四種命題(第二課時(shí)).doc

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：四種命題（第二課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1進(jìn)一步掌握四種命題的關(guān)系2了解正難則反的邏輯思維形式3初步掌握反證法，明確其證明思路和語(yǔ)言格式【學(xué)習(xí)障礙】1在寫(xiě)否命題時(shí)，對(duì)于關(guān)鍵詞的否定仍不夠熟練2在反證法中，有些同學(xué)往往反設(shè)不正確，以致整個(gè)題做錯(cuò)3在反證法中，哪些題適用、如何找矛盾、與誰(shuí)矛盾，仍是學(xué)生的一大難點(diǎn)【學(xué)習(xí)策略】學(xué)習(xí)導(dǎo)引1預(yù)習(xí)課本P32332本課時(shí)的重點(diǎn)是反證法；難點(diǎn)是用反證法證明命題本課時(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)有如下兩個(gè)：(1)反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法(2)反證法證明命題的一般步驟如下：()假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；()從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；()由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確知識(shí)拓寬用邏輯知識(shí)解釋反證法：從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則非q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么“p則非q”為假，因此可知“若p則q”為真，像這樣證明“若p則q”為真的證法叫反證法用反證法證明：若p則q時(shí)，可能出現(xiàn)以下三種情況：導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)非q為真矛盾導(dǎo)出一個(gè)恒假命題障礙分析1如何靈活掌握原命題與逆否命題的等價(jià)關(guān)系？對(duì)于常見(jiàn)關(guān)鍵詞的否定應(yīng)熟悉(見(jiàn)上節(jié)表格)另外還應(yīng)根據(jù)題設(shè)環(huán)境選擇到底用什么，如：“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”2如何使用反證法？準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提，否則推理論證就勞而無(wú)功現(xiàn)將一些常用的“結(jié)論的否定形式”舉例如下表：原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞是不是至少一個(gè)沒(méi)有一個(gè)都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于小于或等于至少有n個(gè)至多有n1個(gè)小于大于或等于至多有n個(gè)至少有n1個(gè)對(duì)所有x都成立存在某x不成立p或qp且q對(duì)任給x不成立存在某x成立p且qp或q例1用反證法證明：三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角思路：根據(jù)初中的知識(shí)，先寫(xiě)出已知，求證，作出圖，然后否定所證結(jié)論，推出矛盾已知：如圖125：在ABC中，ACD是外角求證：ACDBAC證明：假設(shè)ACD不大于BAC即ACDBAC或ACDBAC若ACDBAC，則由BAC與ACD互為內(nèi)錯(cuò)角知：ABCD，即AB、CD不相交，與已知A、B、C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)相矛盾若ACDBAC，則在BC之間存在點(diǎn)B，使得BACACD，從ABC來(lái)看，又出現(xiàn)前面類(lèi)似的矛盾所以假設(shè)不成立，即原命題成立點(diǎn)評(píng)：1ACDBAC的反設(shè)是ACDBAC而不是ACDBAC2如果結(jié)論的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí)，就必須將結(jié)論的所有否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題成立，這種反證法叫窮舉法3哪些題適合用反證法？如何找矛盾？與誰(shuí)矛盾？(1)一般，下列命題宜用反證法結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的；關(guān)于惟一性，存在性命題；有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的；結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體，更容易研究和掌握的命題(2)在反證法的第二步中，把反設(shè)作為條件，進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾，這里的“矛盾”可以是下列矛盾之一歸引到與已知矛盾；歸引到與假設(shè)矛盾；歸引到與已知定義、定理、公理相矛盾；歸引到證明過(guò)程中的自相矛盾；歸引到與作圖相矛盾例2若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個(gè)不大于零思路：顯然由于條件不容易推出結(jié)論，可考慮用反證法，先正確地作出反設(shè)，即“a0，b0，c0”，再推出矛盾證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即：a0，b0，c0，則abc0而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2330無(wú)論x，y，z為何實(shí)數(shù)，(x1)2(y1)2(z1)20abc0，與abc0矛盾a，b，c中至少有一個(gè)大于0點(diǎn)評(píng)：涉及至多，至少等問(wèn)題時(shí)，往往考慮采用反證法在代數(shù)變形中，經(jīng)常進(jìn)行因式分解或配方由假設(shè)進(jìn)行推理中，因選用的條件不同，得出的矛盾可能也就不同矛盾是在推理過(guò)程中產(chǎn)生的，而不是在推理之前設(shè)計(jì)或確定思維拓展例3已知：l1，l2，l是同一平面內(nèi)的三條直線(xiàn)，l1是l的垂線(xiàn)，l2是l的斜線(xiàn)(如圖126)求證：l1和l2必相交思路：這是平面幾何中的一個(gè)起始命題，證明它時(shí)可以應(yīng)用的定義，性質(zhì)很少，也就是說(shuō)直接法難以下手，但其結(jié)論的反面非常明顯，不妨用反證法證法一：假設(shè)l1和l2不相交，則l1l212，l2是l的斜線(xiàn)290，190l1與l的交角不是直角，與垂線(xiàn)l的定義矛盾l1與l2必相交證法二：假設(shè)l1和l2不相交，則l1l212，l2是l的斜線(xiàn)290，190l1是l的垂線(xiàn)190，與190自相矛盾l1與l2必相交證法三：假設(shè)l1和l2不相交，則l1l2，12l1l，190，290l2也是l的垂線(xiàn)，與l2是l的斜線(xiàn)矛盾l1與l2必相交證法四：假設(shè)l1和l2不相交，則l1l2，12l2是l的斜線(xiàn)290，190l1不是l的垂線(xiàn)這與已知條件l1是l的垂線(xiàn)矛盾l1與l2必相交點(diǎn)評(píng)：在反證法中，反設(shè)是惟一的，而最后推出的矛盾并不是惟一的，選用的條件不同，推出的矛盾也就不同，可見(jiàn)矛盾是在推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，而不是在推理之前就知道或預(yù)先設(shè)計(jì)的；在作出反設(shè)后，可把反設(shè)當(dāng)成已知條件之一，和原有的條件合在一起，用它們的全部或部分進(jìn)行邏輯推理，達(dá)到反證法的目的探究學(xué)習(xí)根據(jù)已有的證據(jù)，可以得到如下3個(gè)判斷：如果A無(wú)罪，則B與C都有罪；在B與C中必有一人無(wú)罪；要么A無(wú)罪，要么B有罪請(qǐng)問(wèn)：A，B，C中究竟誰(shuí)有罪？答案：A和B有罪，C無(wú)罪【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1若p，q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p或q”的否定是真命題，則必有Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真2關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c以下敘述錯(cuò)誤的是A命題“a，b都是零”的否定形式是“a，b都不是零”B命題“a，b至少有一個(gè)是零”的否定形式是“a，b都不是零”C命題“a，b，c至多兩個(gè)是零”的否定形式是“a，b，c都是零”D命題“a，b，c至少兩個(gè)是零”的否定形式是“a，b，c至多一個(gè)是零”3否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的記法中，正確的是A有一解B有兩解C至少有三解D至少有兩解4用反證法證明命題“已知ABC與ABC有公共邊BC，且BACBAC，求證A在ABC的外部”時(shí)，反設(shè)正確的是A設(shè)點(diǎn)A在ABC的外部B設(shè)點(diǎn)A在ABC的邊上C設(shè)點(diǎn)A在ABC的內(nèi)部D設(shè)點(diǎn)A在ABC的邊上或在ABC的內(nèi)部二、填空題5若0x5，則x25的逆否命題是_6x1的否定形式為_(kāi)，(x1)(x2)0的否定形式為_(kāi)7用反證法證明命題“若aR，3a是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)”如下：假設(shè)a是有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則，3a是有理數(shù)，這與_矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題正確三、解答題8已知a，b是實(shí)數(shù)，命題“若a2b20，則a0且b0”的否命題，逆否命題各是什么？9已知下列三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1A 提示：“或”的否定是“且”2A 提示：“都是”的否定是“不都是”而不是“都不是”3C 提示：“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n1個(gè)”4D 提示：“外部”的反面是“內(nèi)部或邊上”二、5填“若x25，則x5或x0”6x1的否定形式為：x1或x1(x1)(x2)0的否定：x10且x207與“3a是無(wú)理數(shù)”矛盾三、8解：命題“