人教A版選修22 2.1.2 演繹推理 課件（50張）.ppt

2 1 2演繹推理 1 演繹推理 1 含義 從一般性的原理出發(fā) 推出某個 下的結論 我們把這種推理稱為演繹推理 2 特點 演繹推理是由 到 的推理 特殊情況 一般 特殊 2 三段論 已知的一般原理 所研究的特殊情況 特殊情況 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 三段論 就是演繹推理 2 演繹推理的結論是一定正確的 3 演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理 解析 1 錯誤 三段論 是演繹推理的一般模式 卻不是演繹推理 2 錯誤 在演繹推理中 只有 大前提 小前提 及推理形式都正確的情況下 其結論才是正確的 3 錯誤 演繹推理是由一般到特殊的推理 答案 1 2 3 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 用演繹推理證明 y sinx是周期函數(shù) 時的大前提是 小前提是 2 正弦函數(shù)是奇函數(shù) f x sin x2 1 是正弦函數(shù) 因此f x sin x2 1 是奇函數(shù) 以上推理中 三段論 中的是錯誤的 3 推理某一 三段論 其前提之一為肯定判斷 結論為否定判斷 且推理形式正確 由此可以推斷 該三段論的另一前提必為判斷 選填 肯定 或 否定 解析 2 1 y sinx是三角函數(shù) 而三角函數(shù)是周期函數(shù) 因此大前提為三角函數(shù)為周期函數(shù) 小前提應該為y sinx是三角函數(shù) 答案 三角函數(shù)是周期函數(shù)y sinx是三角函數(shù) 2 小前提錯誤 因為f x sin x2 1 不是正弦函數(shù) 答案 小前提 3 演繹推理在大 小前提和推理形式都正確的前提下 得到結論一定正確 答案 否定 要點探究 知識點演繹推理1 演繹推理的三個特點 1 演繹推理的前提是一般性原理 演繹推理所得的結論是蘊涵于前提之中的個別 特殊事實 結論完全蘊涵于前提之中 2 在演繹推理中 前提與結論之間存在必然的聯(lián)系 只要前提是真實的 推理的形式是正確的 那么結論也必定是正確的 因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具 3 演繹推理是由一般到特殊的推理 2 對 三段論 的三點說明 1 三段論中的大前提提供了一個一般性原理 小前提指出了一種特殊情況 兩個命題結合起來 揭示了一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 從而得到了第三個命題 結論 2 若集合m的所有元素都具有性質(zhì)p s是m中的一個子集 那么s中的元素也具有性質(zhì)p 若m中的元素都不具有性質(zhì)p 則s中的元素也不具有性質(zhì)p 3 從以上兩點可以看出 三段論推理的結論正確與否 取決于兩個前提是否正確 推理形式 即s與m的包含關系 是否正確 知識拓展 合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系 微思考 合情推理與演繹推理的作用分別是什么 提示 合情推理的作用是探索方法 尋求思路 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 得到猜想 而演繹推理的作用在于對由合情推理得到的結論 進行嚴格的證明 即時練 1 已知冪函數(shù)f x x 是增函數(shù) 而y x 1是冪函數(shù) 所以y x 1是增函數(shù) 上面推理錯誤是 a 大前提錯誤導致結論錯b 小前提錯誤導致結論錯c 推理的方式錯誤導致錯d 大前提與小前提都錯誤導致錯 解析 選a 大前提為 f x x 是增函數(shù) 在f x x 中當 0時f x 為增函數(shù) 顯然大前提是錯誤的 2 函數(shù)y 2x 5的圖象是一條直線 用三段論表示為 大前提 小前提 結論 解析 根據(jù)三段論模式分析題意可知 一次函數(shù)y kx b k 0 的圖象是一條直線 大前提y 2x 5是一次函數(shù) 小前提函數(shù)y 2x 5的圖象是一條直線 結論答案 一次函數(shù)y kx b k 0 的圖象是一條直線y 2x 5是一次函數(shù)函數(shù)y 2x 5的圖象是一條直線 題型示范 類型一用三段論證明幾何問題 典例1 1 推理 矩形是平行四邊形 正方形是矩形 所以正方形是平行四邊形 中的小前提是 2 證明 如果梯形的兩腰和一底相等 那么它的對角線必平分另一底上的兩個角 解題探究 1 題 1 中的推理是什么形式 2 題 2 中證明的方法和步驟是什么 探究提示 1 題中的推理是三段論的形式 2 先將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言 利用平行線的性質(zhì)去尋求角的關系 自主解答 1 推理 矩形是平行四邊形 正方形是矩形 所以正方形是平行四邊形 中 矩形是平行四邊形 大前提正方形是矩形 小前提所以正方形是平行四邊形 結論答案 2 已知在梯形abcd中 如圖所示 ab dc ad ac和bd是它的對角線 求證 ca平分 bcd bd平分 cba 證明 等腰三角形的兩底角相等 大前提 dac是等腰三角形 dc da 小前提 1 2 結論 兩條平行線被第三條直線所截 內(nèi)錯角相等 大前提 1和 3是平行線ad bc被ac所截的內(nèi)錯角 小前提 1 3 結論 等于同一個量的兩個量相等 大前提 2 3都等于 1 小前提 2和 3相等 結論即ca平分 bcd 同理bd平分 cba 方法技巧 1 用三段論證明命題的步驟 1 理清楚證明命題的一般思路 2 找出每一個結論得出的原因 3 把每個結論的推出過程用 三段論 表示出來 2 三段論中的三個判斷三段論是由三個判斷組成的 其中的兩個為前提 另一個為結論 第一個判斷是提供性質(zhì)的一般判斷 叫做大前提 通常是已知的公理 定理 定義等 第二個判斷是和大前提有聯(lián)系的特殊情況 叫做小前提 通常是已知條件或前面證明過程中推理的第三個判斷 第三個判斷為結論 在推理論證的過程中 一個稍復雜一點的證明題經(jīng)常要由幾個三段論才能完成 而大前提通常省略不寫 或者寫在結論后面的括號內(nèi) 小前提有時也可以省去 而采取某種簡明的推理格式 變式訓練 如圖 abc中 d e f分別是bc ca ab上的點 bfd a de ba 求證ed af 寫出 三段論 形式的演繹推理 解題指南 只需證明四邊形aedf為平行四邊形即可 證明 因為同位角相等 兩直線平行 大前提 bfd與 a是同位角 且 bfd a 小前提所以fd ae 結論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 大前提de ba 且fd ae 小前提所以四邊形afde為平行四邊形 結論因為平行四邊形的對邊相等 大前提ed和af為平行四邊形afde的對邊 小前提所以ed af 結論 補償訓練 已知在空間四邊形abcd中 點e f分別是ab ad的中點 如圖所示 求證 ef 平面bcd 指出大前提 小前提及結論 證明 因為三角形中位線與第三邊平行 大前提點e f分別是ab ad的中點 ef是 abd的中位線 小前提所以ef bd 結論因為平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行 則該直線與平面平行 大前提ef 平面bcd bd 平面bcd ef bd 小前提所以ef 平面bcd 結論 類型二演繹推理在代數(shù)證明中的應用 典例2 1 由 a2 a 1 x 3 得x 的推理過程中 其大前提是 2 已知函數(shù)f x ax a 1 證明 函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 解題探究 1 題 1 中的大前提怎樣找 2 題 2 中證明的方法是什么 探究提示 1 將推理過程寫成三段論的形式 2 利用增函數(shù)的定義或利用f x 0證明 自主解答 1 該推理過程寫成三段論形式 不等式兩邊同除以一個正數(shù) 不等號的方向不變 大前提 a2 a 1 x 3 a2 a 1大于0 小前提x 結論答案 不等式兩邊同除以一個正數(shù) 不等號方向不變 2 方法一 定義法 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x2 f x1 因為x2 x1 0 且a 1 所以 1 而 10 x2 1 0 所以f x2 f x1 0 所以f x 在 1 上為增函數(shù) 方法二 導數(shù)法 f x 所以f x axlna 因為x 1 所以 x 1 2 0 所以 0 又因為a 1 所以lna 0 ax 0 所以axlna 0 所以f x 0 于是得f x ax 在 1 上是增函數(shù) 方法技巧 代數(shù)問題中的常見的利用三段論證明的命題 1 函數(shù)類問題 比如函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性 周期性和對稱性等 2 導數(shù)的應用 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的極值和最值 證明與函數(shù)有關的不等式等 3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 4 數(shù)列的通項公式 遞推公式以及求和 數(shù)列的性質(zhì) 5 不等式的證明 變式訓練 證明f x x3 x在r上為增函數(shù) 并指出證明過程中所運用的 三段論 證明 在r上任取x1 x2 且x10 因為f x x3 x 所以f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 1 x2 x1 因為所以f x2 f x1 0 即f x2 f x1 所以f x x3 x在r上是增函數(shù) 在證明過程中所用到的 三段論 大前提是 增函數(shù)的定義 小前提是 題中的f x 經(jīng)過正確的推理滿足增函數(shù)的定義 結論是 f x 是增函數(shù) 補償訓練 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 3 an 2 3an 1 2an n n 1 證明 數(shù)列 an 1 an 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項公式 解析 1 因為an 2 3an 1 2an 所以an 2 an 1 2an 1 2an 2 an 1 an 所以 2 n n 而a2 a1 2 所以數(shù)列 an 1 an 是以2為首項 2為公比的等比數(shù)列 2 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 22 21 1 1 2n 1 拓展類型 拓展類型演繹推理與合情推理的關系 備選典例 1 下列推理過程是演繹推理的為 a 人們通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為b 科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼c 我們由a1 1 a2 3 a3 5 推測得an 2n 1 n n d 數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)2 用三段論寫出求解下題的主要解答過程 若不等式 ax 2 6的解集為 1 2 求實數(shù)a的值 解析 1 選d 根據(jù)題意 對于a人們通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為 這是歸納推理 b 科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼 根據(jù)其原理來制造相同的物體 這是類比推理 c 由a1 a2 a3 歸納得出an的通項 是歸納推理 d 數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù) 是演繹推理 故選d 2 推理的第一個關鍵環(huán)節(jié) 大前提 如果不等式f x 0的解集為 m n 且f m f n 有意義 則m n是方程f x 0的實數(shù)根 小前提 不等式 ax 2 6的解集為 1 2 且x 1與x 2都使表達式 ax 2 6有意義 結論 1和2是方程 ax 2 6 0的根 所以 a 2 6 0與 2a 2 6 0同時成立 推理的第二個關鍵環(huán)節(jié) 大前提 如果 x a a 0 那么x a 小前提 a 2 6且 2a 2 6 結論 a 2 6且2a 2 6 可得出結論a 4 方法技巧 應用演繹推理的一般思路在運用演繹推理 即三段論證明問題時要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件 小前提 根據(jù)需要引入相關的適用的定理和性質(zhì) 大前提 并保證每一步的推理都是正確的 嚴密的 才能得出正確的結論 易錯誤區(qū) 忽略大前提而致誤 典例 已知2sin2 sin2 3sin 則sin2 sin2 的取值范圍為 解析 由2sin2 sin2 3sin 得sin2 sin2 sin2 3sin 因為0 sin2 1 sin2 3sin 2sin2 所以0 3sin 2sin2 1 解之得sin 1 或0 sin 令y sin2 sin2