3_能控性和能觀性20080417.ppt

3 1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3 2線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性3 3離散系統(tǒng)的能控性與能觀性3 4能控性與能觀性的對偶關(guān)系3 5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3 6最小實現(xiàn)3 7輸出能控性 3能控性和能觀性 3 1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 引子 狀態(tài)方程 描述輸入u t 引起狀態(tài)x t 的變化過程 輸出方程 描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y t 的變化 能控性 輸入u t 對狀態(tài)x t 的控制能力 能觀性 輸出y t 對狀態(tài)x t 的反映能力 系統(tǒng)的兩個基本問題 在有限時間內(nèi) 控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài) 在有限時間內(nèi) 能否通過系統(tǒng)輸出的測量估計系統(tǒng)的初始狀態(tài) 簡單地說 如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量的運(yùn)動都可由輸入來影響和控制 而由任意的始點達(dá)到終點 則系統(tǒng)能控 狀態(tài)能控 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動均可由輸出完全反映 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的 例 輸出y只能反映狀態(tài)變量 所以不能觀測 能控性的定義 如果在有限的時間區(qū)間內(nèi) 存在容許控制向量u t 能使系統(tǒng)從狀態(tài)轉(zhuǎn)移到 則稱狀態(tài)在上能控 能控性只考慮狀態(tài)方程 當(dāng)系統(tǒng)完全能控時 稱 A t B t 為能控對 若任意非零狀態(tài)都能控 則稱系統(tǒng)在上狀態(tài)完全能控 簡稱能控 設(shè)n階系統(tǒng)S A t B t C t 說明 1 容許控制是平方可積的 即 2 線性定常系統(tǒng)能控性與區(qū)間無關(guān) 即若在某區(qū)間上能控 則在任何區(qū)間上都是能控的 而時變系統(tǒng)則與區(qū)間有關(guān) 3 若能找到容許控制將系統(tǒng)從任意非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意給定的狀態(tài) 稱能達(dá)性 對線性定常系統(tǒng) 能控性與能達(dá)性等價 而時變系統(tǒng) 離散系統(tǒng)這兩者不等價 有時能控而非能達(dá) 4 能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的定性特性 能控性的物理意義 設(shè)原點是平衡點 所謂能控性就是當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡點狀態(tài)時 可以找到一個容許控制 將系統(tǒng)拉回平衡點 注 因時變系統(tǒng)A t B t 都與t有關(guān) 故某狀態(tài)能控 未必所有狀態(tài)都能控 能控性的性質(zhì) 1 2 如果系統(tǒng)在區(qū)間上完全能控 那么對于 一定有系統(tǒng)在區(qū)間上完全能控 3 能控狀態(tài)的線性組合還是能控的 即 預(yù)備知識 矩陣的秩 秩Rank r階子式 任取r行r列構(gòu)成的r階行列式 初等變換 1 任意兩行對調(diào) 2 非零常數(shù) 任一行 3 任一行 常數(shù) 另一行 求秩方法 利用初等變換化A為階梯形 階梯形矩陣的秩等于其階梯數(shù) 能控性的一般判別方法 n階線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是能控矩陣Qc的秩為n 單輸入系統(tǒng)S A b 能控的充要條件為 例 判斷系統(tǒng)的能控性 例 判斷升降機(jī)系統(tǒng)的能控性 例 判斷系統(tǒng)的能控性 例 判斷系統(tǒng)的能控性 例 判斷系統(tǒng)的能控性 例 判斷系統(tǒng)的能控性 能控性的直接判據(jù) 若線性定常系統(tǒng)的A為對角形 且對角線上的元素均不相同 則狀態(tài)完全能控的充要條件是B陣無全為零的行 例 判斷系統(tǒng)的能控性 能控性的直接判據(jù) 若線性定常系統(tǒng)的A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 且每個約當(dāng)塊對應(yīng)的特征值均不相同 則狀態(tài)完全能控的充要條件是B陣中與每個約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的行不完全為零 例 例 判斷系統(tǒng)的能控性 例 判斷系統(tǒng)的能控性 不能控 能控 當(dāng)對角線元素有相同時 不能直接判別 須采用一般判別方法 例 判斷系統(tǒng)的能控性 完全能控 例 判斷系統(tǒng)的能控性 不能控 能控 取子式 線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 對線性時變系統(tǒng) 系統(tǒng)在區(qū)間上完全能控的充要條件是能控性矩陣為非奇異的 格拉姆矩陣 在定常系統(tǒng)中不太強(qiáng)調(diào)區(qū)間 而時變系統(tǒng)要強(qiáng)調(diào)區(qū)間 時變系統(tǒng)的判別方法不止這一個 但來源相近 例 判能控性及區(qū)間 狀態(tài)空間模型的能控標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)換 設(shè)單輸入系統(tǒng)是完全能控的 則一定存在一個非奇異線性變換 使等價系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形 且變換矩陣為 例 線性變換后系統(tǒng)的能控性不變 3 2線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 引子 并非所有狀態(tài)變量都是可測量或有物理意義的 因此提出能否通過可測量的輸出量y獲得系統(tǒng)的狀態(tài)量 這便是系統(tǒng)的能觀測性問題 能觀性的定義 與輸入的無關(guān)性 能觀性反映的是輸出y t 對狀態(tài)向量x t 的反映能力 與控制作用沒有直接關(guān)系 分析能觀性問題時 只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程 線性定常系統(tǒng)能觀性定義 之所以把能觀性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定 是因為一旦確定了初始狀態(tài) 便可根據(jù)給定的輸入 根據(jù)下述狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求出所有時刻的狀態(tài) 能觀性的性質(zhì) 若x0能觀 則有 這也是時變系統(tǒng)能觀性的判定定理 復(fù)習(xí) 線性空間的定義 子空間及生成子空間 S是線性空間V的非空子集 若S中向量關(guān)于V的加法與數(shù)乘計算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間 則稱S是V的子空間 子空間的交與和 子空間直和 能觀性的性質(zhì) 所有不能觀狀態(tài)的線性組合還是不能觀的 故所有不能觀狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間的不能觀子空間 能觀性的一般判別方法 稱A C為能觀對 n階線性定常系統(tǒng)S A B C 完全能觀的充要條件是能觀矩陣Qo的秩為n 例 判斷系統(tǒng)的能觀性 能觀性的直接判別方法 若n階線性定常系統(tǒng)S A B C 的A為對角形 且對角線上的元素均不相同 則狀態(tài)完全能觀的充要條件是C陣無全為零的列 若n階線性定常系統(tǒng)S A B C 的A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 且每個約當(dāng)塊對應(yīng)的特征均不相同 則狀態(tài)完全能觀的充要條件是C陣中與每個約當(dāng)塊對應(yīng)的第一列不完全為零 例 判斷系統(tǒng)的能觀性 例 判斷系統(tǒng)的能觀性 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為對角形 但含有相同特征值時 或當(dāng)A為約當(dāng)形 但有兩個或兩個以上約當(dāng)塊相同時 上述定理不適用 時變系統(tǒng)能觀性判別 略 化單變量能觀系統(tǒng)為能觀標(biāo)準(zhǔn)形 設(shè)單輸入系統(tǒng)是完全能觀的 則一定存在一個非奇異線性變換 使等價系統(tǒng)為能觀標(biāo)準(zhǔn)形 且變換矩陣為 與前面的對比 線性變換后系統(tǒng)能觀性不變 例 判是否能觀 若能觀 化能觀標(biāo)準(zhǔn)形 作業(yè) 判是否能控 若能控 化為能控標(biāo)準(zhǔn)形 判是否能觀 若能觀 化為能觀標(biāo)準(zhǔn)形 3 4能控性與能觀性的對偶關(guān)系 對偶系統(tǒng)的構(gòu)造 S能控 則ST一定能觀 S能觀 則ST一定能控 稱S與ST互為對偶系統(tǒng) 對偶系統(tǒng)框圖 結(jié)論 互為對偶的兩系統(tǒng) 輸入端與輸出端互換 信號傳遞方向相反 m維輸入 p維輸出 p維輸入 m維輸出 對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置 化單變量能觀系統(tǒng)為能觀標(biāo)準(zhǔn)形 3 5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 等價系統(tǒng) 等價系統(tǒng)的性質(zhì) 系統(tǒng)的極點相同特征多項式相同 特征值相同 極點相同 能控性 能觀性不變 傳遞函數(shù)陣相同 結(jié)構(gòu)分解引例 上述系統(tǒng)實際上是已按能控性分解后的系統(tǒng) 其能控性顯而易見 對一般系統(tǒng) 則難以直接判斷 常見結(jié)構(gòu)分解 通過坐標(biāo)變換 可將能控性與能觀性一目了然地顯示出來 常見分解有 能控分解 標(biāo)準(zhǔn)分解 能觀分解 能控性分解 說明 說明 說明 6 能控子系統(tǒng) 從輸入u到輸出只通過xc 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣只是能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 只反映了能控部分的信息 而不能控部分的信息無法在傳遞函數(shù)陣中反映如果僅利用傳函來分析和設(shè)計系統(tǒng) 則只能對能控部分作分析與設(shè)計 故不全面 例 例 例 能觀性分解 說明 2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣只是能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 說明 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)陣只反映能觀部分的信息 Kalman標(biāo)準(zhǔn)分解 Kalman標(biāo)準(zhǔn)分解示意圖 傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣只取決于系統(tǒng)的能控能觀部分 或者說傳遞函數(shù)陣只反映系統(tǒng)的能控能觀部分的信息 而對不能控不能觀部分的信息無法反映 頻域模型不如狀態(tài)空間模型更全面 更深刻 頻域模型和狀態(tài)空間模型并不完全等價 只有當(dāng)系統(tǒng)是既能控又能觀時 G s 才反映整個系統(tǒng)的信息 只根據(jù)G s 設(shè)計系統(tǒng) 實際上只是對能控又能觀部分的設(shè)計 若系統(tǒng)存在不能控部分 而系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點又恰恰是不能控的 則無論怎樣設(shè)計 都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定 T的求取 分兩次 先作能控性分解 然后分別對能控與不能控子系統(tǒng)作能觀性分解 T的求取 詳細(xì) T的求取 詳細(xì) T的求取 詳細(xì) 例 標(biāo)準(zhǔn)分解 1 作能控性分解 例 標(biāo)準(zhǔn)分解 標(biāo)準(zhǔn)分解的另一種方法 首先把待分解的系統(tǒng)化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 然后按能控判別法則和能觀判別法則判別各狀態(tài)變量的能控性和能觀性 最后按能控能觀 能控不能觀 不能控能觀 不能控不能觀4種類型分類排列 即可組成相應(yīng)的子系統(tǒng) 例 能控且能觀 能控 不能觀 不能控 能觀 不能控 不能觀 按上述順序重新排列 就可得出 深切哀悼汶川大地震遇難同胞 關(guān)于傳遞函數(shù)陣的討論 A的最小多項式 首項系數(shù)為1 且次數(shù)最小的A的化零多項式 A的化零多項式 將A代入 值為0的多項式 A的化零多項式 目的 由傳遞函數(shù) 陣 判別狀態(tài)的能控能觀性 但并不意味著A的化零多項式次數(shù)為n f A 可進(jìn)行因式分解 只要找到一個最低階的多項式f 可以令f A 0 則f A 為A的最小多項式 例 化零多項式 能控能觀與零極相消 MIMO 系統(tǒng) A B C 能控且能觀 若其傳遞函數(shù)陣G s 的分母又為A的最小化零多項式g s 則分母與分子之間不再會出現(xiàn)因子相消現(xiàn)象 系統(tǒng)能控又能觀時 可能會有零極相消 當(dāng)g s 為A的最小化零多項式時 不再零極相消 例 能控 能觀 例 能控能觀與零極相消 SISO 說明 1 G s 分子分母無零極相消對SISO系統(tǒng)完全能控能觀是充要條件 但對MIMO系統(tǒng) G s 分子分母出現(xiàn)零極相消時 系統(tǒng)有可能是能控能觀的 2 古典控制理論中 系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性由系統(tǒng)極點即傳函分母多項式的根確定 3 現(xiàn)代控制理論中 系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性則是根據(jù)狀態(tài)矩陣A的特征值 即det sI A 0的根來判斷 說明與系統(tǒng)極點 4 G s 中會有零極相消現(xiàn)象 但若中N D不可約時 則說明 即僅為系統(tǒng)能控能觀部分特征多項式 5 由 4 知 系統(tǒng)傳函分母多項式的根一定是系統(tǒng)的極點 但系統(tǒng)的極點不一定完全可由G s 分母多項式的根體現(xiàn) 對系統(tǒng)S A B C 稱A的特征多項式的根det sI A 0為系統(tǒng)極點 極點分類 例 例 作業(yè) 3 6最小實現(xiàn) 最小實現(xiàn)的定義 維數(shù)最小的實現(xiàn) 能控又能觀實現(xiàn) 對SISO系統(tǒng) 若G s 無零極相消 則它的能控實現(xiàn)或能觀實現(xiàn)就是最小實現(xiàn) 系統(tǒng)傳函G s 為嚴(yán)格有理真分式 則由 A B C 所表示的n階系統(tǒng)是G s 的最小實現(xiàn)的充要條件是 A B C 為完全能控能觀的 最小實現(xiàn)步驟 先進(jìn)行能控 能觀 標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn) 再按能觀 能控 分解 取能控能觀子系統(tǒng)為最小實現(xiàn) 最小實現(xiàn)的等價性 系統(tǒng)最小實現(xiàn)是否唯一 系統(tǒng)最小實現(xiàn)不唯一 不同的系統(tǒng)最小實現(xiàn)間有什么關(guān)系 代數(shù)等價 代數(shù)等價包含哪些內(nèi)容 相同的能控 能觀性 相同的極點 例 求最小實現(xiàn) 1 將G s 化成嚴(yán)格的有理真分式 并寫