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22.3實(shí)際問題與一元二次方程(第1課時(shí)) 本節(jié)之前我們已經(jīng)討論過解一元二次方程的幾種方法,并且已有由實(shí)際問題列出一元二次方程的內(nèi)容.在此基礎(chǔ)上,本節(jié)進(jìn)一步以“探究”的形式更深入地討論如何用一元二次方程解決實(shí)際問題.本節(jié)要探究的三個(gè)問題,比前面出現(xiàn)的實(shí)際問題在分析數(shù)量關(guān)系方面更復(fù)雜些,問題情境與實(shí)際情況也更接近些。一、教學(xué)任務(wù)分析教學(xué)目標(biāo):知識(shí)技能:1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程;2.通過解決傳播問題,平均變化率問題,學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,體驗(yàn)解決問題策略的多樣性,發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)。3.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果是否合理過程與方法:經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程,探索問題中的數(shù)量關(guān)系,并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述情感態(tài)度價(jià)值觀:通過用一元二次方程解決身邊的問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用教學(xué)重點(diǎn):列一元二次方程解有關(guān)傳播問題、平均變化率等問題的應(yīng)用,解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)傳播問題、平均變化率問題中的等量關(guān)系,正確地建立一元二次方程。二、教學(xué)流程安排1復(fù)習(xí)引入通過列一元一次方程解決實(shí)際問題,回憶列方程解實(shí)際問題的一般步驟,為類比學(xué)習(xí)一元二次方程解實(shí)際問題做好鋪墊。2探究新知通過實(shí)例探究的方法,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,結(jié)合一元二次方程解答。3鞏固訓(xùn)練檢驗(yàn)新知的掌握情況,進(jìn)一步鞏固新知識(shí),學(xué)以致用。4. 總結(jié)歸納梳理知識(shí),學(xué)生獲得鞏固和發(fā)展。5布置作業(yè)鞏固所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,正確地建立一元二次方程。三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)活動(dòng)1.復(fù)習(xí)引入1、解下列方程:(1) (1+x)2-81=0 (2) 2(x-2)=x(x-2)-642列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:(1)“設(shè)”,即設(shè)_,設(shè)求知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種;(2)“列”,即根據(jù)題中_關(guān)系列方程;(3)“解”,即求出所列方程的_;(4)“查”,即驗(yàn)證是否符合題意;(5)“答”,即回答題目中要解決的問題。師生共同回憶列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟.為類比學(xué)習(xí)一元二次方程解實(shí)際問題做好鋪墊?;顒?dòng)2.探究新知同一元一次方程一樣,一元二次方程也可作為反映某些實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課我們來討論如何利用一元二次方程分析解決實(shí)際問題。【探究1】有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后,有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人? 思考:(1)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系?(2)如何理解“兩輪傳染”?(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程?設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人,那么患流感的這個(gè)人在第一輪傳染中傳染了 人;第一輪傳染后,共有 人患了流感;在第二輪傳染中,傳染源是 人,這些人中每一個(gè)人又傳染了 人,那么第二輪傳染了 人,第二輪傳染后,共有 人患流感.(4)根據(jù)等量關(guān)系列方程并求解解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人,則依題意第一輪傳染后有(1+x)人患了流感,第二輪傳染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程:1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10, x2=-12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人(5)為什么要舍去一解?(6)如果按照這樣的傳播速度,三輪傳染后,有多少人患流感?121+10121=1331.教師出示問題.學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,小組合作討論,解決問題,教師加入到學(xué)生討論中,重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否能正確建立一元二次方程。教師板書解題過程。學(xué)生獨(dú)立思考問題,并發(fā)表個(gè)人意見。教師對(duì)學(xué)生的回答給予適當(dāng)評(píng)價(jià)?;顒?dòng)3.反饋練習(xí)1生物興趣小組的學(xué)生,將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件,全組共互贈(zèng)了182件,如果全組有x名同學(xué),那么根據(jù)題意列出的方程是()Ax(x+1)=182Bx(x-1)=182C2x(x+1)=182Dx(1-x)=18222一個(gè)小組若干人,新年互送賀卡,若全組共送賀卡72張,則這個(gè)小組共()A12人B18人C9人D10人學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立解題教師巡視、指導(dǎo),并選取兩名學(xué)生上臺(tái)書寫解答過程(或用投影儀展示學(xué)生的解答過程)活動(dòng)4.應(yīng)用拓展1.某種電腦病毒傳播非常快,如果有一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染。請(qǐng)解釋:每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?若病毒得不到有效控制,被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)? 2.學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽(每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行了一次比賽),共進(jìn)行了15場(chǎng)比賽,那么有幾個(gè)球隊(duì)參加了這次比賽?3.參加足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行了兩次比賽(雙循環(huán)比賽),共要比賽90場(chǎng),共有多少個(gè)隊(duì)參加了比賽?4.參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?所有人共握手10次,有多少人參加聚會(huì)?【分析】(1)題中有哪些數(shù)量關(guān)系?(2)由這些數(shù)量關(guān)系還能得到什么新的結(jié)論?你想如何利用這些數(shù)量關(guān)系?為什么?如何列方程?(3)對(duì)比以上幾道題,它們有什么聯(lián)系與區(qū)別?【活動(dòng)方略】教師活動(dòng):操作投影,將例題顯示,組織學(xué)生討論學(xué)生活動(dòng):合作交流,討論解答。【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步提升學(xué)生在活動(dòng)2中的學(xué)習(xí)效果,使學(xué)生充分體會(huì)傳播問題,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)傳播問題的解題能力。活動(dòng)5.【探究2】?jī)赡昵吧a(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元,哪種藥品成本的年平均下降率較大?思考:(1)怎樣理解下降額和下降率的關(guān)系?(2)若設(shè)甲種藥品平均下降率為x,則一年后,甲種藥品的成本下降了 元,此時(shí)成本為 元;兩年后,甲種藥品下降了 元,此時(shí)成本為 元。(3)對(duì)甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程并求解、選擇根?解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x, 則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)元 依題意,得5000(1-x)2=3000 解得:x10.225,x21.775(不合題意,舍去)(4)同樣的方法請(qǐng)同學(xué)們嘗試計(jì)算乙種藥品的平均下降率,并比較哪種藥品成本的平均下降率較大。 設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y 則:6000(1-y)2=3600 整理,得:(1-y)2=0.6 解得:y0.225答:兩種藥品成本的年平均下降率一樣大(5)思考經(jīng)過計(jì)算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品,它的下降率一定也較大嗎?應(yīng)怎樣全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況?活動(dòng)6.鞏固訓(xùn)練1.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元,預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元,若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為 .3惠州市開展“科技下鄉(xiāng)”活動(dòng)三年來,接受科技培訓(xùn)的人員累計(jì)達(dá)95萬人次,其中第一年培訓(xùn)了20萬人次,設(shè)每年接受科技培訓(xùn)的人次的平均增長率都為x,根據(jù)題意列出的方程是 .說明:通過練習(xí)加深學(xué)生列一元二次方程解應(yīng)用題的基本思路四、小結(jié)作業(yè)小結(jié):通過本課的學(xué)習(xí),大家有什么新的收獲和體會(huì)?本節(jié)課應(yīng)掌握:1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟:審、設(shè)、找、列
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