線性代數(shù)期末試題及參考答案.doc

線性代數(shù)期末試題及參考答案一、單項(xiàng)選擇題每小題3分，共15分）1下列矩陣中， ）不是初等矩陣。 (C (D 2設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是 ）。A） B） C） D）3設(shè)A為n階方陣，且。則 (B (C (D 4設(shè)為矩陣，則有 ）。A）若，則有無(wú)窮多解；B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量；C）若有階子式不為零，則有唯一解；D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則 ） A）A與B相似 B），但|A-B|=0 C）A=B 1 A是n階方陣，則有。 ）2 A，B是同階方陣，且，則。 4若均為階方陣，則當(dāng)時(shí)，一定不相似。 ( 5n維向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。 ）三、填空題每小題4分，共20分）1 。2為3階矩陣，且滿足3,則=_， 。3向量組，是線性 =2，則a= 。四、計(jì)算下列各題每小題9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩陣B。2.設(shè)，而，求。3.已知方程組有無(wú)窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5 A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。1）求矩陣A的特征值；2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；3）求|A+3E|。fgMAHkwHrE五證明題每題5分，共10分）。1若是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣，是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)論。2設(shè)為矩陣，且的秩為n，判斷是否為正定陣？證明你的結(jié)論。線性代數(shù)試題解答一、1F）2T） 3F）。如反例：，。4T）相似矩陣行列式值相同）5。4選D。A錯(cuò)誤，因?yàn)椋荒鼙ＷC；B錯(cuò)誤，的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，因?yàn)橛锌赡?，無(wú)解；D正確，因?yàn)?。fgMAHkwHrE5選A。A正確，因?yàn)樗鼈兛蓪?duì)角化，存在可逆矩陣，使得，因此都相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣。三、1 按第一列展開(kāi)）2 ；=）3 相關(guān)因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。 。因?yàn)?，? 。因?yàn)?，原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為，由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。fgMAHkwHrE5四、1解法一：。將與組成一個(gè)矩陣，用初等行變換求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程組有無(wú)窮多解，得，因此其系數(shù)行列式。即或。當(dāng)時(shí)，該方程組的增廣矩陣于是，方程組有無(wú)窮多解。分別求出其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，原方程組的一個(gè)特解，故時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，其通解為，fgMAHkwHrE當(dāng)時(shí)增廣矩陣，此時(shí)方程組無(wú)解。解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。由于該方程組有無(wú)窮多解，得。因此，即。求通解的方法與解法一相同。4解：首先寫(xiě)出二次型的矩陣并求其特征值。二次型的矩陣，因此得到其特征值為，。再求特征值的特征向量。解方程組，得對(duì)應(yīng)于特征值為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，。解方程組得對(duì)應(yīng)于特征值為的一個(gè)特征向量。再將，正交化為，。最后將，單位化后組成的矩陣即為所求的正交變換矩陣，其標(biāo)準(zhǔn)形為。5 解：1）由知-1，2為的特征值。，故-2為的特征值，又的秩為2，即特征值-2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故的特征值為-1，2，-2，-2。fgMAHkwHrE2）能相似對(duì)角化。因?yàn)閷?duì)應(yīng)于特征值-1，2各有一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值-2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可相似對(duì)角化。fgMAHkwHrE3）的特征值為2，5，1，1。故=10。五、1為對(duì)稱矩陣。 證明： =，所以為對(duì)稱矩陣。2為