A p為真B 為假C 為假D 為真【答案】C?！究键c(diǎn)】真假命題的判定，三角函數(shù)的周期和對(duì)稱性?！窘馕觥亢瘮?shù)的最小正周期為，命題p為假。 函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，命題q為假。 為假。故選C。例4. （2012年江西省理5分）下列命題中，假命題為【 】A存在四邊相等的四邊形不是正方形B為實(shí)數(shù)的充分必要條件是互為共軛復(fù)數(shù)C若，且則至少有一個(gè)大于D對(duì)于任意都是偶數(shù)【答案】B?！究键c(diǎn)】真假命題的判定，特稱命題和全稱命題，充要條件，共軛復(fù)數(shù)，不等式的基本性質(zhì)，二項(xiàng)式定理?！窘馕觥繉?duì)于A項(xiàng)，通過特例判斷：例如菱形，滿足四邊相等的四邊形不是正方形，所以A為真命題；對(duì)于B項(xiàng)，通過特例判斷：令,顯然，但不互為共軛復(fù)數(shù)，所以B為假命題；對(duì)于C項(xiàng)，通過不等式的基本性質(zhì)判斷：顯然正確（可用它的逆否命題證明），所以C為真命題；對(duì)于D項(xiàng)，通過二項(xiàng)式定理系數(shù)的特例判斷：根據(jù)二項(xiàng)式定理，對(duì)于任意有為偶數(shù)，所以D為真命題。綜上所述，假命題為B項(xiàng)。故選B。例5. （2012年浙江省理5分）設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是【 】【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】 A若，則數(shù)列有最大項(xiàng) B若數(shù)列有最大項(xiàng)，則 C若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有 D若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C?！究键c(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性?！窘馕觥窟x項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立。故選C。例6. （2012年福建省理5分）下列命題中，真命題是【 】Ax0，0Bx，2xx2Cab0的充要條件是1Da1，b1是ab1的充分條件【答案】D。【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應(yīng)用。【解析】對(duì)于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不存在x0，使得0，因此A是假命題。對(duì)于B，當(dāng)x2時(shí)，2xx2，因此B是假命題。對(duì)于C，當(dāng)ab0時(shí)，不存在，因此C是假命題。對(duì)于D，a1，b1時(shí) ab1，所以a1，b1是ab1的充分條件，因此D是真命題。故選D。例7. （2012年福建省理5分）函數(shù)在a，b上有定義，若對(duì)任意x1，x2a，b，有，則稱在a，b上具有性質(zhì)P.設(shè)在1,3上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：在1,3上的圖象是連續(xù)不斷的；在1，上具有性質(zhì)P；若在x2處取得最大值1，則1，x1,3；對(duì)任意x1，x2，x3，x41,3，有其中真命題的序號(hào)是【 】A B C D【答案】D。【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的連續(xù)性?！窘馕觥繉?duì)于命題，設(shè)，顯然它在1,3上具有性質(zhì)P，但函數(shù)在處是不連續(xù)的，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，設(shè)，顯然它在1,3上具有性質(zhì)P，但在1，上不具有性質(zhì)P，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，在x2處取得最大值1，在1，3上，即。1，x1,3。命題正確；對(duì)于命題，對(duì)任意x1，x2，x3，x41,3，有命題正確。故選D。例8. （2012年四川省理4分）記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有 _。（寫出所有真命題的編號(hào)）【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】【答案】。【考點(diǎn)】真命題的判定，對(duì)高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質(zhì)，特殊值法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用。【解析】對(duì)于，若，根據(jù) 當(dāng)n=1時(shí)，x2=3, 同理x3=。 故正確。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=3時(shí)，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2，1，2，1，不成立。故錯(cuò)誤。對(duì)于，由的定義知，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)、，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有。和都是整數(shù)，。又當(dāng)時(shí)，成立。當(dāng)時(shí)，。故正確。對(duì)于，當(dāng)時(shí)， ，即。，即，解得。由，。故正確。綜上所述，真命題有 。例9. （2012年四川省文4分）設(shè)為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則。其中的真命題有 。（寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】。【考點(diǎn)】真命題的判定，特殊值法的應(yīng)用?！窘馕觥繉?duì)于，為正實(shí)數(shù)，。 又，。故正確。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，但。故錯(cuò)誤。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，但。故錯(cuò)誤。對(duì)于，不妨設(shè)，由得，。為正實(shí)數(shù)，。故正確。且，。綜上所述，真命題有 。三、充分必要條件的判定：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年北京市理5分）設(shè)a，bR.“a=0”是復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的【 】A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B。【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念，純虛數(shù)的定義，充分必要條件的判定。【解析】復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)必須滿足a=0，b0同時(shí)成立。當(dāng)a =0 時(shí)，如果b =0，此時(shí)a+bi 是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件：而如果a + bi已經(jīng)為純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0。因此，.“a=0”是復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件。故選B。例2. （2012年上海市文5分）對(duì)于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的【 】A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件【答案】B。【考點(diǎn)】充分條件、必要條件和充要條件，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。【解析】方程的曲線表示橢圓，常數(shù)的取值為或，所以，由得不到方程的曲線表示橢圓，因而不充分。反過來，根據(jù)該曲線表示橢圓，能推出，因而必要。“”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件。故選B。例3. （2012年四川省文5分）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是【 】A、且 B、 C、 D、【答案】D?！究键c(diǎn)】充分條件?！窘馕觥咳羰钩闪?， 即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選D。例4. （2012年天津市理5分）設(shè)，則“”是“為偶函數(shù)”的【 】（A）充分而不必要條件 （）必要而不充分條件（）充分必要條件 （）既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，函數(shù)奇偶性的判斷。【分析】為偶函數(shù)，成立； 為偶函數(shù)，推不出。 “”是“為偶函數(shù)”的充分而不必要條件。故選A。例5. （2012年天津市文5分）設(shè)，則“”是“”的【 】（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次不等式的解?！痉治觥坎坏仁降慕饧癁榛?，“”是“”成立的充分不必要條件。故選A。例6. （2012年安徽省理5分）設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且， 則“”是“”的【 】 充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 即不充分不必要條件【答案】?！究键c(diǎn)】充分和必要條件，兩直線垂直的判定和性質(zhì)?！窘馕觥浚啊笔恰啊钡某浞謼l件。 如果，則與條件相同，“”是“”的不必要條件。故選。例7.（2012年山東省理5分） 設(shè) ，則“函數(shù)在R上是減函數(shù) ”，是“函數(shù)在R上是增函數(shù)”的【 】A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A。【考點(diǎn)】充分必要條件的判斷，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)。【解析】p：“函數(shù)在R上是減函數(shù) ”等價(jià)于，q：“函數(shù)在R上是增函數(shù)”等價(jià)于且，即且，p是q成立的充分不必要條件.。故選A。例8. （2012年浙江省理5分）設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的【 】 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A。【考點(diǎn)】充分必要條件。【解析】當(dāng)a1時(shí)，直線l1：x2y10與直線l2：x2y40顯然平行，所以“”是“直線：與直線：平行”的充分條件； 若直線l1與直線l2平行，則有：，解之得：a1 或a2，所以“”是“直線：與直線：平行”的不必要條件。 “”是“直線：與直線：平行”的充分不必要條件。故選A。例9. （2012年湖北省文5分）設(shè) R，則 “”是“”的【】A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要的條件【答案】A。【考點(diǎn)】充分、必要條件的判定，基本不等式的應(yīng)用。【解析】當(dāng)時(shí)，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立），。當(dāng)取,顯然有,但。由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選A。例10. （2012年重慶市理5分）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為0，1上的增函數(shù)”是“為3，4上的減函數(shù)”的【 】（A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件 （C）必要而不充分的條件 （D）充要條件【答案】D?！究键c(diǎn)】充分條件、必要條件、和充要條件的判定，函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性及其之間的關(guān)系?！痉治觥繛?，1上的增函數(shù)，是偶函數(shù)，在上遞減。任取，則。又是周期為2的周期函數(shù)，且。為3，4上遞減。反之，當(dāng)在3，4上遞減時(shí)，根據(jù)是周期為2的周期函數(shù)知在上遞減；又根據(jù)是定義在R上的偶函數(shù)，得到在0，1上遞增。故選D。例11. （2012年陜西省理5分）設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的【 】A.充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B?！究键c(diǎn)】充分必要條件?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，只有，并且時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，否則不成立。所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的不充分條件。 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有：，所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要條件。 “”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要不充分條件。故選B。例12. （2012年安徽省理13分） 數(shù)列滿足： （I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是 （II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?！敬鸢浮拷猓海↖）證明：必要條件： 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。 充分條件 當(dāng)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)，。 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。 （II）由（I）得： 當(dāng)時(shí)，不合題意。 當(dāng)時(shí)， 。 由解得，。 ， 。 。 又 ，當(dāng)時(shí)，。與同號(hào)。由得，。 。 當(dāng)時(shí)，存在，使，即即與異號(hào)。與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾。綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。【考點(diǎn)】充分必要條件，數(shù)列的單調(diào)性證明?！窘馕觥浚↖）要證數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是，即要由得出數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列：由數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列得。 （II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，即要求出數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)之差大于0時(shí)的取值范圍。由（I）和時(shí)，不合題意。因此在的條件下推導(dǎo)。四、邏輯推理：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國(guó)大綱卷理5分）正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【 】A16 B14 C12 D10【答案】A。【考點(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)。【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可。 也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖， 為便是于計(jì)算，將正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大7倍，這樣邊長(zhǎng)為7，。 這些三角形相似的兩邊長(zhǎng)之比。 ；。 經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對(duì)稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對(duì)稱性，再經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共14次碰撞。故選A。例2. （2012年全國(guó)大綱卷文5分）正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【 】A 8 B 6 C 4 D 3【答案】B?！究键c(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)?！窘馕觥拷Y(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞6次即可。 也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖， 為便是于計(jì)算，將正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，這樣邊長(zhǎng)為7，。 這些三角形相似的兩邊長(zhǎng)之比。 ； 經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對(duì)稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對(duì)稱性，再經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共6次碰撞。故選B。例3. （2012年江西省理5分）觀察下列各式：則【 】A28 B76 C123 D199【答案】C。【考點(diǎn)】歸納推理的思想方法。【解析】觀察各等式的右邊,它們分別為1，3，4，7，11，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)就是它的前兩項(xiàng)之和，故等式的右邊依次為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,，故。故選C。例4. （2012年福建省文5分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等于【 】A1006 B2012 C503 D0【答案】A。【考點(diǎn)】規(guī)律探索題。【解析】尋找規(guī)律：a11cos0，a22cos2，a33cos0，a44cos24；a55cos0，a66cos36，a77cos0，a88cos8；該數(shù)列每四項(xiàng)的和。20124=503，S2 01225031006。故選A。例5. （2012年北京市理5分）已知，若同時(shí)滿足條件：，則m的取值范圍是 【答案】?！景鏅?quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】【考點(diǎn)】簡(jiǎn)易邏輯，函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻谩?條件，當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，不能做到在時(shí)，所以舍去。 作為二次函數(shù)開口只能向下，且此時(shí)兩個(gè)根為。 為保證條件成立，必須。 又由條件的限制，可分析得出時(shí)，恒負(fù)。 就需要在這個(gè)范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即4應(yīng)該比兩根中小的那個(gè)大。 由得， 當(dāng)時(shí)，解得交集為空集，舍去。 當(dāng)時(shí)，兩根同為24，舍去。當(dāng)時(shí)，。綜上所述，。例6. （2012年湖北省文5分）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3， 6,10，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè)：（）是數(shù)列中的第項(xiàng)；（） =。（用表示）【答案】（）5030；（）?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑梢陨弦?guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式為，寫出其若干項(xiàng)有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110。故。從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數(shù)），。故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng)。例7. （2012年湖南省理5分）設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號(hào)為1,2，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2in-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第 個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n8）時(shí)，x173位于P4中的第 個(gè)位置.【答案】（1）6；（2）?！究键c(diǎn)】演繹推理的基本方法，進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理。【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí), ,可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個(gè)位置。（2）考察C變換的定義及（1）計(jì)算可發(fā)現(xiàn)：第一次C變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號(hào)組成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以2為首項(xiàng)；第二次C變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以為4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以3為首項(xiàng)，第三段序號(hào)以2為首項(xiàng)，第四段序號(hào)以4為首項(xiàng)；依此類推可得出P4中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號(hào)分別為1，9，5，13，由于173=1610+13，故x173位于以13為首項(xiàng)的那一段的第11個(gè)數(shù)，由于N=2n（n8）故每段的數(shù)字有2n-4個(gè)，以13為首項(xiàng)的是第四段，故x173位于第個(gè)位置。例8. （2012年福建省理4分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012 .【答案】3018?！究键c(diǎn)】規(guī)律探索題?！窘馕觥繉ふ乙?guī)律：a11cos11，a22cos11，a33cos11，a44cos215；a55cos11，a66cos315，a77cos11，a88cos19；該數(shù)列每四項(xiàng)的和。20124=503，S2 01265033018。例9. （2012年福建省文4分）某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小，例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為 【答案】16?！究键c(diǎn)】最優(yōu)設(shè)計(jì)方案?！窘馕觥扛鶕?jù)題意先選擇中間最優(yōu)線路，中間有三條，分別是AFGD，EFB，EGC，費(fèi)用最低的是AFGD為3126；再選擇AFGD線路到點(diǎn)E的最低費(fèi)用線路是：AE費(fèi)用為2；再選擇AFGD到CB的最低費(fèi)用，則選擇：GCB，費(fèi)用最低為358，所以鋪設(shè)道路的最小費(fèi)用為：62816。例10. （2012年陜西省理5分） 觀察下列不等式【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 .【答案】。【考點(diǎn)】歸納規(guī)律。【解析】由題設(shè)中所給的三個(gè)不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續(xù)正整數(shù)平方的倒數(shù)和，最后一個(gè)數(shù)的分母是不等式序號(hào)n+1的平方；右邊分式中的分子與不等式序號(hào)n的關(guān)系是2n+1，分母是不等式的序號(hào)n+1，得出第n個(gè)不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五個(gè)不等式，即。例11. （2012年北京市文13分）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0。記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），c j（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。（1）對(duì)如下數(shù)表A，求k（A）的值110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表A形如1112ddd1其中1d0.求k（A）的最大值；（3）對(duì)所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A ，求k(A)的最大值。【答案】解：（1）由題意可知， 。（2）1d0，。當(dāng)d=0時(shí)，k（A）取得最大值1。（3）任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A（如下所示）abcdef任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性質(zhì)P，并且k（A）=k（A*）因此，不防設(shè)r1（A）0，c1（A）0，c2（A）0，由k（A）的定義知，k（A）r1（A），k（A）c1（A），k（A）c2（A），k（A）1由（2）可知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使k（A）=1，故k（A）的最大值為1。【考點(diǎn)】邏輯推理。【解析】（1）根據(jù)ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），c j（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）k（A）的定義可求出k（A）=1+d，然后根據(jù)d的取值范圍可求出所求。（3）任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性質(zhì)P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防設(shè)r1（A）0，c1（A）0，c2（A）0，然后利用不等式的性質(zhì)可知3k（A）r1（A）+c1（A）+c2（A），從而求出k（A）的最大值。例12. （2012年上海市理18分）對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)n1時(shí)，1=1；（6分） （3）若X具有性質(zhì)P，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式。 ，從而=4。 （2）證明：取，設(shè)滿足。 由得，、異號(hào)。 1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為1，另一為1。故1X。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為1。若=1，則，矛盾；若=1，則，矛盾.=1。 （3）猜測(cè)，i=1, 2, , 。 記，=2, 3, , 。 先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P。 任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)1時(shí)，顯然有滿足。 當(dāng)且時(shí)，、1。 具有性質(zhì)P，有，、，使得。從而和中有一個(gè)是1，不妨設(shè)=1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾。，從而也具有性質(zhì)P?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, , 。當(dāng)=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。 假設(shè)時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1, 2, , ； 則當(dāng)時(shí)，若有性質(zhì)P，則 也有性質(zhì)P，所以。 取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個(gè)為1。 若，則，所以，這不可能； ，又，所以。 綜上所述，i=1, 2, , 。 【考點(diǎn)】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)直接求解。（2）用反證法給予證明。 （3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)，i=1, 2, , 。例13. （2012年北京市理13分）設(shè)A是由mn個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對(duì)于AS(m，n)，記Ri(A)為A的第行各數(shù)之和（1m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1jn）；記K(A)為R1(A),R2(A),Rm(A),C1(A),C2(A),Cn(A)中的最小值。（1）對(duì)如下數(shù)表A，求的值；110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表AS（2,3）形如11cab1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的AS（2，2t+1），求的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知， 。（2）先用反證法證明：若，則，（無解）。同理可知。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，解得，與題設(shè)矛盾。易知當(dāng)時(shí)，存在。的最大值為1。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個(gè)數(shù)表AS（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則。另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)。考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過1（即每個(gè)正數(shù)均不超過1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對(duì)值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為。【考點(diǎn)】邏輯推理，反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），c j（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。 （2）用反證法證明。 （3）先構(gòu)造滿足的，用反證法證明是最大值。【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例14. （2012年湖北省理14分）（）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且.求的最小值；（II）試用（1）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)為正有理數(shù)，若，則；（III）請(qǐng)將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題。注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式【答案】解：（），令，解得。當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù)；【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不當(dāng) 時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù)。函數(shù)在處取得最小值。 （）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即 。若，中有一個(gè)為0，則成立；若，均不為0，又，可得。于是在中令，可得，即，亦即。綜上，對(duì)，為正有理數(shù)且，總有 。（）（）中命題的推廣形式為：設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù). 若，則. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，有，成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即若為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，則。 當(dāng)時(shí)，已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，此時(shí)，即。=。，由歸納假設(shè)可得，。又，由得，.故當(dāng)時(shí)，成立。由（1）（2）可知，對(duì)一切正整數(shù)，所推廣的命題成立，【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。【解析】（）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。（）由（）的結(jié)論，分，中有一個(gè)為0和，均不為0討論即可。（）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明。五、程序框圖：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）如果執(zhí)行下邊的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，輸出，則【 】為的和 為的算術(shù)平均數(shù)和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)和分別是中最小的數(shù)和最大的數(shù)【答案】?！究键c(diǎn)】程序框圖的結(jié)構(gòu)?！窘馕觥扛鶕?jù)程序框圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是：和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)。故選。例2. （2012年北京市理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為【 】A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C。【考點(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)Sk循環(huán)前10第一圈是21第二圈是42第三圈是83第四圈否輸出8 最終輸出結(jié)果k=4。故選C。例3. （2012年天津市理5分）閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入的值為時(shí)，輸出的值為【 】（A） （）（）（）【答案】C。【考點(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前25第一圈是4第二圈是1第三圈否輸出3 最終輸出結(jié)果。故選C。【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例4. （2012年天津市文5分）閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為【 】（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【答案】C。【考點(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前01第一圈是2第二圈是3第三圈是4第四圈否輸出26 最終輸出結(jié)果。故選C。例5. （2012年安徽省理5分）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是【 】 【答案】。【考點(diǎn)】程序框圖的結(jié)構(gòu)。【解析】根據(jù)程序框圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是計(jì)算滿足的最小項(xiàng)數(shù)：根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈是22第二圈是43第三圈是84第四圈否輸出4 最終輸出結(jié)果。故選。例6. （2012年山東省理5分）執(zhí)行下面的程序圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為【 】A 2 B 3 C 4 D 5【答案】B?！究键c(diǎn)】程序框圖?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)n= n+1P=P+42Q=2Q+1循環(huán)前001第一圈是013第二圈是157第三圈是22115第四圈否輸出3 最終輸出結(jié)果n =3。故選B。例7. （2012年遼寧省理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是【 】 (A) 1 (B) (C) (D) 4【答案】D?！究键c(diǎn)】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，數(shù)列的周期性。【解析】根據(jù)程序框圖可計(jì)算得由此可知S的值呈周期出現(xiàn)，其周期為4，輸出時(shí)因此輸出的值與時(shí)相同。故選D。例8. （2012年廣東省文5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為6，則輸出的值為 【 】 A B C D 【答案】C。【考點(diǎn)】程序框圖。【解析】本循環(huán)結(jié)構(gòu)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，它所表示的算式為=135（2i-1），輸入n=6，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為，即=1，3，5，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的s值：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不滿足條件“ ”，退出循環(huán)，則輸出的。故選C。例9. （2012年陜西省理5分）下圖是用模擬方法估計(jì)圓周率的程序框圖，表示估計(jì)結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考點(diǎn)】程序框圖。【解析】