北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附中2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年度高一年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷(一卷)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填在答題卡上)1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集.【詳解】，則，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.2.如果，那么下列不等式成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有正確，從而得出結(jié)論【詳解】由于，不妨令，可得 ，故不正確可得，故不正確可得，故不正確，故D正確.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法比較幾個(gè)式子在限定條件下的大小關(guān)系，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題3.下列函數(shù)中，值域?yàn)?0，+)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出每一個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)的值域判斷得解.【詳解】A. 函數(shù)的值域?yàn)椋栽撨x項(xiàng)與已知不符；B. 函數(shù)的值域?yàn)椋栽撨x項(xiàng)與已知不符；C. 函數(shù)的值域?yàn)?，所以該選項(xiàng)與已知不符；D.函數(shù)的值域?yàn)?0，+)，所以該選項(xiàng)與已知相符.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的值域的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.已知,若,則 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意，函數(shù),求得,進(jìn)而可求解的值.【詳解】由題意，函數(shù),由,即,得,則 ，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的求解問(wèn)題，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式的應(yīng)用，合理應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)，則“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)“”和“”，再利用充分必要條件的定義分析判斷得解.【詳解】由得，由得，所以“”不能推出“”，所以“”是“”的非充分條件；因?yàn)椤啊辈荒芡瞥觥啊?，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】先證明函數(shù)的單調(diào)遞增，再證明，即得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，又所以，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)定理，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】原命題等價(jià)于恒成立，故即可，解出不等式即可.【詳解】因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選B【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參問(wèn)題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)。而二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題，也可以采取以上方法，當(dāng)二次不等式在R上大于或者小于0恒成立時(shí)，可以直接采用判別式法.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因?yàn)?，所以，分段求解析式，結(jié)合圖象可得【詳解】因?yàn)椋瑫r(shí)，時(shí)，；，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，由解得或，若對(duì)任意，都有，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，屬中檔題二、填空題(本大題6小題，每小題5分，共30分，將正確答案填在答題紙上)9.已知，則值為_(kāi).【答案】24【解析】【分析】由題得即得解.【詳解】由題得.故答案為：2410.已知，是方程的兩個(gè)根，則_.【答案】32【解析】【分析】由題得的值，再把韋達(dá)定理代入得解.【詳解】由題得.所以.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的韋達(dá)定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.11.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是_【答案】【解析】【詳解】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故答案為30.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤12.已知函數(shù)，若，則x=_【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，由可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,可得（舍去），或，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.13.若二元一次方程，有公共解，則實(shí)數(shù)k=_.【答案】4【解析】【分析】由題意建立關(guān)于，的方程組，求得，的值，再代入中，求得的值【詳解】解得，代入得，解得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.14.已知R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)=2時(shí)，不等式f(x)0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題(本大題共3小題，共30分，寫(xiě)出必要的解答過(guò)程，將答案寫(xiě)在答題紙上)15.已知集合，.若，求.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）把的值代入確定出，再求出B, 求出與的交集即可；（2）根據(jù)與的并集為，確定出的范圍即可【詳解】(1) 把代入得：，或，；（2），或，且，解得：，則實(shí)數(shù)的范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集和并集運(yùn)算，考查根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函數(shù)的定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)有.判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明.求函數(shù)的解析式(寫(xiě)出分段函數(shù)的形式).【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；（2）運(yùn)用偶函數(shù)的定義，求出的表達(dá)式，即可得到的解析式【詳解】（1）函數(shù)在，上單調(diào)遞增證明：設(shè)，則，又，所以，所以則，即，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增；（2）由于當(dāng)時(shí)有，而當(dāng)時(shí)，則，即則【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的解析式的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題17.已知關(guān)于x的不等式的解集為A，且.（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）求集合A.【答案】（）；（）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（）因?yàn)?，所以?代入后，可求得的取值范圍；（）將不等式整理為，再討論以及三種情況，確定三種情況后，再求二次不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的實(shí)根，討論實(shí)根的大小，從而確定不等式的解集.試題解析：（I），當(dāng)時(shí)，有，即.，即a的取值范圍是.（II）當(dāng)a=0時(shí)，集合；當(dāng)時(shí)，集合；當(dāng)時(shí)，原不等式解集A為空集；當(dāng)時(shí)，集合；當(dāng)時(shí)，集合.考點(diǎn)：含參的一元二次不等式的解法四、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分，將正確答案的序號(hào)填在答題紙上)18.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】【詳解】由題意得，即定義域?yàn)?19.已知函數(shù)則_.【答案】【解析】【分析】先證明，求出的值，再求解.【詳解】由題得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.20.設(shè)，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】把分子展開(kāi)化為，再利用基本不等式求最值?！驹斀狻浚?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故所求的最小值為?！军c(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立。21.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類(lèi)討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果促銷(xiāo)前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).22.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意，都有，則稱(chēng)為D上的“m型增函數(shù)”，已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若為R上的“20型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的解析式，再對(duì)a分類(lèi)討論結(jié)合函數(shù)的圖像的變換分析解答得解.【詳解】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng)時(shí)，為R上的“20型增函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，由的圖象(圖1)可知，向左平移20個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象顯然在圖象的上方，顯然滿足 圖1 圖2當(dāng)時(shí)，由的圖象(圖2)向左平移20個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，要的圖象在圖象的上方，綜上可知：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的變換和函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.五、解答題(本大題共3小題，共30分，寫(xiě)出必要的解答過(guò)程，將答案寫(xiě)在答題紙上)23.已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)如果k是滿足(1)的最大整數(shù)，且方程的根是一元二次方程的一個(gè)根，求m的值及這個(gè)方程的另一個(gè)根.【答案】（1）（2）m=3，方程的另一根為4【解析】【分析】(1)解不等式即得解；（2）先根據(jù)已知求出m的值，再解方程求方程的另外一個(gè)根.【詳解】(1)由題意得，所以，解得.(2)由(1)可知k=2，所以方程的根.方程的一個(gè)根為2，解得m=3.方程，解得或.所以方程的另一根為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的情況的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.24.已知函數(shù)，其中，（1）若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的值；（2）求在區(qū)間0，1上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題得，解方程即得解；（2）把對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間0，1分三種情況討論求函數(shù)的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為.由，得.（2）函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間0，1上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0，1上的最小值為.綜上：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二次函數(shù)最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.25.對(duì)于區(qū)間a,b(ab),若函數(shù)同時(shí)滿足：在a,b上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)在a,b的值域是a,b，則稱(chēng)區(qū)間a,b為函數(shù)的“保值”區(qū)間（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由已知中的保值區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)的值域是，可得，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，列出方程組，可求解；（2）根據(jù)已知保值區(qū)間的定義，分函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減和函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，兩種情況分類(lèi)討論，即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù) 的值域是，且在的最后綜合討論結(jié)果，即可得到值域是 ，所以，所以，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故有，解得 .又 ，所以.所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為 .（2）若函數(shù)存在“保值