高等數(shù)學第六版下冊提綱.doc

高等數(shù)學復習提綱一、考試題型1填空題6題2計算題8題二、知識點1平面及其方程。例題：一平面過點(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 試求這平面方程. 解 所求平面的法線向量可取為 , 所求平面的方程為 (x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 2 空間直線及其方程。例題：求過點(2, 0, -3)且與直線垂直的平面方程. 解 所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量, 即 . 所平面的方程為 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0, 即 16x-14y-11z-65=0.例題：求過點(3, 1, -2)且通過直線的平面方程. 解 所求平面的法線向量與直線的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因為點(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法線向量與向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法線向量可取為 . 所求平面的方程為 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0. 3 旋轉(zhuǎn)曲面。 例題：將zOx坐標面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的z換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2+z2=5x. 例題：將zOx坐標面上的圓x2+z2=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的x換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2+y2+z2=9. 4. 多元復合函數(shù)求導，隱函數(shù)求導。例題：求函數(shù) 的全微分 解 .例題：設z=u2ln v, 而, v=3x-2y, 求, . 解 , . 例題：設z=ex-2y, 而x=sin t, y=t3, 求. 解 0 . 例題：設sin y+ex-xy2=0, 求. 解 令F(x, y)=sin y+ex-xy2, 則Fx=ex-y2, Fy=cos y-2xy, . 例題：設, 求. 解 令, 則 , , . 5. 重積分（直角坐標，極坐標）。 例題：, 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; 解 積分區(qū)域可表示為D: -1x1, -1y1. 于是 . 例題：, 其中D是頂點分別為(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為D: 0xp, 0yx. 于是, . 例題：利用極坐標計算下列各題: (1)，其中D是由圓周x2+y2=4所圍成的閉區(qū)域; 解 在極坐標下D=(r, q)|0q2p, 0r2, 所以 . (3), 其中D是由圓周x2+y2=4, x2+y2=1及直線y=0, y=x所圍成的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 在極坐標下, 所以 . 5 求曲頂柱體體積。 例題：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體積. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立體在xOy面上的投影區(qū)域為x2+y22, 因為積分區(qū)域關于x及y軸均對稱, 并且被積函數(shù)關于x, y都是偶函數(shù), 所以 . 例題：計算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域為底, 而以曲面z=x2+y2為頂?shù)那斨w的體積. 解 曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域為D=(x, y)|x2+y2ax. 在極坐標下, 所以 . 6 常數(shù)項級數(shù)的審斂法。 例題：判定下列級數(shù)的收斂性: (1); 解 因為, 而級數(shù)收斂,故所給級數(shù)收斂. (2); 解 因為, 而級數(shù)收斂,故所給級數(shù)收斂. (1); 解 級數(shù)的一般項為. 因為 , 所以級數(shù)發(fā)散. (2); 解 因為, 所以級數(shù)收斂. (3); 解 因為, 所以級數(shù)收斂. (3). 解 因為,所以級數(shù)收斂. 例題：判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的, 是絕對收斂還是條件收斂？ (1); 解 這是一個交錯級數(shù), 其中. 因為顯然unun+1, 并且, 所以此級數(shù)是收斂的. 又因為是p1的p級數(shù), 是發(fā)散的, 所以原級數(shù)是條件收斂的. (2); 解 . 因為, 所以級數(shù)是收斂的, 從而原級數(shù)收斂, 并且絕對收斂. 7 冪級數(shù)。 例題：求下列冪級數(shù)的收斂域: ; 解 , 故收斂半徑為R=1. 因為當x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當x=-1時, 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域為-1, 1. 解 這里級數(shù)的一般項為. 因為, 由比值審斂法, 當x21, 即|x|1, 即|x|1時, 冪級數(shù)發(fā)散, 故收斂半徑為R=1. 因為當x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當x=-1時, 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域為-1, 1. 8 函數(shù)展開成冪級數(shù)。 例題：將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù), 并求展開式成立的區(qū)間: (1)sin2x; 解 因為, , x(-, +),所以 x(-, +). 例題：將