2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷含答案解析（8）

2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷（8）（本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）第I卷（選擇題)一、 單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則（ ）AB CD【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由交集定義求得結(jié)果.【詳解】 故選：【點睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.2已知復(fù)數(shù)滿足 (其中為虛數(shù)單位)，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡為，再求模長即可.【詳解】，則，.故選【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算，同時考查了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于簡單題.3已知向量,向量,向量滿足,則的最大值為( )ABCD【答案】D【解析】【分析】設(shè),則,即可求得,將的起點放到坐標(biāo)原點,則終點在以為圓心,半徑的圓上,即可求得的最大值.【詳解】 設(shè), 故,即將的起點放到坐標(biāo)原點,則終點在以為圓心,半徑的圓上.的最大值即:圓心到原點的距離+半徑,即,故選:D.【點睛】本題主要考查向量的模的最值問題,根據(jù)向量模的幾何意義,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題型.4下列四個命題：函數(shù)的最大值為1；“，”的否定是“”；若為銳角三角形，則有；“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件其中錯誤的個數(shù)是( )A1B2C3D4【答案】A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函數(shù)的值域判斷;寫出全稱命題的否定判斷;由銳角三角形的定義和正弦函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷;由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：由,得的最大值為,故錯誤;“,”的否定是“”,故正確;為銳角三角形,則，在上是增函數(shù),同理可得，,故正確;,函數(shù)的零點是,0,結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸,可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸,可得,“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件,故正確其中錯誤的個數(shù)是1.故選:A.【點睛】本題考查命題的真假判斷,考查含有一個量詞的命題的否定,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),以及充分必要條件的判斷,是中檔題5已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為（）A5B4C3D2【答案】A【解析】【分析】由已知條件，推導(dǎo)出,設(shè)，推導(dǎo)出，得到的最小值是，由此能求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列的通項公式為，前n項和為，,設(shè),則是遞增數(shù)列，的最小值是，恒成立，解得，m所能取得的最大整數(shù)為5，故選：A【點睛】本題主要考查了數(shù)列前n項和公式的求法和應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于難題6已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點，這三為點的橫坐標(biāo)從小到大分別為，則的值為ABCD【答案】C【解析】【分析】函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點，畫出圖象，且在區(qū)間內(nèi)相切，其切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，從而得到結(jié)論【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，直線過，則，所以。所以函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點如圖所示，且在區(qū)間內(nèi)相切，其切點為，由于，即，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖形.7已知函數(shù)f（x）=，則=AB2C1D3【答案】A【解析】【分析】先求出f（）=3-4=-，從而=f（-），由此能求出結(jié)果【詳解】解：函數(shù)f（x）=，f（）=3-4=，=f（）=-1故選：A【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用8已知雙曲線：的左右焦點分別為、，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若，的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】連接得四邊形為平行四邊形；根據(jù)雙曲線定義及的面積求得，再在中應(yīng)用余弦定理即可求得關(guān)系，進(jìn)而利用雙曲線中的關(guān)系求得漸近線方程。【詳解】根據(jù)題意，連接得四邊形為平行四邊形，幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)，則的面積為，則由三角形面積公式可得，化簡得 解得，（舍）所以在中， 由余弦定理可得，即化簡可得 ，由雙曲線中可得 即 所以漸近線方程為所以選D【點睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，漸近線方程求法，余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題。9的展開式中項的系數(shù)為-8，則a的值為（ ）A2B-2CD【答案】B【解析】【分析】利用二項展開式，得到項，即可得到a的值.【詳解】解：的展開式中，項為，故選：B.【點睛】本題考查二項式定理，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10新高考的改革方案開始實施后，某地學(xué)生需要從化學(xué)，生物，政治，地理四門學(xué)科中選課，每名同學(xué)都要選擇其中的兩門課程.已知甲同學(xué)選了化學(xué)，乙與甲沒有相同的課程，丙與甲恰有一門課相同，丁與丙也沒有相同課程.則以下說法正確的是（）A丙沒有選化學(xué)B丁沒有選化學(xué)C乙丁可以兩門課都相同D這四個人里恰有2個人選化學(xué)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意合理推理，并作出合理的假設(shè)，最終得出正確結(jié)論【詳解】根據(jù)題意可得，甲選擇了化學(xué)，乙與甲沒有相同課程，乙必定沒選化學(xué)；又丙與甲有一門課相同，假設(shè)丙選擇了化學(xué)，而丁與丙無相同課程，則丁一定沒選化學(xué)； 若丙沒選化學(xué)，又丁與丙無相同課程，則丁必定選擇了化學(xué)綜上，必定有甲，丙或甲，丁這兩種情況下選擇化學(xué)，故可判斷A，B不正確，D正確。假設(shè)乙丁可以兩門課都相同，由上面分析可知，乙丁都沒有選擇化學(xué)，只能從其它三科中選兩科。不妨假設(shè)選的是生物、政治，則甲選的是化學(xué)和地理，而丙和甲共同選擇了化學(xué)，另一門課丙只能從生物、政治中選一科，這樣與“丁與丙也沒有相同課程”矛盾，故假設(shè)不成立，因此C不正確?！军c睛】本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力。11若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：線段長度的取值范圍是；存在點使得平面；存在點使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)為，求出點、的坐標(biāo)，然后利用向量法來判斷出命題的正誤.【詳解】取的中點，過點在平面內(nèi)作，再過點在平面內(nèi)作，垂足為點.在正方體中，平面，平面，又，平面，即，同理可證，則，.以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.對于命題，則，則，所以，命題正確；對于命題，則平面的一個法向量為，令，解得，所以，存在點使得平面，命題正確；對于命題，令，整理得，該方程無解，所以，不存在點使得，命題錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、線線關(guān)系的判斷，同時也涉及了立體幾何中的新定義，利用空間向量法來處理是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.12已知函數(shù)，若（），則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】設(shè)x2x14，將已知轉(zhuǎn)為f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）f（x）+2mx，由函數(shù)單調(diào)性定義可知函數(shù)g（x）在4，+）上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得a的取值范圍【詳解】由已知不妨設(shè)x2x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1，令g（x）f（x）+2mx，即g（x2）g（x1）,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知g（x）在4，+）上單調(diào)遞增又函數(shù)g（x），g（x）2x+2m，即g（x）0在4，+）恒成立，即x+m0在4，+）恒成立，變量分離得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，又h(x)在4，+）上單調(diào)遞增，則=h(4)=4+，所以-m4+，由已知使-m4+成立，即,即，故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想.第II卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。 13設(shè),是正方體的棱和的中點,在正方體的條面對角線中,與截面成角的對角線的數(shù)目是_.【答案】【解析】【分析】由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以為原點建系,正方體三邊為坐標(biāo)軸,求出平面的法向量,求解面對角線和的夾角,即可求得答案.【詳解】以點為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸設(shè)正方體棱長為2,如圖:則 , 當(dāng)面對角線與截面成角, 需保證直線與法向量的夾角為,即其余弦值設(shè)平面的法向量 可得: ,取 ,則 當(dāng)兩條面對角線平行時,求解其中一條與面的法向量夾角即可. 平面中與平行,故不符合題意.綜上所述,符合題意的面對角線為:共條.故答案為:.【點睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)題意畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.對于立體幾何中角的計算問題,可以利用空間向量法,利用向量的夾角公式求解,屬于基礎(chǔ)題.14已知函數(shù)且滿足，若是的反函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】首先判斷，然后求其反函數(shù)，最后再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】且是單調(diào)函數(shù)，且 單調(diào)遞減，且， ， ，解得： ，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題考查了求指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，以及解對數(shù)不等式，意在考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型，本題的易錯點是容易忽略函數(shù)的定義域.15的展開式中的項的系數(shù)等于_ .【答案】.【解析】【分析】由，于是求項的系數(shù)轉(zhuǎn)化為展開式中的系數(shù)，然后利用二項式定理求出即可.【詳解】，要求的展開式中的項的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為求展開式中的系數(shù)，展開式的通項為，令，得，因此，的展開式中的項的系數(shù)為，故答案為.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數(shù)，本題將二項式進(jìn)行了化簡，將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，簡化了計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，考查計算能力，屬于中等題.16若定義域均為D的三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：對任意xD，點（x，g（x）與點（x，h（x）都關(guān)于點（x，f（x）對稱，則稱h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”，且h（x）g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_【答案】 【解析】【分析】根據(jù)對稱函數(shù)的定義，結(jié)合h（x）g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離d1，利用點到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】xD，點（x，g（x） 與點（x，h（x）都關(guān)于點（x，f（x）對稱，g（x）+h（x）=2f（x），h（x）g（x）恒成立，2f（x）=g（x）+h（x）g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的圖象， 則g（x）在直線f（x）的下方或重合，則直線f（x）的截距b0，且原點到直線y=2x+b的距離d1，d=b或（舍去）即實數(shù)b的取值范圍是，+），故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)對稱函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，有一定的難度三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17某生態(tài)農(nóng)莊有一塊如圖所示的空地，其中半圓O的直徑為300米，A為直徑延長線上的點，米，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等腰直角，其中BC為斜邊若；，求四邊形OACB的面積；現(xiàn)決定對四邊形OACB區(qū)域地塊進(jìn)行開發(fā)，將區(qū)域開發(fā)成垂釣中心，預(yù)計每平方米獲利10元，將區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預(yù)計每平方米獲利20元，則當(dāng)為多大時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大？【答案】(1)平方米；(2)【解析】【分析】計算時和的面積，求和得出四邊形OABC的面積；設(shè)，求出和的面積和，得出目標(biāo)函數(shù)的解析式，再求該函數(shù)取得最大值時對應(yīng)的值【詳解】當(dāng)時，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四邊形OABC的面積為平方米；設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨設(shè)垂釣中心和親子中心獲利之和為y元，則有；化簡得；因為，所以當(dāng)時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大【點睛】本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力是中檔題18如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面底面，分別為的中點，點在線段上.（1）求證：平面；（2）當(dāng)時，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析 (2)24【解析】【分析】（1）證明得到證明底面，可得然后證明平面（2）證明底面，然后求解四棱錐的體積【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，因為，所以由，分別為，的中點，得，所以因為側(cè)面底面，且，所以底面又因為底面，所以 又因為，平面，平面，所以平面 （2）解：在中，過作交于點，由，得，又因為，所以，因為底面，所以底面，所以四棱錐的體積【點睛】本題考查直線與平面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題19某市城市總體規(guī)劃（年）提出到年實現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為）、良好小區(qū)（指數(shù)為）、中等小區(qū)（指數(shù)為）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為）個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù)：注：每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重，、為該小區(qū)四個方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個方面的指標(biāo)值為之間的一個數(shù)值）.現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（）分別判斷、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；（）對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取個小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的個小區(qū)中再隨機(jī)地選取個小區(qū)做深入調(diào)查，記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（）、小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；見解析；（）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】【分析】（）計算出每個小區(qū)的指數(shù)值，根據(jù)判斷三個小區(qū)是否為優(yōu)質(zhì)小區(qū)；（）先求出個小區(qū)中優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)，可得出隨機(jī)變量的可能取值，然后利用超幾何分布的概率公式計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式可計算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】（）小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；小區(qū)的指數(shù)，所以小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；（）依題意，抽取個小區(qū)中，共有優(yōu)質(zhì)小區(qū)個，其它小區(qū)個. 依題意的所有可能取值為、.，. 則的分布列為： .【點睛】本題考查概率統(tǒng)計綜合問題，同時也考查了超幾何分布列與數(shù)學(xué)期望的計算，解題時要結(jié)合題意得出隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20已知拋物線C的頂點在原點，且其準(zhǔn)線為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如果直線l的方程為：，且其與拋物線C交于A，B兩點，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，即可求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與y軸的交點為D，聯(lián)立直線與拋物線方程，即可求解.【詳解】（1）可設(shè)拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，則拋物線方程為；（2）聯(lián)立得，設(shè)，可得，設(shè)直線與y軸的交點為D，則，又拋物線的焦點坐標(biāo)為，則【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.21已知函數(shù)（1）若曲線在處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求實數(shù)的值；（2）若，求證：【答案】（1）或；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求出曲線在處切線，表示出切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積即可求解；（2）需證明的不等式通過作差轉(zhuǎn)化成證明，利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可得證.【詳解】（1），則為切線斜率又，切點為曲線在處切成方程為當(dāng)時，當(dāng)時，（易知）則切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為得所以或（2）法一：時，要證的不等式為，即令，則易知遞增，僅有一解且，