考研極限試題(卷).doc

“考研數(shù)學(xué)”做到更好，追求最好 南工程考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料之一 高 等 數(shù) 學(xué) 主編： 楊降龍 楊 帆 劉建新翁連貴 吳業(yè)軍序近幾年來，隨著高等教育的大眾化、普及化，相當(dāng)多的大學(xué)本科畢業(yè)生由于就業(yè)的壓力，要想找到自己理想的工作比較困難，這從客觀上促使越來越多的大學(xué)畢業(yè)生選擇考研繼續(xù)深造，希望能學(xué)到專業(yè)的知識(shí)，取得更高的學(xué)歷，以增強(qiáng)自己的競(jìng)爭(zhēng)能力；同時(shí)還有相當(dāng)多的往屆大學(xué)畢業(yè)生由于種種的原因希望通過讀研來更好地實(shí)現(xiàn)自我。這些年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：應(yīng)屆與往屆的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試實(shí)行全國(guó)統(tǒng)一命題，其命題的范圍與內(nèi)容嚴(yán)格按照國(guó)家考試中心制定的“數(shù)學(xué)考試大綱”，該考試大綱除了在1996年實(shí)施了一次重大的修補(bǔ)以外，從1997年起一直沿用至今，但期間也進(jìn)行了幾次小規(guī)模的增補(bǔ)。因此要求考生能及時(shí)了解掌握當(dāng)年數(shù)學(xué)考試大綱的變化，并能按大綱指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考試要求系統(tǒng)有重點(diǎn)的復(fù)習(xí)。通常研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試與在校大學(xué)生的期末考試相比，考試的深度與難度都將大大的增加，命題者往往將考試成績(jī)的期望值設(shè)定在80（按總分150分）左右命題，試題涉及的范圍大，基礎(chǔ)性強(qiáng)，除了需要掌握基本的計(jì)算能力、運(yùn)算技巧外，還需掌握一些綜合分析技能（包括各學(xué)科之間的綜合）。這使得研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)，淘汰率很高。為了我院學(xué)生的考研需要，我們編寫了這本輔導(dǎo)講義。該講義共分三個(gè)部分，編寫時(shí)嚴(yán)格按照考試大綱，含蓋面廣、量大，在突出重點(diǎn)的同時(shí)，注重于基本概念的理解及基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)，力求給同學(xué)們做出有效的指導(dǎo)。第一章 函數(shù) 極限與連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及其表示，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的圖形與性質(zhì)，初等函數(shù)的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)的左右極限，無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。考試要求1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系。2、了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性的概念，注意這些問題與其它概念的結(jié)合應(yīng)用。3、理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念，了解隱函數(shù)、反函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、理解極限、左右極限的概念，以及極限存在與左右極限的關(guān)系。6、掌握極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算。7、掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小計(jì)算極限。9、掌握利用羅必達(dá)法則求不定式極限的方法。10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。11、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值存在、介值定理），并會(huì)利用這些性質(zhì)。1 函數(shù)一、函數(shù)的概念 二、函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性；三、函數(shù)的運(yùn)算（重要考點(diǎn)）：四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算（復(fù)合函數(shù)）、逆運(yùn)算（反函數(shù)）；四、函數(shù)的分類：初等函數(shù)、非初等函數(shù)。例題1、（88）已知，且，求及定義域。2、（92）已知，求定義域。3、設(shè)，求。4、，求。5、（97）,求。6、設(shè)，求。7、（90），求。8、求的反函數(shù)。9、（96）設(shè)函數(shù)，（1）寫出的反函數(shù)的表達(dá)式；（2）是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)，若有，指出這些點(diǎn)。10、設(shè)滿足：為常數(shù)，且，試證：為奇函數(shù)。11、滿足：，求。12、設(shè)連續(xù)，且，求。13、（89）設(shè)連續(xù)，且，求。14、（97）設(shè)，求。2 極限一、定義及性質(zhì) （1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保號(hào)性: 二、求極限的方法（重點(diǎn)）1、用定義證明和觀察法如 。2、用極限的四則運(yùn)算法則和函數(shù)的連續(xù)性3、用兩個(gè)重要極限： （或）注意比較如下幾個(gè)極限：，一般形式：，通常對(duì)于含三角函數(shù)的型極限用i)，對(duì)于型極限用ii)。4、(1) 用等價(jià)無窮小計(jì)算極限 時(shí)，常見的等價(jià)無窮小有.注意： 的廣泛的代表性,等(2) 有界函數(shù)乘無窮小仍為無窮小。5、用羅必達(dá)法則 設(shè)（1），（或） （2）在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（當(dāng)充分大時(shí)）可導(dǎo)，且 （3）則 基本類型有和。對(duì)于，可以通過初等變形轉(zhuǎn)化為和。對(duì)于，通過取對(duì)數(shù)再用羅必達(dá)法則。6、用變量代換注意：該方法要視極限的具體形式而定，如：在計(jì)算的極限時(shí)，如果被求極限中含有的因式時(shí)，可以令=；在計(jì)算的極限中，如果被求極限中含有，則可令。在研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試中不常出現(xiàn)7、用極限存在的二個(gè)準(zhǔn)則i)夾逼（兩邊夾）定理；ii)單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)遞增（減）有上界（下界）的數(shù)列必有極限。8、利用導(dǎo)數(shù)定義(ch.2) 9、用定積分定義(ch.3) 當(dāng)已知函數(shù)可積時(shí)，有 ，= = 10、用微分和積分中值定理(ch.2) 11、用Taylor公式(ch.2)注意：下面幾類極限一般要討論左右極限： 分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限； 時(shí)，與絕對(duì)值或開偶次方根有關(guān)的極限； 時(shí)，含有形如因式的極限。三、無窮小階的比較設(shè)均為無窮小，且不為0，如果：（1）時(shí)，則稱是的高階無窮小，或稱是的低階無窮小，記。（2）時(shí)，則稱與為同階無窮小，特別當(dāng)時(shí)，稱與是等價(jià)無窮小。（3）時(shí)，則稱是的k階無窮小。注意：無窮小的比較是在數(shù)學(xué)考試中一個(gè)經(jīng)?？嫉目键c(diǎn)，尤其在數(shù)二、三、四中。其主要考法有： 已知函數(shù)與另一已知函數(shù)是同階無窮小，求中所含的參數(shù)； 當(dāng)函數(shù)滿足什么條件時(shí)，是的同階（高階）無窮??； 將給出的幾個(gè)無窮小按其階從小到大排列。例題（一）極限的計(jì)算1、（00）設(shè)對(duì)任意的x，總有，且，則：（A）存在且等于零， （B）存在但不一定為零，（C）一定不存在， （D）不一定存在。2、（1）； （2）；（3）（97）； （4）（00）。3、（1）； （2）（99）。4、（1）（00）。 （2）（05）（數(shù)三、四） 5、（1）； （2）。6、（1）（04）求極限； （2）（93）；7、（1）（99）； （2）（94）。8、（1）（03）； （2）。9、（05）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限 10、（07）= 。（二）關(guān)于數(shù)列極限：10、（03）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有：（A）對(duì)任意n成立； （B）對(duì)任意n成立；（C）極限不存在； （D）極限不存在。11、（98）設(shè)數(shù)列與滿足，則下列判斷正確的是：（A）若發(fā)散，則必發(fā)散， （B）若無界，則必有界，（C）若有界，則必為無窮小， （D）若為無窮小，則必為無窮小。12、（1）（98）； （2）。 （3）（02）13、，求。14、（96），證明存在并求之。15、（97）設(shè)，證明：存在。16、設(shè)，求。17、（06）設(shè)數(shù)列滿足， 證明：（1）存在，并求該極限； （2）計(jì)算18、。 19、（95）。（三）極限中常數(shù)的確定20、（04）若，求a、b。21、（1）（97）設(shè)時(shí)，與是同階無窮小，則（2）（96）設(shè)時(shí)，為x 的三階無窮小，求a, b。（3）（05數(shù)二）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則 ？（4）設(shè)，則當(dāng)時(shí)是的（ ） ：低階無窮小 ：高階無窮小 ：等價(jià)無窮小 ：同階但不等價(jià)無窮?。?）（06）試確定常數(shù)，使得 （1/3，-2/3，1/6） 22、（98）求a, b, c，使。23、（94）設(shè)，則有：（A）， （B）， （C）， （D）。24、（1）（01）設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數(shù)n等于：（A）1， （B）2， （C）3， （D）4。（2）（01）已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，求c的值。25、（02）設(shè)函數(shù)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若在時(shí)是比h高階的無窮小，試確定a、b的值。26、（02）設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小。27、，求a, b。 3 連續(xù)與間斷一、在點(diǎn)連續(xù)（重點(diǎn)）：。初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，分段函數(shù)分界點(diǎn)的連續(xù)性要用定義討論。二、若在點(diǎn)a不連續(xù)，稱a為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分兩類：第一類間斷點(diǎn)（左、右極限都存在）：可去間斷點(diǎn)（左、右極限都相等）和跳躍間斷點(diǎn)（左、右極限不相等）第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)（至少有一側(cè)極限為無窮大），振蕩間斷點(diǎn)等。注意：這一部分在數(shù)三、四中是一個(gè)?？嫉目键c(diǎn)，主要以已知連續(xù)性或間斷點(diǎn)的類型確定參數(shù)，計(jì)算題中以討論間斷點(diǎn)類型并補(bǔ)充定義使其連續(xù)為主；在數(shù)一、二中一般不單獨(dú)以單個(gè)概念出題，通常會(huì)跟函數(shù)的建立、極限、微分方程等概念結(jié)合考查。三、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有以下性質(zhì)：1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到最大值M和最小值m（必有界）；更一般地：我們可以得到如下結(jié)論 設(shè)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且及都存在，則在內(nèi)有界。2）介值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到介于最小值和最大值M之間的任一數(shù)；3）零點(diǎn)定理：設(shè)在上連續(xù)，與異號(hào)，則至少有一點(diǎn)，使得。推廣的零點(diǎn)定理： 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使例題1（02）設(shè)函數(shù) 在處連續(xù)，則a= 。2（03） 設(shè)函數(shù) ，問a為何值時(shí)，在處連續(xù)；a為何值時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)？3、（00）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a、b滿足：（A）, （B）, （C）, （D）. 4、（05）設(shè)，則（ ）（A）都是的第一類間斷點(diǎn)。 （B）都是的第二類間斷點(diǎn)。 （C）是的第二類間斷點(diǎn), 是的第二類間斷點(diǎn) （D）是的第二類間斷點(diǎn)，是的第一類間斷點(diǎn)5、（04）設(shè)，則的間斷點(diǎn)為 。6、（98）設(shè)，討論的間斷點(diǎn)，結(jié)論為：（A）不存在間斷點(diǎn)， （B）存在間斷點(diǎn)， （C）存在間斷點(diǎn)， （D）存在間斷點(diǎn)。7、下列命題中正確的是（ ）（A）設(shè)函數(shù)在處連續(xù),在處不連續(xù)，則+在處必不連續(xù)（B），都在處不連續(xù)，則+在處必不連續(xù) （C） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，在處不連續(xù)，則在處必不連續(xù) （D） ，都在處不連續(xù)，則在處必不連續(xù)8、（98）求在內(nèi)的間斷點(diǎn)及類型。 9、（07）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是 (A) 0; (B) 1; (C) ; (D) 。10、設(shè)在上連續(xù)，且，求證：,使。11、在上非負(fù)連續(xù)，證明：對(duì)，使。12、證明：方程恰有一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，且13、設(shè)上連續(xù)，試證，對(duì)兩個(gè)正數(shù)與，一定點(diǎn)，使。（本題的證明思想應(yīng)掌握，并應(yīng)能將結(jié)論推廣到更為一般的情況）14、（04）函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界：（A）（1，0）； （B）（0，1）； （C）（1，2）； （D）（2，3）。單元練習(xí)1、 求函數(shù)的定義域2、 函數(shù)的定義域?yàn)?_。3、 若的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)的定義域?yàn)開。4、 ，是 （）（A）有界函數(shù)（B）單調(diào)函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）偶函數(shù)、，則當(dāng)時(shí)，是 （）（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則_ 7、當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)無窮小量中，哪一個(gè)是比其它三個(gè)更高階的無窮小 （ ） （A）（B）（C）（D） 8、設(shè)，在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)時(shí)是高階的無窮小，則當(dāng)時(shí)，是的 （ ） （A）低階無窮?。˙）高階無窮小 （C）同階但不等價(jià)無窮?。―）等價(jià)無窮小 9、，則當(dāng)時(shí)是的 （ ） （A）低階無窮?。˙）高階無窮小 （C）同階但不等價(jià)無窮小（D）等價(jià)無窮小 10、已知，則 （ ） （A）（B）（C）（D）11、當(dāng)時(shí)，變量是 （ ） （A）無窮大量 （B）無窮小量（C）有界變量，但不是無窮小 （D）無界變量，但不是無窮大 12、 13、 14、 15、 16、 17、18、（1）設(shè)，問在處是否連續(xù)，若不連續(xù)，修改函數(shù)在處的定義，使之連續(xù)。 （2）（06）設(shè)函數(shù)在連續(xù)，則 。 19、討論函數(shù)的連續(xù)性 20、研究函數(shù)的連續(xù)性 21、討論函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型 22、設(shè)，證明數(shù)列收斂，并求 23、若在區(qū)間上