高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題庫.pdf

1第 1 頁 共 50 頁 一 選擇題一 選擇題 1 1 20201010 年廣東卷年廣東卷 文文 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 x exxf 3 A B 0 3 C 1 4 D 2 2 答案D 解析 令 解得 故選 D 3 3 2 xxx fxxexexe 0fx 2x 2 2010 全國卷 理 已知直線 y x 1 與曲線相切 則 的值為 yln xa A 1B 2C 1D 2 答案B 解 設(shè)切點 則 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa Q 故答案選 B 000 10 12xayxa 3 2010 安徽卷理 已知函數(shù)在 R 上滿足 則曲線 f x 2 2 2 88f xfxxx 在點處的切線方程是 yf x 1 1 f A B C D 21yx yx 32yx 23yx 答案A 解析由得幾何 2 2 2 88f xfxxx 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 即 切線方程 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 12 1 yx 選 A210 xy 4 2010 江西卷文 若存在過點的直線與曲線和都相切 則等于 1 0 3 yx 2 15 9 4 yaxx a A 或B 或C 或D 或1 25 64 1 21 4 7 4 25 64 7 4 7 答案A 解析設(shè)過的直線與相切于點 所以切線方程為 1 0 3 yx 3 00 x x 32 000 3 yxxxx 2第 2 頁 共 50 頁 即 又在切線上 則或 23 00 32yx xx 1 0 0 0 x 0 3 2 x 當(dāng)時 由與相切可得 0 0 x 0y 2 15 9 4 yaxx 25 64 a 當(dāng)時 由與相切可得 所以選 0 3 2 x 2727 44 yx 2 15 9 4 yaxx 1a A 5 2010 江西卷理 設(shè)函數(shù) 曲線在點處的切線方程為 2 f xg xx yg x 1 1 g21yx 則曲線在點處切線的斜率為 yf x 1 1 f A B C D 4 1 4 2 1 2 答案A 解析由已知 而 所以故選 A 1 2g 2fxg xx 1 1 2 14fg 力 6 2009 全國卷 理 曲線在點處的切線方程為 21 x y x 1 1 A B C D 20 xy 20 xy 450 xy 450 xy 答案B 解解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切線方程為 即故選故選 B B B B 1 1 yx 20 xy 7 2009 湖南卷文 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) yf x a b 則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 yf x a b A B C D 解析因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 即在區(qū)間上各點處的斜率 yf x yfx a b a b 是遞增的 由圖易知選 A 注意 C 中為常數(shù)噢 kyk ababa o x o x y ba o x y o x y b y 3第 3 頁 共 50 頁 8 2009 遼寧卷理 若滿足 2x 5 滿足 2x 2 x 1 5 1 x2x 2 x 2 log 1 x 2 x A B 3C D 4 5 2 7 2 答案C 解析由題意 1 1 225 x x 222 22log 1 5xx 所以 1 1 252 x x 121 log 52 xx 即 2 121 2log 52 xx 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 與 式比較得 t x2 于是 2x1 7 2x2 9 2009 天津卷理 設(shè)函數(shù)則 1 ln 0 3 f xxx x yf x A 在區(qū)間內(nèi)均有零點 1 1 1 e e B 在區(qū)間內(nèi)均無零點 1 1 1 e e C 在區(qū)間內(nèi)有零點 在區(qū)間內(nèi)無零點 1 1 e 1 e D 在區(qū)間內(nèi)無零點 在區(qū)間內(nèi)有零點 1 1 e 1 e 考點定位 本小考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 基礎(chǔ)題 解析由題得 令得 令得 x x x x x x x x x x x x x x x xf f f f 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 3 x x x x0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 30 0 0 0 x x x x 得 故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù) 在區(qū)間0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 3 x x x x x x x xf f f f 3 3 3 3 0 0 0 0 3 3 3 3 為增函數(shù) 在點處有極小值 又3 3 3 3 x x x x0 0 0 03 3 3 3lnln lnln1 1 1 1 1 2fxax x y 此時斜率為 問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點 00 x 1 2fxax x 解法1 圖像法 再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點 當(dāng)不符合題意 當(dāng) 2g xax 1 h x x 0a 0a 時 如圖 1 數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點 當(dāng)如圖 2 此時正好有一個交點 故有應(yīng)填0a 0a 0 或是 0a a 解 法 2 分 離 變 量 法 上 述 也 可 等 價 于 方 程在內(nèi) 有 解 顯 然 可 得 1 20ax x 0 2 1 0 2 a x 12 2009 江蘇卷 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 32 15336f xxxx 解析考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 2 330333 11 1 fxxxxx 由得單調(diào)減區(qū)間為 亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間 11 1 0 xx a 命題立意 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系 隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查 根據(jù)其底數(shù) 的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答 5第 5 頁 共 50 頁 14 2009福建卷理 若曲線存在垂直于軸的切線 則實數(shù)取值范圍是 3 lnf xaxx ya 答案 0 解析由題意可知 又因為存在垂直于軸的切線 2 1 2fxax x y 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 15 2009 陜西卷理 設(shè)曲線在點 1 1 處的切線與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)為 令 1 n yxnN n x 則的值為 lg nn ax 1299 aaa L 答案答案 2 2 2 2 1 1 1 12991299 1 11 1 1 1 1 298 991 lg lg lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx g g gg 解析 點 1 1 在函數(shù)的圖像上 1 1 為切點 的導(dǎo)函數(shù)為切線是 令y 0得切點的橫坐標(biāo) 16 2009 四川卷文 設(shè)是已知平面上所有向量的集合 對于映射 記的象為VM f VV aV a 若映射滿足 對所有及任意實數(shù)都有 f a f VV abV fabf af b 則稱為平面上的線性變換 現(xiàn)有下列命題 fM 設(shè)是平面上的線性變換 則fMabV f abf af b 若是平面上的單位向量 對 則是平面上的線性變換 eM aVf aae 設(shè)fM 對 則是平面上的線性變換 aVf aa 設(shè)fM 設(shè)是平面上的線性變換 則對任意實數(shù)均有 fMaV k f kakf a 其中的真命題是 寫出所有真命題的編號 答案答案 解析解析 令 則故 是真命題1 bfafbaf 同理 令 則故 是真命題0 k akfkaf 則有aaf bbf 是線性變換 故 是真命題 bfafbababaf 6第 6 頁 共 50 頁 由 則有eaaf ebbf ebfafeebeaebabaf 是單位向量 0 故 是假命題ee 備考提示 備考提示 本小題主要考查函數(shù) 對應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān)知識 試題立意新穎 突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力 具有選拔性質(zhì) 17 2009 寧夏海南卷文 曲線在點 0 1 處的切線方程為 21 x yxex 答案31yx 解析 斜率 k 3 所以 y 1 3x 即2 xx xeey20 0 e31yx 三 解答題 18 2009 全國卷 理 本小題滿分 12分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 設(shè)函數(shù)在兩個極值點 且 32 33f xxbxcx 12 xx 12 10 1 2 xx I 求滿足的約束條件 并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi) 畫出滿足這些條件的點的區(qū)域 bc b c II 證明 2 1 10 2 f x 分析 I 這一問主要考查了二次函數(shù)根的 分布及線性規(guī)劃作可行域的能力 大 部 分 考 生 有 思 路 并 能 夠 得 分 由 題 意 知 方 程 2 363fxxbxc 有兩個根 0fx 12 xx 則有 1 10 x 且 2 1 2 x 10f 故有 00f 1020ff 右圖中陰影部分 即是滿足這些條件 的點的區(qū)域 b c II 這一問考生不易得分 有一定的區(qū)分度 主要原因是含字母較多 不易找到突破口 此題主要利用消 元的手段 消去目標(biāo)中的 如果消會較繁瑣 再利用的范圍 并借 32 2222 33fxxbxcx b c 2 x 7第 7 頁 共 50 頁 助 I 中的約束條件得進而求解 有較強的技巧性 2 0 c 解析由題意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33fxxbxcx 消去可得 b 3 222 13 22 c fxxx 又 且 2 1 2 x Q 2 0 c 2 1 10 2 f x 19 2009浙江文 本題滿分 15 分 已知函數(shù) 32 1 2 f xxa xa axb a b R R R R I 若函數(shù)的圖象過原點 且在原點處的切線斜率是 求的值 f x3 a b II 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào) 求的取值范圍 f x 1 1 a 解析 由題意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 解得 或 3 2 0 0 0 aaf bf 0 b3 a1 a 函數(shù)在區(qū)間不單調(diào) 等價于 xf 1 1 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于 0 的實數(shù) 又能取到小于 0 的實數(shù) xf 1 1 即函數(shù)在上存在零點 根據(jù)零點存在定理 有 xf 1 1 即 0 1 1 ff0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 解得0 1 1 5 2 aaa15 a 20 2009 北京文 本小題共 14 分 設(shè)函數(shù) 3 3 0 f xxaxb a 若曲線在點處與直線相切 求的值 yf x 2 f x8y a b 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點 f x 解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 解不等式等基礎(chǔ)知識 考查綜合分析和解 決問題的能力 2 33fxxa 曲線在點處與直線相切 yf x 2 f x8y 203 404 24 86828 faa b abf 2 30fxxaa 當(dāng)時 函數(shù)在上單調(diào)遞增 0a f x 8第 8 頁 共 50 頁 此時函數(shù)沒有極值點 f x 當(dāng)時 由 0a 0fxxa 當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)遞增 xa 0fx f x 當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)遞減 xaa 0fx f x 此時是的極大值點 是的極小值點 xa f xxa f x 21 2009 北京理 本小題共 13 分 設(shè)函數(shù) 0 kx f xxek 求曲線在點處的切線方程 yf x 0 0 f 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 f x 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 求的取值范圍 f x 1 1 k 解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 解不等式等基礎(chǔ)知識 考查 綜合分析和解決問題的能力 1 01 00 kx fxkx eff 曲線在點處的切線方程為 yf x 0 0 fyx 由 得 10 kx fxkx e 1 0 xk k 若 則當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)遞減 0k 1 x k 0fx fx 若 則當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)遞增 0k fx 當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)遞減 1 x k 0fx 1 1 k 即時 函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增 1k f x 1 1 9第 9 頁 共 50 頁 若 則當(dāng)且僅當(dāng) 0ka xf 0 1 ab 解 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得極值 方程必須有解 xf 2 210axbx 所以 即 此時方程的根為 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 當(dāng)時 0 a 所以在 x1 x2處分別取得極大值和極小值 xf 當(dāng)時 0 xf 2 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增 需使在上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù) x x2 x2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù) 10第 10 頁 共 50 頁 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 設(shè) 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 當(dāng)時 當(dāng)時 單調(diào)增函數(shù) 1 a 1 01 a 1 22 ax g x x 當(dāng)時 單調(diào)減函數(shù) 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以當(dāng)時 取得最大 最大值為 1 x a g x 1 ga a 所以ba 當(dāng)時 此時在區(qū)間恒成立 所以在區(qū)間上單調(diào)01aaba 01a1 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 討論 f x 的單調(diào)性 若當(dāng) x 0 時 f x 0 恒成立 求 a 的取值范圍 解析解析本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力 涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性 第一問關(guān)鍵是通過本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力 涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性 第一問關(guān)鍵是通過分分 析導(dǎo)函數(shù) 從而確定函數(shù)的單調(diào)性 第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值 由恒成立條件得出不等式條件析導(dǎo)函數(shù) 從而確定函數(shù)的單調(diào)性 第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值 由恒成立條件得出不等式條件從從 而求出的范圍 而求出的范圍 解析 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由知 當(dāng)時 故在區(qū)間是增函數(shù) 1 a2 xf xf 2 11第 11 頁 共 50 頁 當(dāng)時 故在區(qū)間是減函數(shù) ax22 0 0 xf xf 2 a 綜上 當(dāng)時 在區(qū)間和是增函數(shù) 在區(qū)間是減函數(shù) 1 a xf 2 2 a 2 2 a II 由 I 知 當(dāng)時 在或處取得最小值 0 x xfax2 0 x aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假設(shè)知 即解得1 a 0 0 0 2 1 f af a 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 故的取值范圍是 1 6 a 23 2009 廣東卷 理 本小題滿分 14 分 已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行 且在處取得極小值 yg x 2yx yg x 1x 設(shè) 1 0 mm g x f x x 1 若曲線上的點到點的距離的最小值為 求的值 yf x P 0 2 Q2m 2 如何取值時 函數(shù)存在零點 并求出零點 k kR yf xkx 解析 1 依題可設(shè) 則 1 1 2 mxaxg0 aaaxxaxg22 1 2 又的圖像與直線平行 gx 2yx 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 設(shè) 則 oo P x y 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 12第 12 頁 共 50 頁 當(dāng)且僅當(dāng)時 取得最小值 即取得最小值 2 0 2 2 0 2 x m x 2 PQ PQ2 當(dāng)時 解得0 m2 222 m12 m 當(dāng)時 解得0 若 0m 1 1k m 函數(shù)有兩個零點 即 yfxkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 若 0m 1 1k m 0m 1 1k m 0m f x 本小題主要考查函數(shù)的定義域 利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性 考查分類討論的思想方法和運算 求解的能力 本小題滿分 12 分 13第 13 頁 共 50 頁 解析的定義域是 0 f x 2 22 22 1 axax fx xxx 設(shè) 二次方程的判別式 2 2g xxax 0g x 2 8a 當(dāng) 即時 對一切都有 此時在上是增函數(shù) 2 80a 02 2a 0fx f x 0 當(dāng) 即時 僅對有 對其余的都有 2 80a 2 2a 2x 0fx 0 x 此時在上也是增函數(shù) 0fx f x 0 當(dāng) 即時 2 80a 2 2a 方程有兩個不同的實根 0g x 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx 此 時在上 單 調(diào) 遞 增 在是 上 單 調(diào) 遞 減 在 f x 2 8 0 2 aa 22 88 22 aaaa 上單調(diào)遞增 2 8 2 aa 25 2009安徽卷文 本小題滿分 14 分 已知函數(shù) a 0 討論的單調(diào)性 設(shè) a 3 求在區(qū)間 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然對數(shù)的底數(shù) 思路 由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性 同時要注意對參數(shù)的討論 即不能漏掉 也不能重復(fù) 第二問就根據(jù) 第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)在上的值域 f x 2 1 e 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 單調(diào)遞增 Z 極 大 單調(diào)遞 減 極 小 單調(diào) 遞增 14第 14 頁 共 50 頁 當(dāng) 即時 恒成立 2 80a 02 2a2 2a 由得或 2 210tat 2 8 4 aa t 或或 2 8 0 4 aa x 0 x 又由得 2 20tat 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 綜上 當(dāng)時 在上都是增函數(shù) 02 2a f x 0 0 及 當(dāng)時 在上是減函數(shù) 2 2a f x 22 88 22 aaaa 在上都是增函數(shù) 22 88 0 0 22 aaaa 及 2 當(dāng)時 由 1 知在上是減函數(shù) 3a f x 1 2 在上是增函數(shù) 2 2 e 又 1 0 2 23 20ffln 函數(shù)在上的值域為 f x 2 1 e 2 2 2 23 n2 5le e 26 2009 江西卷文 本小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù) 32 9 6 2 f xxxxa 1 對于任意實數(shù) 恒成立 求的最大值 x fxm m 2 若方程有且僅有一個實根 求的取值范圍 0f x a 解析 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因為 即恒成立 x fxm 2 39 6 0 xxm 15第 15 頁 共 50 頁 所以 得 即的最大值為81 12 6 0m 3 4 m m 3 4 2 因為 當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時 1x12x 0fx 0fx 所以 當(dāng)時 取極大值 1x f x 5 1 2 fa 當(dāng)時 取極小值 2x f x 2 2fa 故當(dāng)或時 方程僅有一個實根 解得或 2 0f 1 0f 0f x 2a 27 2009 江西卷理 本小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù) x e f x x 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 f x 1 若 求不等式的解集 0k 1 0fxkx f x 解析 1 由 得 22 111 xxx x fxeee xxx 0fx 1x 因為 當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時 0 x 0fx 01x 0fx 0fx 所以的單調(diào)增區(qū)間是 單調(diào)減區(qū)間是 f x 1 0 0 1 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 當(dāng)時 解集是 01k 1 1 xx k 1 1 xx k mRxxmxxxf其中 當(dāng)曲線處的切線斜率時 1 m 在點 11 fxfy 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 已知函數(shù)有三個互不相同的零點 0 且 若對任意的 xf 21 x x 21 xx 16第 16 頁 共 50 頁 答案 1 1 2 在和內(nèi)減函數(shù) 在內(nèi)增函數(shù) 函數(shù)在 xf 1 m 1 m 1 1 mm xf 處取得極大值 且 mx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函數(shù)在處取得極小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析解析當(dāng)1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故時 所以曲線處的切線斜率為 1 在點 11 fxfy 2 解析 令 得到12 22 mxxxf0 xfmxmx 1 1 因為mmm 11 0 所以 當(dāng) x 變化時 的變化情況如下表 xfxf 在和內(nèi)減函數(shù) 在內(nèi)增函數(shù) xf 1 m 1 m 1 1 mm 函數(shù)在處取得極大值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函數(shù)在處取得極小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解析由題設(shè) 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程 0 由兩個相異的實根 故 且 1 3 1 22 mxx 21 x x3 21 xx0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 xxxxxx故所以 若 而 不合題意0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx則0 1 xf 若則對任意的有 1 21 xx 0 3 1 1 2 mf 3 3 3 3 綜上 對任意的 b c 都有 1 2 M 而當(dāng) 時 在區(qū)間上的最大值 1 0 2 bc 2 1 2 g xx 1 1 1 2 M 故對任意的 b c 恒成立的 k 的最大值為MK 1 2 31 2009四川卷文 本小題滿分 12 分 已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是 32 22f xxbxcx x510yx I 求函數(shù)的解析式 f x 18第 18 頁 共 50 頁 II 設(shè)函數(shù) 若的極值存在 求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值 1 3 g xf xmx g xm g x 時對應(yīng)的自變量的值 x 解析解析 I 由已知 切點為 2 0 故有 即 2 0f 430bc 又 由已知得 2 34fxxbxc 2 1285fbc 870bc 聯(lián)立 解得 1 1bc 所以函數(shù)的解析式為 4 分 32 22f xxxx II 因為 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 當(dāng)函數(shù)有極值時 則 方程有實數(shù)解 0 2 1 3410 3 xxm 由 得 4 1 0m 1m 當(dāng)時 有實數(shù) 在左右兩側(cè)均有 故函數(shù)無極值1m 0g x 2 3 x 2 3 x 0g x g x 當(dāng)時 有兩個實數(shù)根1m 0g x 情況如下表 12 11 21 21 33 xmxm g x g x 所以在時 函數(shù)有極值 1 m g x 當(dāng)時 有極大值 當(dāng)時 有極小值 1 21 3 xm g x 1 21 3 xm g x 12 分 32 2009 全國卷 理 本小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù)有兩個極值點 且 2 1f xxaInx 12 xx 12 xx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 極大值 極小值 19第 19 頁 共 50 頁 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 其對稱軸為 由題意知是方程的兩個均大于的不 2 22g xxxa 1 2 x 12 xx 0g x 1 相等的實根 其充要條件為 得 480 1 0 a ga 1 0 2 a 1 1 x 當(dāng)時 在內(nèi)為減函數(shù) 12 xx x 0 fxf x 2 x II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 則 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 當(dāng)時 在單調(diào)遞增 1 0 2 x 0 hxh x 1 0 2 當(dāng)時 在單調(diào)遞減 0 x 0h x 當(dāng)時 故 22 122 4 In f xh x 33 2009 湖南卷文 本小題滿分 13 分 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x 2 對稱 32 f xxbxcx 求 b 的值 若在處取得最小值 記此極小值為 求的定義域和值域 f xxt g t g t 解 因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x 2 對稱 2 32fxxbxc fx 所以 于是 2 2 6 b 6 b 由 知 32 6f xxxcx 22 3123 2 12fxxxcxc 當(dāng) c12 時 此時無極值 0fx f x 20第 20 頁 共 50 頁 ii 當(dāng) c f x 1 x 當(dāng) x 時 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) 1 x 2 x 0fx 0fx f x 2 x 所以在處取極大值 在處取極小值 f x 1 xx 2 xx 因此 當(dāng)且僅當(dāng)時 函數(shù)在處存在唯一極小值 所以 12c 于是的定義域為 由得 g t 2 2 3120f tttc 2 312ctt 于是 3232 626 2 g tf tttctttt 當(dāng)時 所以函數(shù)2t 2 6126 2 0 g ttttt g t 在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) 故的值域為 2 g t 8 35 2009福建卷理 本小題滿分 14 分 已知函數(shù) 且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f 1 試用含的代數(shù)式表示 b 并求的單調(diào)區(qū)間 a f x 2 令 設(shè)函數(shù)在處取得極值 記點 M N P 1a f x 1212 x x xx 1 x 1 f x 2 x 2 f x m f m 請仔細(xì)觀察曲線在點 P 處的切線與線段 MP 的位置變化趨勢 并解釋以下問題 12 xmx f x I 若對任意的 m x 線段 MP 與曲線f x 均有異于 M P 的公共點 試確定 t 的最小值 并證明 1 x 2 你的結(jié)論 II 若存在點 Q n f n xn1 時 121a 1x 0fx f x 增區(qū)間為 R 當(dāng)時 同理可得 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間1a f x 1 12 a 為 1 1 2 a 綜上 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間為 1a f x 1 2 a 1 12 1 a 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 R 1a f x 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間為 1a 2 2 2 0gm 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因為 所以 m 的取值范圍為 2 3 13m 從而滿足題設(shè)條件的 r 的最小值為 2 36 2009 遼寧卷文 本小題滿分 12 分 設(shè) 且曲線 y f x 在 x 1 處的切線與 x 軸平行 2 1 x f xe axx 2 求 a 的值 并討論 f x 的單調(diào)性 1 證明 當(dāng) 0 f cos f sin 2 2 時 解析 有條件知 2 121 x fxe axxax 故 2 分于是 1 0f 3201aaa 2 2 2 1 xx fxexxexx 故當(dāng)時 0 2 1 x fx 當(dāng)時 0 2 1 x fx 從而在 單調(diào)減少 在單調(diào)增加 6 分 f x 2 1 2 1 由 知在單調(diào)增加 故在的最大值為 f x 0 1 f x 0 1 1 fe 最小值為 0 1f 從而對任意 有 10 分 1 x 2 x 0 1 12 12f xf xe 而當(dāng)時 0 2 cos sin 0 1 從而 12 分 cos sin 2ff 1 討論函數(shù)的單調(diào)性 f x 24第 24 頁 共 50 頁 2 證明 若 則對任意 x x xx 有 5a 解析 1 的定義域為 f x 0 2 分 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx i 若即 則11a 2a 2 1 x fx x 故在單調(diào)增加 f x 0 ii 若 而 故 則當(dāng)時 1 1a 12a 1 1 xa 0fx 故在單調(diào)減少 在單調(diào)增加 f x 1 1 a 0 1 1 a iii 若 即 同理可得在單調(diào)減少 在單調(diào)增加 1 1a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a II 考慮函數(shù) g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 則 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a 12 0 xx 12 0g xg x 故 當(dāng)時 有 1212 0f xf xxx 12 12 1 f xf x xx 12 0 xx 38 2009寧夏海南卷理 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 32 3 x f xxxaxb e 1 如 求的單調(diào)區(qū)間 3ab f x 1 若在單調(diào)增加 在單調(diào)減少 證明 f x 2 2 25第 25 頁 共 50 頁 6 21 解析 當(dāng)時 故3ab 32 333 x f xxxxe 322 333 363 xx fxxxxexxe 3 9 x exx 3 3 x x xxe 當(dāng)3x 或 03 0 xfx 時 當(dāng)303 0 xxfx 或時 從而單調(diào)減少 3 0 3 303f x 在單調(diào)增加 在 3223 3 36 6 xxx fxxxaxb exxa eexaxba 由條件得 從而 3 2 0 22 6 0 4 fababa 即故 3 6 42 x fxexaxa 因為所以 0 ff 3 6 42 2 xaxaxxx 2 2 xxx 將右邊展開 與左邊比較系數(shù)得 故2 2 a 2 4124 a 又由此可得 2 2 0 2 40 即6 a 39 2009陜西卷文 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 3 31 0f xxaxa 求的單調(diào)區(qū)間 f x 若在處取得極值 直線 y my 與的圖象有三個不同的交點 求m 的取值范圍 f x1x yf x 26第 26 頁 共 50 頁 解析 1 22 333 fxxaxa 當(dāng)時 對 有0a 當(dāng)時 的單調(diào)增區(qū)間為0a 0fx xa 由解得 0fx axa f x aa f x aa 2 因為在處取得極大值 f x1x 所以 2 1 3 1 30 1 faa 所以 3 2 31 33 f xxxfxx 由解得 0fx 12 1 1xx 由 1 中的單調(diào)性可知 在處取得極大值 f x f x1x 1 1f 在處取得極小值 1x 1 3f 因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點 又 ym yf x 3 193f 結(jié)合的單調(diào)性可知 的取值范圍是 f xm 3 1 40 2009 陜西卷理 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 其中 1 ln 1 0 1 x f xaxx x 0a 若在 x 1 處取得極值 求 a 的值 f x 求的單調(diào)區(qū)間 f x 若的最小值為 1 求 a 的取值范圍 f x 解 2 22 22 1 1 1 1 aaxa fx axxaxx 在 x 1 處取得極值 解得 f x 2 1 0 120 faa g即1 a 2 2 2 1 1 axa fx axx 27第 27 頁 共 50 頁 0 0 xa 10 ax 當(dāng)時 在區(qū)間 的單調(diào)增區(qū)間為2a 0 0 fx 上 f x 0 當(dāng)時 02a 解得由解得 aa f x aa 2 2 的單調(diào)減區(qū)間為 0 單調(diào)增區(qū)間為 當(dāng)時 由 知 2a 0 1 f xf 的最小值為 當(dāng)時 由 知 在處取得最小值02a f x 2a x a 2 0 1 a ff a g x 28第 28 頁 共 50 頁 當(dāng)時 有兩個實數(shù)根情況如下1m1 證明對任意的 c 都有 M 2 若 M K 對任意的 b c 恒成立 試求 k 的最大值 本小題主要考察函數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識 考察綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理 論證的能力和份額類討論的思想 滿分 14 分 I 解析 由在處有極值 2 2fxxbxc Q f x1x 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得或 1 1 b c 1 3 b c 若 則 此時沒有極值 1 1bc 22 21 1 0fxxxx f x 若 則1 3bc 2 23 1 1 fxxxxx 當(dāng)變化時 的變化情況如下表 x f x fx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 極大值 極小值 x 3 3 3 1 1 1 29第 29 頁 共 50 頁 當(dāng)時 有極大值 故 即為所求 1x f x 4 3 1b 3c 證法 1 22 g xfxxbbc 當(dāng)時 函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外 1b yfx xb 1 1 在上的最值在兩端點處取得 fx 1 1 故應(yīng)是和中較大的一個M 1 g 1 g 即2 1 1 12 12 4 4 Mggbcbcb 2M 證法 2 反證法 因為 所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外 1b yfx xb 1 1 在上的最值在兩端點處取得 fx 1 1 故應(yīng)是和中較大的一個M 1 g 1 g 假設(shè) 則2M 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 將上述兩式相加得 導(dǎo)致矛盾 4 1 2 12 4 4bcbcb 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 當(dāng)時 由 可知 1b 2M 2 當(dāng)時 函數(shù) 的對稱軸位于區(qū)間內(nèi) 1b yfx xb 1 1 此時 max 1 1 Mggg b 由有 1 1 4 ffb 2 1 1 0fbfb m 若則 10 b 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb fx 0 0 f x 極小值 12 Z 極大值 4 3 30第 30 頁 共 50 頁 若 則01b 綜上 對任意的 都有bc 1 2 M 而當(dāng)時 在區(qū)間上的最大值 1 0 2 bc 2 1 2 g xx 1 1 1 2 M 故對任意的 恒成立的的最大值為 Mk bck 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 當(dāng)時 由 可知 1b 2M 2 當(dāng)時 函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi) 1b yfx xb 1 1 此時 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 12 12 2 Mggg hbcbcbc 即 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 1 2 M 下同解法 1 43 2009寧夏海南卷文 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 3223 39f xxaxa xa 1 設(shè) 求函數(shù)的極值 1a f x 2 若 且當(dāng)時 12a 恒成立 試確定的取值范圍 1 4 a 1 4xa xf a 請考生在第 22 23 24 三題中任選一題作答 如果多做 則按所做的第一題計分 作答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑 21 解析 當(dāng) a 1 時 對函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 得 f x 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表討論的變化情況 f xfx 31第 31 頁 共 50 頁 所以 的極大值是 極小值是 f x 1 6f 3 26 f 的圖像是一條開口向上的拋物線 關(guān)于 x a 對稱 22 369fxxaxa 若上是增函數(shù) 從而 1 1 4 afx1 則不恒成立 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故當(dāng)時 所以使恒成立的 a 的取值范圍是 12 1 4 fxa xa 1 4 4 5 44 2009天津卷理 本小題滿分 本小題滿分 12121212 分 分 已知函數(shù)其中 22 23 x f xxaxaa exR aR 1 當(dāng)時 求曲線處的切線的斜率 0a 1 1 yf xf 在點 2 當(dāng)時 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 2 3 a f x 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù)的運算 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識 考查運 算能力及分類討論的思想方法 滿分 12 分 I 解析 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 時 當(dāng) 3 1 1 efxfy處的切線的斜率為在點所以曲線 II 42 2 22x eaaxaxxf 解 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x Z 極大值 6 極小值 26 Z 32第 32 頁 共 50 頁 以下分兩種情況討論 1 則 當(dāng)變化時 的變化情況如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf 22 2 2 內(nèi)是減函數(shù) 內(nèi)是增函數(shù) 在 在所以 aaaaxf 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且處取得極大值在函數(shù) 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且處取得極小值在函數(shù) 2 則 當(dāng)變化時 的變化情況如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf 內(nèi)是減函數(shù) 內(nèi)是增函數(shù) 在 在所以 22 2 2 aaaaxf 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且處取得極大值在函數(shù) 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且處取得極小值在函數(shù) 45 2009四川卷理 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 0 1aa 且 log 1 x a f xa I 求函數(shù)的定義域 并判斷的單調(diào)性 f x f x II 若 lim f n n n a nN aa 求 III 當(dāng) 為自然對數(shù)的底數(shù) 時 設(shè) 若函數(shù)的極值存在 ae e 2 1 1 f x h xexm h x 求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值 m h x 本小題主要考查函數(shù) 數(shù)列的極限 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識 考查分類整合思想 推理和運算能力 解析 由題意知10 x a 當(dāng)01 01 0af xaf x 時 的定義域是 當(dāng)時 的定義域是 a2 a2 22 aa 2 a 2a 0 0 極 大值 極 小值 2 a 2 a aa22 a2 a2 0 0 極 大值 極 小值 33第 33 頁 共 50 頁 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 當(dāng)01 0 10 0 xx axaa 時 因為故f x 0 因為 n 是正整數(shù) 故 0 a 1 1 n a 所以 11 limlim f nn nn nn aa aaaaa 22 1 0 21 xx h xexmxh xexxm 當(dāng)時 有兩個實根01m 0h x 12 1 1xm xm 當(dāng) x 變化時 的變化情況如下表所示 h x h x 的極大值為 的極小值為 h x 1 2 1 m em h x 1 2 1 m em 當(dāng)時 在定義域內(nèi)有一個實根 1m 0h x 1xm 同上可得的極大值為 h x 1 2 1 m em 綜上所述 時 函數(shù)有極值 0 m h x 當(dāng)時的極大值為 的極小值為01m h x 1 2 1 m em h x 1 2 1 m em 當(dāng)時 的極大值為1m h x 1 2 1 m em 46 2009福建卷文 本小題滿分 12 分 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 0 x h x 0 0 h x 極大值 極小值 34第 34 頁 共 50 頁 已知函數(shù)且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f I 試用含的代數(shù)式表示 ab 求的單調(diào)區(qū)間 f x 令 設(shè)函數(shù)在處取得極值 記點 證明 1a f x 1212 x x xx121a 當(dāng)變化時 與的變化情況如下表 x fx f x 由此得 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間為 f x 12 a 1 12 1 a 由時 此時 恒成立 且僅在處 故函數(shù)的單1a 121a 0fx 1x 0fx f x 調(diào)區(qū)間為 R 當(dāng)時 同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間1a f x 1 12 a 為 1 1 2 a 綜上 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間為 1a f x 1 2 a 1 12 1 a 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 R 1a f x 當(dāng)時 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和 單調(diào)減區(qū)間為1a 0 x yf x 1 1 f 線 210 xy 求的值 a b 若函數(shù) 討論的單調(diào)性 x e g x f x g x 解 因 2 0 2f xaxbxk kfxaxb 故 又在 x 0 處取得極限值 故從而 f x 0 fx 0b 由曲線 y 在 1 f 1 處的切線與直線相互垂直可知 f x210 xy 該切線斜率為 2 即 1 2 f 有2a 2 從而a 1 由 知 2 0 x e g xk xk 2 22 2 0 x exxk g xk xk 令 2 0 20g xxxk 有 1 當(dāng)440 k 1時 g x 0在R上恒成立 故函數(shù)g x 在R上為增函數(shù) 2 當(dāng)440 k 即當(dāng)k 1時 2 22 1 0 0 x ex g xx xk 37第 37 頁 共 50 頁 K 1 時 g x 在 R 上為增函數(shù) 3 方程有兩個不相等實根440 k 即當(dāng)0 k 是故在 上為增 當(dāng)時 故上為減函數(shù)11 11xkk 0 g x 11g xk 在 50 2009 重慶卷文 本小題滿分 12分 問 7分 問 5 分 已知為偶函數(shù) 曲線過點 2 f xxbxc yf x 2 5 g xxa f x 求曲線有斜率為 0 的切線 求實數(shù)的取值范圍 yg x a 若當(dāng)時函數(shù)取得極值 確定的單調(diào)區(qū)間 1x yg x yg x 解 為偶函數(shù) 故即有Q 2 f xxbxc fxf x 解得 22 xbxcxbxc 0b 又曲線過點 得有 yf x 2 5 2 25 c 1c 從而 曲線有斜率為 0 的Q 32 g xxa f xxaxxa 2 321g xxax Q yg x 切線 故有有實數(shù)解 即有實數(shù)解 此時有解得 0g x 2 3210 xax 2 4120a V 所以實數(shù)的取值范圍 33 a a 33 a 因時函數(shù)取得極值 故有即 解得1x yg x 1 0g 3210a 2a 又令 得 2 341 31 1 g xxxxx 0g x 12 1 1 3 xx 當(dāng)時 故在上為增函數(shù) 1 x 0g x g x 1 當(dāng)時 故在上為減函數(shù) 1 1 3 x 0g x g x 1 3 38第 38 頁 共 50 頁 B B B B 組組組組 2005200520052005 2008200820082008 年高考題年高考題年高考題年高考題 一 選擇題一 選擇題 1 2008 年全國一 7 設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直 1 1 x y x 3 2 10axy 則 a A 2B C D 1 2 1 2 2 答案答案D 2 2008 年 湖北卷 7 若上是減函數(shù) 則的取值 2 1 ln 2 2 f xxbx 在 1 b 范圍是 A B 1 1 C D 1 1 答案答案C 3 2008 年福建卷 12 已知函數(shù) y f x y g x 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖 那么 y f x y g x 的圖象 可能是 答案答案D 4 2008 年遼寧卷 6 設(shè) P 為曲線 C 上的點 且曲線 C 在點 P 處切線傾 2 23yxx 斜角的取值范圍為 則點 P 橫坐標(biāo)的取值范圍為 0 4 A B C D 1 1 2 10 01 1 1 2 答案答案A 5 2007 年福建理 11 文 已知對任意實數(shù) 有 且x fxf xgxg x 0 x 時 則時 0 0fxg x 0 x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x x 0f x 則的最小值為 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 答案答案C 8 2007 年江西理 9 設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增 則是的 2 eln21 x pf xxxmx 0 5q m pq A 充分不必要條件B 必要不充分條件 C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 答案答案B 9 2007 年遼寧理 12 已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù) 如果與僅 f x g xR R R R f x g x 當(dāng)時的函數(shù)值為 0 且 那么下列情形不可能出現(xiàn)的是 0 x f xg x A 0 是的極大值 也是的極大值 f x g x B 0 是的極小值 也是的極小值 f x g x C 0 是的極大值 但不是的極值 f x g x D 0 是的極小值 但不是的極值 f x g x 答案答案C 10 20062006 年天津卷 年天津卷 函