Jordan標(biāo)準(zhǔn)型ppt課件.ppt

第3章 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹 JordanCanonicalForm 1 第3章 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹 Problem 矩陣A到底和一個(gè)多簡(jiǎn)單的矩陣相似 Solution 理想情況下 A為對(duì)角形并非所有的矩陣都可以對(duì)角化 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用 2 第3章 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹 本章的主要結(jié)論 Theorem任何復(fù)數(shù)域上的n階矩陣A都和一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相似 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 Jordan塊 3 2 1求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的道路之一 利用如下的流程圖 A l lE A 行列式因子 不變因子 初級(jí)因子 Jordan塊 J A 4 1 行列式因子 Step1 計(jì)算所有的k階子式 Step2 求所有的k階子式的首一最大公因式即為Dn 高階行列式因子可以整除低階的行列式因子 5 2 不變因子 高階不變因子可以整除低階的不變因子 6 3 初級(jí)因子 對(duì)次數(shù)非零的不變因子進(jìn)行因式分解 所得的一次因式的方冪即為初級(jí)因子Remark 來自于不同不變因子的一次因式不能進(jìn)行合并 7 4 初級(jí)因子和Jordan塊的關(guān)系 一一對(duì)應(yīng)初級(jí)因子Jordanblock 8 9 2 2求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的道路之二 利用如下的流程圖 A l lE A 不變因子 初級(jí)因子 Jordan塊 J A Smith標(biāo)準(zhǔn)形 10 1 矩陣及其初等變換 矩陣的初等變換 交換兩行 列 某行 列 乘非零數(shù) 某行 列 的多項(xiàng)式p 倍加到另行 列 和矩陣的初等變換差不多 11 2 矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形Problem 矩陣經(jīng)初等變換可以變成什么樣的矩陣 Answer Smith標(biāo)準(zhǔn)形Theorem Smith標(biāo)準(zhǔn)形 12 Ex1求下面矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形Keystep 一階行列式因子 一階不變因子 13 3 Smith標(biāo)準(zhǔn)形和不變因子 為A的不變因子 一切的理論依據(jù) Theorem P071 定理3 2 5 定理3 2 6 相似的矩陣有相同的行列式因子 Ex2 P071 例3 2 6 求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的第二種方法 14 4 矩陣的三種因子之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 Key 最后一個(gè)不變因子包含所有的一次因式 Ex3 P059 例3 1 4 15 2 3求相似變換的矩陣P Problem 如何求可逆陣P 使得PAP 1 J Solution 待定系數(shù)法 Example P060例3 1 5 16 2 4最小多項(xiàng)式 minimalpolynomials Def 矩陣多項(xiàng)式 例設(shè) 17 1Cayley HamiltonTheorem 1858 設(shè)A為n階復(fù)方陣 f l lE A 則f A 0Application 對(duì)矩陣多項(xiàng)式進(jìn)行降次Example P074例3 3 1 18 哈密頓 W R Hamilton WilliamRowan 1805 1865 愛爾蘭人 哈密頓自幼聰明 被稱為神童 他3歲英語已讀得非常好 4歲時(shí)是不錯(cuò)的地理學(xué)者 5歲時(shí)能閱讀和翻譯拉丁語 希臘語和希伯來語 喜歡用希臘語朗誦荷馬史詩(shī) 8歲掌握了意大利語和法語 覺得英語過于平庸 用拉丁文的六韻步詩(shī)體 10歲不到開始學(xué)習(xí)阿拉伯語 梵語 波斯語 同時(shí)學(xué)習(xí)馬來語 孟加拉語 古敘利亞語 他極想學(xué)習(xí)漢語 但是太難搞到書 14歲時(shí) 因在都柏林歡迎波斯大使宴會(huì)上用波斯語與大使交談而出盡風(fēng)頭 主要貢獻(xiàn) 力學(xué) 數(shù)學(xué) 光學(xué) 19 2矩陣的零化多項(xiàng)式 AnnihilatingpolynomialsofMatrices 問題 A Cn n A 0 是否存在非零多項(xiàng)式g 使得g A 0 Definition 零化多項(xiàng)式 如果g A 0 則g 被稱為矩陣A的零化多項(xiàng)式 Cayley Hamilton定理保證 矩陣的零化多項(xiàng)式存在 20 3最小多項(xiàng)式 Definition 最小多項(xiàng)式 mA 是最小多項(xiàng)式 mA A 0mA 在化零多項(xiàng)式中次數(shù)最低 mA 最高次項(xiàng)系數(shù)是1 mA 整除任何化零多項(xiàng)式 21 3最小多項(xiàng)式 求解最小多項(xiàng)式方法一 最小多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)P075定理3 3 4最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式有相同的根 區(qū)別在于最小多項(xiàng)式的根的重?cái)?shù)比后者要低 f E A mA 22 例1 P076 例3 3 2 例2設(shè)A R4 4 mA 求矩陣A的所有可能的Jordan矩陣 例3設(shè)是矩陣A的化零多項(xiàng)式 證明A可以相似于對(duì)角矩陣 23 相似問題中的一些矩陣結(jié)果 1 冪等矩陣 冪零矩陣和乘方矩陣冪等矩陣 idempotent A2 A冪零矩陣 nilpotent A 0 k為正整數(shù) Ak 0乘方矩陣 involutary A2 I A為冪零矩陣的充要條件是A的特征值都是零 A為乘方矩陣的充要條件是A相似于矩陣 A為冪等矩陣的充要條件是A相似于矩陣 24 2設(shè)A為階方陣 證明矩陣A和AT相似 證明思想 證明A和AT相似 證明Jordan矩陣JA和JAT相似 證明JA和JAT的Jordan塊J和JT相似 證明方法 取逆向單位矩陣S 證明 SJ JTS backwardidentity 25 4 設(shè)矩陣A Fm n 矩陣B Fn