第7講_點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用.doc

第7講 點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用定理 在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則. 證明：設M、N兩點的坐標分別為、，則有，得又同理可證，在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.典題妙解例1 設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O為坐標原點，點P滿足，點N的坐標為.當繞點M旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最大值和最小值.解：（1）設動點P的坐標為.由平行四邊形法則可知：點P是弦AB的中點 .焦點在y上， 假設直線的斜率存在.由得：整理，得：當直線的斜率不存在時，弦AB的中點P為坐標原點，也滿足方程。所求的軌跡方程為（2）配方，得：當時，；當時，例2 在直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求的取值范圍；（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請說明理由.解：（1）直線的方程為由得：直線與橢圓有兩個不同的交點，0.解之得：或.的取值范圍是.（2）在橢圓中，焦點在軸上，設弦PQ的中點為，則由平行四邊形法則可知：與共線，與共線.，從而由得：，由（1）可知時，直線與橢圓沒有兩個公共點，不存在符合題意的常數(shù).例3已知橢圓（0）的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為.() 求橢圓的標準方程；() 過點的直線與該橢圓相交于M、N兩點，且，求直線的方程.解：（）根據題意，得.所求的橢圓方程為.（）橢圓的焦點為、. 設直線被橢圓所截的弦MN的中點為.由平行四邊形法則知：.由得：.若直線的斜率不存在，則軸，這時點P與重合，與題設相矛盾，故直線的斜率存在.由得： 代入，得整理，得：.解之得：，或.由可知，不合題意.，從而.所求的直線方程為，或.例4 已知橢圓（0）的離心率為，過右焦點F的直線與C相交于A、B兩點. 當?shù)男甭蕿?時，坐標原點O到的距離為.（1）求的值；（2）C上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有點P的坐標與的方程；若不存在，說明理由.解：（1）橢圓的右焦點為，直線的斜率為1時，則其方程為，即. 原點O到的距離：，.又，. 從而.， .（2）橢圓的方程為. 設弦AB的中點為. 由可知，點Q是線段OP的中點，點P的坐標為.若直線的斜率不存在，則軸，這時點Q與重合，點P不在橢圓上，故直線的斜率存在.由得：.由和解得：.當時，點P的坐標為，直線的方程為；當時，點P的坐標為，直線的方程為.金指點睛1. 已知橢圓，則以為中點的弦的長度為（ ） A. B. C. D. 2.（06江西）橢圓（0）的右焦點為，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點.（1）求點P的軌跡H的方程；（2）略.3（05上海）（1）求右焦點坐標是且過點的橢圓的標準方程；（2）已知橢圓C的方程為（0）.設斜率為的直線，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M. 證明：當直線平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；（3）略.4. (05湖北)設A、B是橢圓上的兩點，點是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.（1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（2）略.5. 橢圓C的中心在原點，并以雙曲線的焦點為焦點，以拋物線的準線為其中一條準線.（1）求橢圓C的方程；（2）設直線與橢圓C相交于A、B兩點，使A、B兩點關于直線對稱，求的值.參考答案1. 解：由得，.弦MN的中點，由得，直線MN的方程為.即. 由得：.設，則.故答案選C.2. 解：（1）設點P的坐標為，由得：，整理，得：.點P的軌跡H的方程為.3解：（1）右焦點坐標是，左焦點坐標是. .由橢圓的第一定義知，. . 所求橢圓的標準方程為. （2）設點M的坐標為，由得：，整理得：.a、b、k為定值，當直線平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.4. 解：（1）點在橢圓內，即12.的取值范圍是.由得，焦點在y軸上.若直線AB的斜率不存在，則直線AB軸，根據橢圓的對稱性，線段AB的中點N在x軸上，不合題意，故直線AB的斜率存在.由得：，.所求直線AB的方程為，即.從而線段AB的垂直平分線CD的方程為，即.5. 解：（1）在雙曲線中，焦點為.在拋物線中，準線為.在橢圓中，. 從而所求橢圓C的方程為.（