數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊2.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.doc

第二章 一元二次方程5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系河埠中學(xué) 王世盛一、學(xué)生知識(shí)狀況分析“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”是一元二次方程中繼“一元二次方程的解法”之后的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生已學(xué)習(xí)的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本節(jié)課的基礎(chǔ)?；诔踔腥昙?jí)學(xué)生對事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，所以在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)是從相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)入手，目的是在鞏固舊知的基礎(chǔ)上為后續(xù)學(xué)習(xí)打鋪墊，再通過計(jì)算、比較、分析、歸納發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，合作意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)知過程。根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理（韋達(dá)是法國數(shù)學(xué)家），韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一個(gè)重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級(jí)階段，運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題，如二次三項(xiàng)式的因式分解，解二元二次方程組；韋達(dá)定理對后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。同時(shí)通過韋達(dá)定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、探究精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個(gè)根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。3、會(huì)求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。4、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的研究問題的思想與方法。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入；第三環(huán)節(jié)：探究新知；第四環(huán)節(jié)：嘗試發(fā)展；第五環(huán)節(jié)：拓展創(chuàng)新；第六環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧內(nèi)容：1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a0)（板書） 2、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？ (=b2-4ac0)3、當(dāng)0，=0，0 根的情況如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶公式法解一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，有利于學(xué)生銜接前后知識(shí)，形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。效果：第一問題學(xué)生先動(dòng)筆寫在練習(xí)本上，有個(gè)別同學(xué)少了條件“a0”。后面的問題由于較簡單，學(xué)生很快回答出來，提高了學(xué)生自信心。第二環(huán)節(jié)：情景引入內(nèi)容：同學(xué)們，我們來做一個(gè)游戲，看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x+1=0目的：通過游戲入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。效果：激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心，激起了學(xué)生探究新知的興趣。自然引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的課題第三環(huán)節(jié)：探究新知內(nèi)容： 計(jì)算填表（驗(yàn)證第一環(huán)節(jié)游戲的結(jié)果）方程x1x2x1+x2x1x2x2+3x+4=06x2+x-2=02x2-3x+1=0問題：1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎？ 2、剛才我們列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，那么是不是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？3、請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：_。4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。（分小組討論以上的問題，并作出推理證明。）目的：本環(huán)節(jié)采用“實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，使學(xué)生既動(dòng)手、動(dòng)腦，又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。效果：在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快口完成了表格，為解決后面的問題做好了準(zhǔn)備。問題串讓學(xué)生合作解決，在探究的過程中體現(xiàn)了特殊到一般，從實(shí)踐到理論的認(rèn)知規(guī)律。第四環(huán)節(jié)：嘗試發(fā)展嘗試題1：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _（3）x2+7x=-6 x1+x2= _x1x2= _（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _x1x2= _（學(xué)生迅速演算或口算）嘗試題2：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的兩個(gè)根的（1）平方和 （2）倒數(shù)和 （3）差嘗試題3：已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根及k的值。目的：“嘗試題1”是引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設(shè)計(jì)?！皣L試題2” 將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式。例如：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; “嘗試題3” 展示學(xué)生的不同作法，通過比較，學(xué)生可以體會(huì)到用根與系數(shù)的關(guān)系來解決此類問題比較簡便。效果：1、兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)中的符號(hào)是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)2、將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式時(shí)，部分學(xué)生不能熟練的掌握。3、使學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強(qiáng)擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。第五環(huán)節(jié)：拓展創(chuàng)新1已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k=0的兩個(gè)根，三角形的第三條邊c=4,求這個(gè)三角形的周長。2、變式訓(xùn)練：已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k=0的兩個(gè)根，三角形的第三條邊c能等于15嗎？3、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根為2和3.目的：1、第1、2題把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與三角形三邊關(guān)系相組合，借此鍛煉學(xué)生綜合分析、推理、歸納的能力。2、第3題已知方程的兩根求作一個(gè)一元二次方程，是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的逆用，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度。同時(shí)要注意答案的多樣性及其中的規(guī)律效果：留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考和小組合作交流的時(shí)間與空間，使學(xué)生在資源共享的同時(shí)，充分體會(huì)到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的廣泛應(yīng)用和便捷，第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c有哪些作用？二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2= ，x1x2=當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。目的：鼓勵(lì)學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)方面以及與之相聯(lián)系的知識(shí)有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識(shí)，將新知識(shí)納入到學(xué)生個(gè)人已有的知識(shí)體系中。效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能。 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)P52 A 知識(shí)技能1 B 數(shù)學(xué)理解3C、已知