高考數(shù)學(xué)所有公式及結(jié)論總結(jié)大全

高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論200條 集合l 元素與集合的關(guān)系,.l 德摩根公式 .l 包含關(guān)系的等價條件l 容斥原理（CardA是集合A中元素的個數(shù)）.l 集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有1個；非空子集有 1個；非空的真子集有2個.l 集合A中有M個元素，集合B中有N個元素，則可以構(gòu)造M*N個從集合A到集合B的映射；二次函數(shù)，二次方程l 二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點式;(3)零點式.l 解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.l 方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.l 特別地, 方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且.l 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下表：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問題探討設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開軸越遠，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當二次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開軸越遠，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。l 一元二次方程根的分布情況分布情況兩個負根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況，注意：用韋達定理也可以）設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間內(nèi)，即，此時由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或l 定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)(1) 在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.(2) 在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.(3)恒成立的充要條件是或.簡易邏輯l 真值表 非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 l 常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有（）個小于不小于至多有個至少有（）個對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或l 四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若則若則互互互為為互否否逆逆否 否否命題逆否命題若非則非互逆若非則非l 充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)l 函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).l 如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).l 奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;在對稱區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，歐函數(shù)相反；，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個奇函數(shù)的定義域包括0，則必有f(0)=0;l 若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.l 對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱.l 若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).l 多項式函數(shù)的奇偶性多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.l 函數(shù)的圖象的對稱性(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.l 兩個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.l 若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.l 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系.l 若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).l 幾個常見的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),.(2)指數(shù)函數(shù),.(3)對數(shù)函數(shù),.(4)冪函數(shù),.(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，. l 幾個函數(shù)方程的周期(約定a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.指數(shù)與對數(shù)l 分數(shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.(2)（，且）.l 根式的性質(zhì)（1）.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.l 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.l 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 .l 對數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).l 對數(shù)的四則運算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3).l 設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.l 對數(shù)換底不等式及其推廣 若,則函數(shù) (1)當時,在和上為增函數(shù).， (2)當時,在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.l 平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項的和為).數(shù)列l(wèi) 數(shù)列的前項和與通項的公式； .l 等差數(shù)列的判斷方法：定義法：為等差數(shù)列。 中項法： 為等差數(shù)列。通項公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列。前n項和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。l 等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。l等差數(shù)列的通項公式；其前n項和公式為 .l 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0. 等差數(shù)列a中，是n的一次函數(shù)，且點（n，）均在直線y =x + (a)上（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）對稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之和.當時,則有，特別地，當時，則有.(4) 項數(shù)成等差,則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.即成等差.若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、（公差為），也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.（5）在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時， ；. 項數(shù)為奇數(shù)時， ； ；。（6）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則 d0是遞增數(shù)列；d0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列(7)若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.（8）設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（1），則a=（9）在等差數(shù)列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)l 已知成等差數(shù)列，求的最值問題： 若,d0且滿足,則最小.“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？l 等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。l 等比中項：如果a、G、b三個數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，即G=.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。l 等比數(shù)列的通項公式；其前n項的和公式為或l 等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）對稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等于首末兩項之積.即當時，則有，特別地，當時，則有. (2) 若 a是公比為q的等比數(shù)列，則| a|、a、ka、也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q、q、。若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 若是等比數(shù)列，且各項均為正數(shù)，則成等差數(shù)列。若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q1)前n項和與前n項積分別為S與T，次n項和與次n項積分別為S與T，最后n項和與n項積分別為S與T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列 (3) 單調(diào)性：若，或則為遞增數(shù)列；若,或 則為遞減數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當時，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為_（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。.l 等比差數(shù)列:的通項公式為；其前n項和公式為.l 分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).三角函數(shù)l 常見三角不等式（1）若，則.(2) 若，則.(3) .l 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，.l 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)) l 和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).l 半角正余切公式：l 二倍角公式 .l 三倍角公式 .l 三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.l 正弦定理.l 余弦定理;.l 面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).l 三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有.l 在三角形中有下列恒等式： l 簡單的三角方程的通解 . .特別地,有. .l 最簡單的三角不等式及其解集 . . . .l 角的變形：向量l 實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)、為實數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.l 向量的數(shù)量積的運算律：(1) ab= ba （交換律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.l 平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底l 向量平行的坐標表示 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).l a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cosl ab的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積l 平面向量的坐標運算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則ab=.l 兩向量的夾角公式(a=,b=).l 平面兩點間的距離公式 =(A，B).l 向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)ab=0.l 線段的定比分公式 設(shè)，是線段的分點,是實數(shù)，且，則（）.l 三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點的坐標分別為、,則ABC的重心的坐標是.l 點的平移公式 .注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點為，且的坐標為.l “按向量平移”的幾個結(jié)論（1）點按向量a=平移后得到點.(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.l 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.不等式l 常用不等式：（1）(當且僅當ab時取“=”號)（2）(當且僅當ab時取“=”號)（3）（4）柯西不等式（5）.l 極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當時和有最小值；（2）若和是定值，則當時積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當最大時,最大；當最小時,最小.（2）若和是定值,則當最大時, 最小；當最小時, 最大.l 一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.l 含有絕對值的不等式 當a 0時，有.或.75.無理不等式（1） .（2）.（3）.l 指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當時,; .(2)當時,;直線方程l 斜率公式 （、）. k=tan(為直線傾斜角）l 直線的五種方程 （1）點斜式 (直線過點，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式 ()(、 ().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時為0).l 兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；兩直線垂直的充要條件是 ；即：l 夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1與l2的夾角是.l 到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1到l2的角是.l 四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量l 點到直線的距離 (點,直線：).l 或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，若A0,則在坐標平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，若A0,則在坐標平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，可記為“x 為正開口對，X為負背靠背“。（正負指X的系數(shù)A，開口對指”，背靠背指0)的焦點F的直線與拋物線相交于圓錐曲線共性問題l 兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.l 直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或（弦端點A由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. l 涉及到曲線上的 點A，B及線段AB的中點M的關(guān)系時，可以利用“點差法：，比如在橢圓中：l 圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.l “四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.立體幾何109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b0 )，ab存在實數(shù)使a=b三點共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理 向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使.119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面四點共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則a，e=ae122.向量的直角坐標運算設(shè)a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.設(shè)A，B，則= .124空間的線線平行或垂直設(shè)，則；.125.夾角公式 設(shè)a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當且僅當時等號成立).134.空間兩點間的距離公式 若A，B，則 =.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,). 139.三個向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則.143作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.148柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.排列組合l 分類計數(shù)原理（加法原理）.l 分步計數(shù)原理（乘法原理）.l 排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.l 排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .l 組合數(shù)公式 =(N*，且).l 組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.l 組合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).(10).l 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .l 單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個元在固定位的排列有種.浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空 個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.l 分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有 .（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時，則無論，等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.l “錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為.推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為.l 不定方程的解的個數(shù)(1)方程（）的正整數(shù)解有個.(2) 方程（）的非負整數(shù)解有 個.(3) 方程（）滿足條件(,)的非負整數(shù)解有個.(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個.l 二項式定理 ;二項展開式的通項公式.概率l 等可能性事件的概率.l 互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)l 個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)l 獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)= P