五個海盜如何分100個金幣呢.doc

兩篇，原故事與改編版原故事：五個海盜搶到了100個金幣，每一顆都一樣的大小和價值連城。 他們決定這么分： 1抽簽決定自己的號碼 - 1、2、3、4、5 2首先，由1號提出分配方案，然后大家5人進行表決，當且僅當超過半數(shù)的人同意時，按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。 3如果1號死后，再由2號提出分配方案，然后大家4人進行表決，當且僅當超過半數(shù)的人同意時，按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。 4以次類推條件：每個海盜都是很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。 問題：第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己免于下海以及自己獲得最多的金幣呢？ -此題公認的標準答案是： 1號海盜分給3號1枚金幣，4號或5號2枚金幣，自己則獨得97枚金幣，即分配方案為（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）?，F(xiàn)來看如下各人的理性分析： 首先從5號海盜開始，因為他是最安全的，沒有被扔下大海的風險，因此他的策略也最為簡單，即最好前面的人全都死光光，那么他就可以獨得這100枚金幣了。 接下來看4號，他的生存機會完全取決于前面還有人存活著，因為如果1號到3號的海盜全都喂了鯊魚，那么在只剩4號與5號的情況下，不管4號提出怎樣的分配方案，5號一定都會投反對票來讓4號去喂鯊魚，以獨吞全部的金幣。哪怕4號為了保命而討好5號，提出（0，100）這樣的方案讓5號獨占金幣，但是5號還有可能覺得留著4號有危險，而投票反對以讓其喂鯊魚。因此理性的4號是不應該冒這樣的風險，把存活的希望寄托在5號的隨機選擇上的，他惟有支持3號才能絕對保證自身的性命。 再來看3號，他經(jīng)過上述的邏輯推理之后，就會提出（100，0，0）這樣的分配方案，因為他知道4號哪怕一無所獲，也還是會無條件的支持他而投贊成票的，那么再加上自己的1票就可以使他穩(wěn)獲這100金幣了。 但是，2號也經(jīng)過推理得知了3號的分配方案，那么他就會提出（98，0，1，1）的方案。因為這個方案相對于3號的分配方案，4號和5號至少可以獲得1枚金幣，理性的4號和5號自然會覺得此方案對他們來說更有利而支持2號，不希望2號出局而由3號來進行分配。這樣，2號就可以屁顛屁顛的拿走98枚金幣了。 不幸的是，1號海盜更不是省油的燈，經(jīng)過一番推理之后也洞悉了2號的分配方案。他將采取的策略是放棄2號，而給3號1枚金幣，同時給4號或5號2枚金幣，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由于1號的分配方案對于3號與4號或5號來說，相比2號的方案可以獲得更多的利益，那么他們將會投票支持1號，再加上1號自身的1票，97枚金幣就可輕松落入1號的腰包了。 看到這里，讀者一定會問，這個海盜分金幣的題目與中國說“不”有何關聯(lián)呢？好，下面就切入正題。 海盜分金幣模型的最終答案可能會出乎很多人的意料，因為從直覺來看，此模型中如此嚴酷的規(guī)定，若誰抽到1號真是天底下最不幸的人了。因為作為第一個提出方案的人，其存活的機會真是微乎其微，即使他一個金幣也不要，都無私的分給其他4個人，那4個人也很可能因為覺得他的分配不公而反對他的方案，那他也就只有死路一條了。可是看起來處境最兇險的1號，卻憑借著其超強的智慧和先發(fā)的優(yōu)勢，不但消除了喂鯊魚的危險，而且最終還使自己的收益最大化，這不正像是當今國際社會國與國之間在政治、經(jīng)濟等領域相互博弈過程中，先發(fā)制人的智慧和優(yōu)勢的凸現(xiàn)嗎？而5號表面上看起來是最安全的，可以坐山觀虎斗，先讓前面的海盜拼個你死我活而坐收漁翁之利，可實際上最后卻不得不看別人的臉色行事，勉強分得一杯小羹，這不正是本想以靜制動，后發(fā)制人而反得劣勢的寫照嗎？改編版：5個海盜搶得100枚金幣后，討論如何進行分配。他們商定的分配原則是：（1）抽簽確定各人的分配順序號碼（1，2，3，4，5）；（2）由抽到1號簽的海盜提出分配方案，然后5人進行表決，如果方案得到超過半數(shù)（注意，是超過半數(shù)）的人同意，就按照他的方案進行分配，否則就將1號扔進大海喂鯊魚；（3）如果1號被扔進大海，則由2號提出分配方案，然后由剩余的4人進行表決，當超過半數(shù)的人同意時，才會按照他的提案進行分配，否則也將被扔入大海；依此類推。 （4）各人同不同意分配方案要寫在紙上提交，等都提交后，再打開公示。不能串通。 （5）這4人都以保命為第一位。 加入非理性人因素： 5個海盜中有4個是理性人，這4人知道海盜中有一個非理性人，但不知道是誰。4個理性人都知道非理性人的分配原則：當理性人的提案中，非理性人得到的金幣數(shù)量大于或等于100人數(shù)（死了的人不算）時，非理性人才會同意。由非理性人提出分配方案時，其會提出按人數(shù)平均分配金幣；只有當其是4號時，非理性人會給5號100金幣。 （指相對的平均分配，比如3人分100金幣時，非理性人會提出34、33、33的分配方案，自己多得1個金幣） 問題：如果你1號，且你是理性人，你會怎么分配？ 答案： 思路： 1：1號至少可以拿到20個金幣，因為他可以提出（20，20，20，20，20）的分配方案來冒充非理性人。 2：當1號的分配方案所收買的某人的金幣數(shù)，大于1號死去后，后面的方配方案所給金幣的期望值時，其就會同意這提案。因此，1號的提案要考慮到2號的提案；而2號的提案又要考慮到3號的提案；而3號的提案又要考慮到4號的提案。所以先要從只有二人時開始分析。 3：此題要研究理性人心理的期望值，就需要站在理性人的角度思考。所以在逆推時，要假定有可能被收買的人是理性人，這樣才能算出理性人心理的期望值。 二人時： 如果4號是理性人，分配方案是（50，50） 如果5號是理性人，分配方案是（0，100） 三人時，有兩種情況： 3號是非理性人 3號的分配方案是（34，33，33） 注意：這里是分析理性人的想法，所以要假定4、5號是理性人，那么，站在4、5號的角度想，3號是非理性人的概率是1/2，而不是1/3。 那么，4號的期望是33/2；5號的期望是33/2 3號有1/2的概率是理性人 如果4號是理性人，在4號看來，3號死后4號的收益是50 如果5號是理性人，在5號看來，3號死后5號的收益是100 所以，3號的分配方案是（49，51，0） 4號的期望是51/2；5號的期望是0 以上兩種情況的期望合計：4號的期望42；5號的期望33/2 四人時，有兩種情況： 2號有1/3的概率是非理性人 2號的分配方案是（25，25，25，25） 3、4、5號的期望都是25/3 （再次說明：比如站在理性人3號的角度想，1號死后，2號是非理性人的概率是1/3，而不是1/4） 2號有2/3的概率是理性人 分析：3號50可收買；4號43可收買；5號17可收買。應該收買4、5號，考慮到5號有可能是非理性人，所以應給他25個金幣。 2號的分配方案是（32，0，43，25） 3號的期望是0 4號的期望是43*2/3=86/3 5號的期望是25*2/3=50/3 以上兩種情況的期望合計：3號的期望25/3；4號的期望37；5號的期望25 五人時： 分析：2號33可收買；3號9可收買；4號38可收買；5號26可收買。1號應該收買3、5號?？紤]到3號有可能是非理性人，所以應給他20個金幣。 答案是：（54，0，20，0，26） 思考題：其他條件不變，總?cè)藬?shù)是6、7、8人時，最優(yōu)策略分別是什么？五人時，有兩種情況： 1號有1/4的概率是非理性人 1號的分配方案是（20，20，20，20，20） 2-5號期望都是5 1號有3/4的概率是理性人 1號的分配方案是（54，0，20，0，26） 2-5號的期望分別是：0，15，0，19.5 以上兩種情況的期望合計：2-5號：5，20，5，24.5 六人時，有兩種情況： 第1號有1/5的概率是非理性人 第1號的分配方案是（20，16，16，16，16，16） 第2-6號期望都是3.2 第1號有4/5的概率是理性人 第1號的分配方案是（45，0，17，21，17，0） 第2-6號的期望分別是：0，13.6，16.8，13.6，0 以上兩種情況的期望合計：2-6號：3.2，16.8，20，16.8，3.2 七人時，有兩種情況： 第1號有1/6的概率是非理性人 第1號的分配方案是（16，14，14，14，14，14，14） 第2-6號期望都是7/3 第1號有5/6的概率是理性人 第一種方案：收買3個人 第1號的分配方案是（53，0，15，17，0，0，15）或（53，0，15，0，0，17，15） 第二種方案：收買4個人，其中必有3個人同意 （58，0，4，17，0，17，4） 第二種方案更優(yōu) 第2-7號的期望分別是：0，10/3，85/6，0，85/6，10/3 以上兩種情況的期望合計：2-7號：7/3，17/3，16.5，7/3，16.5，17/3 收買2-7號所需金幣數(shù)分別為：3，6，17，3，17，6 八人時，有兩種情況： 第1號有1/7的概率是非理性人 第1號的分配方案是（16，12，12，12，12，12，12，12） 第2-8號期望都是12/7 第1號有6/7的概率是理性人 第一種方案：收買4個人 （48，0，13，0，13，13，13，0） 第二種方案：收買5個人，其中必有4人同意 （65，0，3，6，17，3，0，6）或（65，0，3，6，0，3，17，6） 第二種方案更優(yōu) 第2號的期望是：0 第3號的期望是：3*6/7=18/7 第4號的期望是：6*6/7=36/7 第5號的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第6號的期望是：3*6/7=18/7 第7號的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第8號的期望是：6*6/7=36/7 以上兩種情況的期望合計：2-8號：12/7，30/7，48/7，9，30/7，9，48/7 收買2-8號所需金幣數(shù)分別為：2，5，7，10，5，10，7 九人時，有兩種情況： 第1號有1/8的概率是非理性人 第1號的分配方案是（12，11，11，11，11，11，11，11，11） 第2-9號期望都是11/8 第1號有7/8的概率是理性人 第1號的分配方案是：（74，0，2，5，7，0，5，0，7） （收買5人，其中必有4人同意） 第2-9號的期望分別是：0，14/8，35/8，49/8，0，35/8，0，49/8 以上兩種情況的期望合計：2-9號：1.375，3.125，5.75，7.5，1.375，5.75，1.375，7.5 十人時： 1號理性人的分配方案是：收買6個人，其中必有5個人同意。 （78，0，2，4，6，0，2，6，2，0） 小計：二人時（50，50）三人時（49，51，0）四人時（32，0，43，25）五人時（54，0，20，0，26）六人時（45，0，17，21，17，0）七人時（58，0，4，17，0，17，4