2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷含答案解析（9）

2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷（9）（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）第I卷（選擇題)一、 單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合A,B，根據(jù)交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于容易題.2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)化，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)定義，屬于基礎(chǔ)題.3已知向量，滿足，且則向量與的夾角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先由向量模的計(jì)算公式，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出，再由向量夾角公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，滿足，且，所以，即，因此，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量的模求向量夾角余弦值，熟記向量夾角公式，以及模的計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.4已知，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用“1”的變換，所求式子化為關(guān)于的齊次分式，化弦為切，即可求解.【詳解】.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查同角間三角函關(guān)系，弦切互化是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，已知，則（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用得出，先求出，再利用遞推式求出即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，整理得，又，得，得，得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.6易經(jīng)是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)概率公式計(jì)算即可【詳解】從八卦中任取兩卦，基本事件有種，其中這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線，基本事件共有10中，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為p故選：D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題7函數(shù)的圖象大致是ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，根據(jù)定義在上的奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以排除，再求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呈周期性變化，分析四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí)，故函數(shù)圖像過原點(diǎn)，排除又，令則可以有無數(shù)解，所以函數(shù)的極值點(diǎn)有很多個(gè)，故排除故函數(shù)在無窮域的單調(diào)區(qū)間呈周期性變化結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，只有符合要求故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了由函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)圖像的大體形狀，解決此類問題，主要從函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性以及奇偶性，極值等方面考慮，有時(shí)也用特殊值代入驗(yàn)證。8的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A120B80C60D40【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（ ）A4BCD【答案】C【解析】【分析】由三視圖可得直觀圖為四棱錐，即可求出結(jié)論.【詳解】根據(jù)三視圖，還原直觀圖如圖所示，最長(zhǎng)棱為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖應(yīng)用，三視圖還原成直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的A25B9C17D20【答案】C【解析】【分析】直接利用循環(huán)結(jié)構(gòu)，計(jì)算循環(huán)各個(gè)變量的值，當(dāng)，不滿足判斷框的條件，退出循環(huán)輸出結(jié)果即可【詳解】按照程序框圖依次執(zhí)行為，；，；，退出循環(huán)，輸出故應(yīng)選C【點(diǎn)睛】解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.11在中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由（）0，得ABBC，結(jié)合0，得ABC是一個(gè)等腰直角三角形，求出AC的長(zhǎng)，再利用雙曲線的定義建立a與c的關(guān)系式，即可求出離心率【詳解】（）0，又，（）（），則|，即BABC，又0，ABC是一個(gè)等腰直角三角形，由題意得：C點(diǎn)在雙曲線的右支上，ABBC2c，AC2c，又ACBC2a，即2c2c2a，解得離心率e，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題12對(duì)于函數(shù)，定義:設(shè)是的導(dǎo)數(shù)， 是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拐點(diǎn)的定義，求出對(duì)稱中心，然后運(yùn)用倒序相加法求值.【詳解】，令，得，且，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新定義的理解，仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵，考查倒序法求和，屬于中檔題.第II卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。 13命題 ，則為_；.【答案】【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，得到的結(jié)果.【詳解】因?yàn)樾薷臑?，修改為，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定，難度較易.注意修改量詞的同時(shí)否定結(jié)論.14函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為_.【答案】8.【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出的坐標(biāo)，代入直線方程可得的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可【詳解】解：時(shí)，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容15已知點(diǎn)分別為橢圓的中心、左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，它與橢圓在第一象限部分交于點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】【解析】【分析】先分別求出各點(diǎn)坐標(biāo),由可得,因此可解得,則,即可求得【詳解】由題,則,過點(diǎn)作的平行線,交橢圓在第一象限部分于點(diǎn),將代入中可得,即為,所以,因?yàn)?所以,則,即,所以,又有,所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查平面向量共線定理的應(yīng)用16已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為_.【答案】【解析】【分析】求出正三棱柱底面內(nèi)切圓、外接圓的半徑，對(duì)和分類討論，即可求出此三棱柱外接球表面積的最小值.【詳解】解：因?yàn)檎庵膫?cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，則底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，外接圓的半徑三棱柱內(nèi)的球的體積的最大值為，此時(shí)球的半徑，當(dāng)，即時(shí)，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，取得最大值，因?yàn)?，所以不可能為；?dāng)，即時(shí)，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，取得最大值解得，又，所以，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，則正三棱柱外接球表面積.當(dāng)時(shí)，取得最小值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)切和外接問題，以及球的表面積體積的計(jì)算問題，屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若.(1)求角的大??；(2)若， 求的面積S.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）用正弦定理將已知等式化為角，再利用兩角和的正弦公式，即可求得角的三角函數(shù)值，進(jìn)而求解；（2）由余弦定理求出，即可求出面積.【詳解】解:(1)由可得:.可得:.可得又由得又由得.(2)由余弦定理及已知得.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面積，屬于中檔題.18如圖，在多面體ABDA1B1C1D1中四邊形A1B1C1D1，ADD1A1ABB1A1均為正方形點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)點(diǎn)H在線段C1M上，且A1H與平面ABD所成角的正弦值為（）證明：B1D1平面BC1D：（）求二面角AA1HB的的正弦值【答案】（）證明見解析（）【解析】【分析】()構(gòu)造正方體證明BDB1D1即可.()建立空間直角坐標(biāo)系,利用A1H與平面ABD所成角的正弦值為可求得的坐標(biāo),再利用空間向量求二面角的方法求解即可.【詳解】（）證明：如圖,構(gòu)造正方體ABEDA1B1C1D1,結(jié)合正方體ABEDA1B1C1D1,得BDB1D1,BD平面BC1D,B1D1平面BC1D,B1D1平面BC1D（）解：以D為原點(diǎn),DA為x軸,DE為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD2,則M（1,1,0）,C1（0,2,2）,A1（2,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,設(shè)H（a,b,c）,（01）,則（a,b2,c2）（,2）,H（,2,22）,平面ABD的法向量（0,0,1）,（2,2,2）,A1H與平面ABD所成角的正弦值為,解得,（舍負(fù)）,H（,1）,（,1）,（0,0,2）,（0,2,2）,設(shè)平面AA1H的法向量（x,y,z）,則,取x1,得（1,1,0）,設(shè)平面A1HB的法向量（x,y,z）,則,取y1,得（,1,1）,設(shè)二面角AA1HB的平面角為,則cos,二面角AA1HB的正弦值為：sin【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解面面角的問題,屬于中等題型.19為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國(guó)，緊跟黨走”為主題的黨史知識(shí)競(jìng)賽。從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績(jī)分為六段，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競(jìng)賽成績(jī)?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵(lì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評(píng)出一二三等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的為一等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的為二等獎(jiǎng), 得分在內(nèi)的為三等獎(jiǎng).若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機(jī)抽取三名,設(shè)為獲得三等獎(jiǎng)的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據(jù)中位數(shù)定義估計(jì)中位數(shù)的范圍，在列出方程求解中位數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.（2）計(jì)算兩組的人數(shù)，再計(jì)算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的期望公式，即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，可知樣本的中位數(shù)在第4組中，不妨設(shè)為，則，解得，即樣本的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，樣本的眾數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，在與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)分別為和，設(shè)中兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于5分為事件M，則事件M發(fā)生的概率為，即事件M發(fā)生的概率為.（3）從考生中隨機(jī)抽取三名,則隨機(jī)變量為獲得三等獎(jiǎng)的人數(shù),則，由頻率分布直方圖知，從考升中任抽取1人，此生獲得三等獎(jiǎng)的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，所以隨機(jī)變量的分布列為01230.3430.4410.1890.027所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，熟練頻率分布直方圖的性質(zhì)，正確確定隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與圓相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1) (2) 的周長(zhǎng)為定值.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得出關(guān)系，直線與橢圓聯(lián)立，求出相交弦長(zhǎng)，再用兩點(diǎn)間距離公式，求出長(zhǎng)，求出 的周長(zhǎng)，即可判定結(jié)論.【詳解】解: (1)由題可知，則直線的方程為即，所以聯(lián)立，解得，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式為.(2)因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即設(shè)，聯(lián)立得，所以，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得所以，又所以，因?yàn)橥?，所以所以的周長(zhǎng)為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查相交弦長(zhǎng)以及焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)距離，考查計(jì)算能力，屬于較難題.21設(shè)函數(shù)為常數(shù)) .(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程:(2)若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷，是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).【答案】(1) (2) ，為函數(shù)的極小值點(diǎn)【解析】【分析】（1）求出，即可求出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為在有唯一解，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再轉(zhuǎn)為直線與構(gòu)造函數(shù)的交點(diǎn)，通過求導(dǎo)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解: (1)當(dāng)時(shí)，所求切線的斜率，又.所以曲線在處的切線方程為.(2)又，則要使得在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，則在存在唯一零點(diǎn)，即方程在內(nèi)存在唯一解，即與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn).設(shè)函數(shù)，則在單調(diào)遞減，又；當(dāng)時(shí)，時(shí)與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，設(shè)為當(dāng)時(shí)，則，在為減函數(shù):當(dāng)時(shí)，則，在為增函數(shù).即為函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上所述:，且為函數(shù)的極小值點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn)、單調(diào)性以及圖像變化趨勢(shì)，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與軸的交點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的傾斜角.【答案】(1) ， (2) 或.【解析】【分析】（1）利用消去參數(shù)化曲線為普通方程，運(yùn)用，即可化直線極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）將直線方程化為具有幾何意義的參數(shù)方程，代入曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）曲線的普通方程為，因?yàn)?，所以，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為傾斜角），聯(lián)立直線與曲線的方程得.設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以，得，且滿足，故直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化，考查直線參數(shù)