統(tǒng)計學教案習題07二項分布與Poisson分布及其應用.doc

第七章 二項分布與Poisson分布及其應用一、教學大綱要求（一）掌握內容1二項分布（1）分布參數(shù)；（2）各項統(tǒng)計指標（均數(shù)、標準差等）的計算方法；（3）二項分布的分布特征，近似分布及其應用條件。2Poisson分布（1）分布參數(shù)；（2）各項統(tǒng)計指標（均數(shù)、標準差等）的計算方法；（3）Poisson分布的分布特征，近似分布及其應用條件。（二）熟悉內容1二項分布（1）樣本率的分布；（2）總體率的區(qū)間估計；（3）樣本率與總體率的比較；（4）兩樣本率的比較。2Poisson分布（1）總體均數(shù)的區(qū)間估計；（2）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較；（3）兩個樣本均數(shù)的比較。（三）了解內容二項分布及Poisson分布的前提條件及其概率密度函數(shù)的應用。二、教學內容精要 （一）基本概念1概率分布二項分布（binomial distribution）和Poisson分布是統(tǒng)計學中很重要的兩種分布。二項分布：若一個隨機變量X，它的可能取值是0,1,n，且相應的取值概率為 (7-1)則稱此隨機變量X服從以n、為參數(shù)的二項分布，記為XB（n,）。Poisson分布：若離散型隨機變量X的取值為0,1,n，且相應的取值概率為（0） (7-2)則稱隨機變量X服從以為參數(shù)的Poisson分布（Poisson Distribution），記為XP（）。2兩種分布成立的條件（1）二項分布成立的條件：每次試驗只能是互斥的兩個結果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨立。（2）Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關，只與觀察單位的大小有關；獨立增量性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。（二）分布參數(shù)1二項分布，XB（n,）X的均數(shù)X = n (7-3)X的方差 = n(1-) (7-4)X的標準差 = (7-5)2Poisson分布，XP（）X的均數(shù)X = (7-6)X的方差= (7-7)X的標準差X = (7-8)（三）分布特性1可加性二項分布和Poisson分布都具有可加性。如果X1，X2， Xk相互獨立，且它們分別服從以ni，p（i=1,2, ,k）為參數(shù)的二項分布，則X=X1X2Xk服從以n，p（n=n1+n2+nk）為參數(shù)的二項分布。如果X1，X2，Xk相互獨立，且它們分別服從以i（i=1,2, ,k）為參數(shù)的Poisson分布，則X=X1X2Xk服從以（=1+2+k）為參數(shù)的Poisson分布。2近似分布特定條件下，二項分布、Poisson分布可近似于某種其它的分布，這一特性拓寬了它們的應用范圍。二項分布的正態(tài)近似：當n較大，不接近0也不接近1時，二項分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。二項分布的Poisson分布近似：當n很大，很小，為一常數(shù)時，二項分布近似于Poisson分布。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P（），當相當大時（20），其分布近似于正態(tài)分布。（四）應用1二項分布的應用（1） 總體率的區(qū)間估計有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當n50時可以通過查表求總體率的95和99可信區(qū)間。當二項分布滿足近似正態(tài)分布的條件時（n較大，樣本率p不接近0也不接近1），可用正態(tài)近似法求總體率的1-可信區(qū)間：（p-uSp, p+uSp） (7-9)Sp= (7-10)（2） 樣本率與總體率比較應用二項分布的概率計算公式計算事件（一般指X取某給定值一側的所有值）發(fā)生的概率，再比較其與檢驗水準大小，推斷樣本所在的總體率與給定總體率的關系。（3） 兩樣本率的比較根據(jù)獨立的兩個正態(tài)變量的差也服從正態(tài)分布的性質和二項分布在一定條件下的近似正態(tài)分布特性，當兩個樣本的含量n1和n2較大，且p1、（1-p1）、p2、（1-p2）均不太小，可用u檢驗方法對兩樣本率對應的總體率作統(tǒng)計推斷。 (7-11) (7-12)2Poisson分布的應用（1） 總體均數(shù)的區(qū)間估計有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當樣本計數(shù)X50時，可用查表法求得總體均數(shù)的95或99可信區(qū)間。當樣本計數(shù)X50時，可利用Poisson分布的正態(tài)近似性，計算其總體均數(shù)（1-）可信區(qū)間如下：（，） (7-13)（2）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較有直接計算概率法和正態(tài)近似法兩種方法。樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的目的是推斷此樣本所代表的未知總體均數(shù)是否等于已知總體均數(shù)0。當總體均數(shù)較小時，可采用直接計算概率法進行比較。X取某一值的概率以Poisson分布的概率密度函數(shù)來計算，即（k=0,1,2,）注意：樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較時，應以X取大于等于（樣本均數(shù)大于總體均數(shù)時）或小于等于（樣本均數(shù)小于總體均數(shù)時）樣本均數(shù)的所有值的概率總和同檢驗界值進行比較，切不可僅以X取樣本均數(shù)的概率同檢驗界值進行比較。當總體均數(shù)較大時，可用正態(tài)近似法進行統(tǒng)計推斷。此時Poisson分布近似正態(tài)分布，故可計算標準正態(tài)統(tǒng)計量u， (7-14)通過u值得出相應的概率，推斷樣本均數(shù)與總體均數(shù)的關系。（3）兩個樣本均數(shù)的比較：兩個樣本計數(shù)均較大時，可根據(jù)Poisson分布的正態(tài)近似性對其進行u檢驗。兩個樣本觀察單位相同時，用下式計算u值。 (7-15)兩個樣本觀察單位不同時，用下式計算u值。 (7-16)三、典型試題分析(一)單項選擇題1某地人群中高血壓的患病率為，由該地區(qū)隨機抽查n人，則（ ）A樣本患病率p=X/n服從B（n, ）Bn人中患高血壓的人數(shù)X服從B（n, ）C患病人數(shù)與樣本患病率均不服從B（n, ）D患病人數(shù)與樣本患病率均服從B（n, ）答案：B評析 本題考點：二項分布概念的理解。二項分布中所指的隨機變量X代表n次試驗中出現(xiàn)某種結果的次數(shù)，具體到本題目就是指抽查的n個人中患高血壓的人數(shù)，因此答案為B。2二項分布近似正態(tài)分布的條件是（ ） An較大且接近0 Bn較大且接近1 Cn較大且接近0或1 Dn較大且接近0.5 答案： D評析 本題考點：二項分布的正態(tài)近似特性。從對二項分布特性的描述中可知：當n較大，不接近0也不接近1時，二項分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。不接近0也不接近1，等同于接近0.5，因而此題目答案為D。3. 以下分布中，其均數(shù)和方差總是相等的是（ ） A正態(tài)分布 B. 對稱分布 CPoisson分布 D. 二項分布答案：C評析 本題考點：Poisson分布的特性。Poisson分布P（）的參數(shù)只有一個，即。它的均數(shù)和方差均等于，這一點大家需要牢記。4. 測得某地區(qū)井水中細菌含量為10000L,據(jù)此估計該地區(qū)每毫升井水中細菌平均含量的95%可信區(qū)間為（ ） A B. C D. 答案：C評析本題考點：Poisson分布的正態(tài)近似性。當X較大（一般大于50）時，Poisson分布近似正態(tài)分布，按照正態(tài)分布資料的計算公式計算該地區(qū)井水中平均每升細菌含量的95%可信區(qū)間，再除以1000即得平均每毫升井水中細菌的平均含量（設，有）。（二） 是非題從裝有紅、綠、藍三種顏色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中隨機取出10個球，以X代表所取出球中的紅色球數(shù)，則X服從二項分布B（10，0.5）。（ ）答案：正確。評析 本題考點：二項分布的定義。二項分布成立的條件是：每次試驗只能是互斥的兩個結果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨立。此題目所述情況完全滿足后兩個條件，關鍵在于第一個條件的判斷，從表面上看，每次試驗的結果有三種，但本題目所關心的試驗結果是“紅色與否”，因而該試驗結果仍為兩種互斥的情況“紅色”和“非紅色”。所以，此題目所述情況滿足以上三個條件，X服從二項分布B（10，0.5）。（三）計算題炮擊命中目標的概率為0.2，共發(fā)射了14發(fā)炮彈。已知至少要兩發(fā)炮彈命中目標才能摧毀之，試求摧毀目標的概率。答案：0.802評析 本題的考點：二項分布概率函數(shù)的理解和應用能力。摧毀目標的概率即有兩發(fā)或兩發(fā)以上炮彈命中目標的概率，此概率又等于1減去只有一發(fā)命中或無一命中的概率之差。根據(jù)二項分布的概率函數(shù)計算如下：四、習 題（一）名詞解釋1二項分布 2. Poisson分布3. Bernoulli試驗（二） 單項選擇題：1. X1、X2分別服從二項分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X2相互獨立，若要X= X1X2也服從二項分布，則需滿足下列條件（ ）。AX1=X2 B. n1=n2Cp1=p2 D. n1p1=n2p22. 二項分布B（n，p）的概率分布圖在下列哪種條件下為對稱分布（ ）。An=50 B. p=0.5Cnp=1 D. p=13. Poisson分布P（）滿足下列何種條件時近似正態(tài)分布N（，）（ ）。A相當大 B. =1C=0 D. =0.54. 已知某高校學生近視眼的患病率為50%，從該高校隨機挑選3名學生，其中2人患近視眼的概率為（ ）。A0.125 B. 0.375C0.25 D. 0.55. 某自然保護區(qū)獅子的平均密度為每平方公里100只，隨機抽查其中一平方公里范圍內獅子的數(shù)量，若進行100次這樣的抽查，其中的95次所得數(shù)據(jù)應在以下范圍內（ ）。A5195 B80.4119.6C95105 D74.2125.8 （三）簡答題1服從二項分布及Poisson分布的條件分別是什么？2二項分布、Poisson分布分別在何種條件下近似正態(tài)分布？3在何種情況下，可以用率的標準誤Sp描述率的抽樣誤差？（四）計算題1. 已知我國成人乙肝病毒表面抗原平均陽性率為10%，現(xiàn)隨機抽查某地區(qū)10位成人的血清，其中3人為陽性。該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率是否高于全國平均水平？2. 對甲、乙兩種降壓藥進行臨床療效評價，將某時間段內入院的高血壓病人隨機分為兩組，每組均為100人。甲藥治療組80位患者有效，乙藥治療組50位患者有效，兩種降壓藥有效率有無差別？3. 某放射性物質發(fā)生脈沖頻率為100克小時，已知某礦區(qū)礦石中該放射性物質的含量為4克千克，今又測得另一礦區(qū)同種礦石每千克發(fā)生脈沖頻率為1000小時，問兩個礦區(qū)礦石中該放射性物質的含量是否相等？ 4. 一臺儀器在10000個工作時內平均發(fā)生10次故障，試求在100個工作時內故障不多于兩次的概率。五、習題答題要點（一）名詞解釋1. 二項分布：若一個隨機變量X，它的可能取值是0,1,n，且相應的取值概率為則稱此隨機變量X服從以n、為參數(shù)的二項分布（Binomial Distribution），記為XB（n,）。2. Poisson分布：若離散型隨機變量X的取值為0,1,n，且相應的取值概率為（0）則稱隨機變量X服從以為參數(shù)的Poisson分布（Poisson Distribution），記為XP（）。 3. Bernoulli試驗：將感興趣的事件A出現(xiàn)的試驗結果稱為“成功”，事件A不出現(xiàn)的試驗結果稱為“失敗”，這類試驗就稱為Bernoulli試驗（Bernoulli Test）。（二）單項選擇題1.C 2.B 3.A 4.B 5.B（三）問答題1.二項分布成立的條件：每次試驗只能是互斥的兩個結果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨立。Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關，只與觀察單位的大小有關；獨立增量性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。2. 二項分布的正態(tài)近似：當n較大，不接近0也不接近1時，二項分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P（），當相當大時（20），其分布近似于正態(tài)分布。3. 當率P所來自的樣本近似服從正態(tài)分布時，即n較大，P不接近0也不接近1時，可以用率的標準誤Sp描述率的抽樣誤差。 （四）計算題1. 建立檢驗假設H0：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率為10%；H1：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率大于10%。=0.05。從總體率為10%的人群隨機抽取10人，3人或3人以上陽性的概率為：P(X3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1-0.910+10*0.1*0.99+45*0.12*0.98=0.0702P(X3)0.05，在=0.05水平上，不拒絕H0，不能認為該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率高于全國水平。2. 建立檢驗假設H0：兩種藥有效率無差別；H1：兩種藥有效率有差別。=0.05。2.58，P0.01在=0.05水平上，拒絕H0，接受H1，即兩種降壓藥有效率有顯著差別，甲藥比乙藥有效率高。3. 放射性物質含量為4克千克的礦石每千克的平均脈沖記數(shù)為=100*4=400小時，值較大，可利用Poisson分布的近似正態(tài)分布特性進行計算。H0：兩礦區(qū)礦石中