基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析.doc

精品文檔四川師范大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析學(xué)生姓名宋宇院系名稱工學(xué)院專業(yè)名稱電氣工程及其自動(dòng)化班 級(jí) 2010 級(jí) 1 班學(xué) 號(hào)2010180147指導(dǎo)教師楊楠完成時(shí)間2014年 5月 12日I歡迎下載?；贛ATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析電氣工程及其自動(dòng)化本科生 宋宇 指導(dǎo)老師 楊楠摘要 系統(tǒng)是指具有某些特定功能，相互聯(lián)系、相互作用的元素的集合。一般來(lái)說(shuō)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。如果系統(tǒng)是不穩(wěn)定，它可以使電機(jī)不工作，汽車失去控制等等。因此，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才有價(jià)值分析與研究系統(tǒng)的自動(dòng)控制的其它問(wèn)題。為了加深對(duì)穩(wěn)定性方面的研究，本設(shè)計(jì)運(yùn)用了MATLAB軟件采用時(shí)域、頻域與根軌跡的方法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定和分析。關(guān)鍵詞：系統(tǒng)穩(wěn)定性 MATLAB MATLAB穩(wěn)定性分析ABSTRACT System is to point to have certain function, connect with each other, a collection of interacting elements. Generally speaking, the stability is an important performance of system, also is the first condition of system can run normally. If the system is not stable, it could lead to motor cannot work normally, the car run out of control, and so on. Only the stability of the system, therefore, have a value analysis and the research system of the automatic control of other problems. In order to deepen the study of stability, this design USES the MATLAB software using the time domain, frequency domain and the root locus method determination and analysis of the system stability.Keywords: system stability MATLAB MATLAB stability analysisIII歡迎下載。目 錄摘要 IABSTRACTII目錄1.緒論11.1自動(dòng)控制理論發(fā)展概述11.1.1經(jīng)典控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容11.1.2現(xiàn)代控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容11.1.3智能控制理論的發(fā)展及其主要內(nèi)容21.2本文的章節(jié)安排22控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)32.1控制系統(tǒng)的基本形式32.1.1閉環(huán)控制系統(tǒng)32.1.2開環(huán)控制系統(tǒng)42.1.3小結(jié)42.2控制系統(tǒng)的分類42.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性53 MATLAB基礎(chǔ)介紹63.1MALTAB概述63.2MATLAB的特點(diǎn)64穩(wěn)定性分析的方法介紹74.1時(shí)域分析法74.1.1時(shí)域分析法的概念74.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)74.1.3典型的輸入信號(hào)74.1.4系統(tǒng)時(shí)域分析函數(shù)-Step函數(shù)84.1.5控制系統(tǒng)的時(shí)域分析-impulse函數(shù)105根軌跡分析法125.1根軌跡分析法的概念125.1.1一般控制系統(tǒng)125.2繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖的一般規(guī)則125.3pzmap函數(shù)135.4rlocus函數(shù)146頻域法分析166.2奈氏圖（Nyquist）166.3波德圖（Bode）187總結(jié)22參考文獻(xiàn)23致謝242歡迎下載。基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.緒論這章講述了自動(dòng)控制理論與控制技術(shù)概述，主要介紹了幾種自動(dòng)控制理論的發(fā)展概況以及基本的內(nèi)容。最后介紹了本文的主要工作1.1自動(dòng)控制理論發(fā)展概述自動(dòng)控制是指在一些工業(yè)過(guò)程可以是一個(gè)很好的人來(lái)代替生產(chǎn)設(shè)備的自動(dòng)控制，能夠達(dá)到理想的狀態(tài)或性能指標(biāo)。在發(fā)展歷程中，自動(dòng)控制理論從創(chuàng)立到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了三代的發(fā)展。第一代為20世紀(jì)初開始形成并于20世紀(jì)50年代趨于經(jīng)典反饋控制理論；第二代為20世紀(jì)50年代在線性代數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)代控制理論；第三代為20世紀(jì)60年代中期，在科技的高速發(fā)展過(guò)程中形成了智能控制系統(tǒng)。下面我將逐步對(duì)三個(gè)時(shí)代的發(fā)展進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹。1.1.1經(jīng)典控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容在產(chǎn)業(yè)革命時(shí)期，英國(guó)人Jamera Watt發(fā)明蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器，很好的解決了蒸汽機(jī)在超強(qiáng)負(fù)載的變化下保持基本恒速的問(wèn)題。因此，自動(dòng)控制才引起了人們的重視。在20世紀(jì)30年代Nyquist于1932年提出了穩(wěn)定性的頻域判據(jù)，Bode于1940年在“頻域法”中引入對(duì)數(shù)坐標(biāo)系并寫了網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器一書。直到20世紀(jì)50年代，經(jīng)典控制理論已趨于成熟。經(jīng)典控制理論主要研究線性定常系統(tǒng)。 雖然經(jīng)典控制理論僅僅適用于單輸入，單輸出的系統(tǒng)，但是至今仍然在各種工業(yè)控制領(lǐng)域。從面前發(fā)展情況來(lái)看，經(jīng)典控制理論也有一定的局限性：一方面在傳遞函數(shù)和頻率特性的基礎(chǔ)上，不能很好的反映系統(tǒng)在內(nèi)部中的地位：另一方面對(duì)于多輸入，多輸出的系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)典控制理論無(wú)能為力。1.1.2現(xiàn)代控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容現(xiàn)代控制理論是為了客服經(jīng)典控制理論的局限性逐步發(fā)展起來(lái)的。為了很好的解決經(jīng)典控制理論的一些問(wèn)題，現(xiàn)代控制理論引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)。采用狀態(tài)方程后，能夠用向量、矩陣等形式來(lái)表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，因此這種方法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單、對(duì)概念的理解也能夠很好的分析透徹。1.1.3智能控制理論的發(fā)展及其主要內(nèi)容“智能控制”這一概念是由美國(guó)普金大學(xué)（Purdue University）電氣工程系的美籍華人傅京孫教授于20世紀(jì)70年代初提出的。智能控制是指驅(qū)動(dòng)智能機(jī)器自主地實(shí)現(xiàn)其目標(biāo)的過(guò)程。隨著社會(huì)的發(fā)展迅速，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了各種不同的復(fù)合控制理論，如模糊PID復(fù)合控制、專家模糊控制等等。1.2本文的章節(jié)安排本文主要對(duì)以下幾個(gè)方面進(jìn)行研究和分析：第一章緒論部分首先論述了本課題基礎(chǔ)的自動(dòng)控制理論的一些背景及發(fā)展?fàn)顩r，主要介紹了經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及智能控制理論。第二章從本文的整體方向出發(fā)，認(rèn)真分析了控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)、基本形式以及特點(diǎn)。第三章論述了本設(shè)計(jì)使用的MATLAB的一些發(fā)展?fàn)顩r，以及在自動(dòng)控制系統(tǒng)中一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。第四章詳細(xì)論述了時(shí)域分析法，主要運(yùn)用了step函數(shù)以及impulse函數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)方程利用MATLAB繪制圖像曲線，并對(duì)圖像曲線進(jìn)行分析。第五章詳述了利用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定進(jìn)行分析，主要pzmap函數(shù)rlocus函數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)方程利用MATLAB繪制圖像曲線，并對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析。第六章論述了運(yùn)用頻率法分析系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，在開環(huán)系統(tǒng)控制中運(yùn)用奈氏圖（Nyquist）、波德圖（Bode）分析系統(tǒng)的性能。第七章對(duì)本文進(jìn)行了總結(jié)。2控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)控制系統(tǒng)一般有輸入系統(tǒng)、輸出系統(tǒng)、以及調(diào)節(jié)系統(tǒng)。適用于電子、化工、機(jī)械等等許多社會(huì)生活領(lǐng)域中?？梢?，自動(dòng)控制已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)生活中不可缺少的重要組成部分。2.1控制系統(tǒng)的基本形式控制系統(tǒng)有兩種最基本的形式，即開環(huán)控制和閉環(huán)控制。其中閉環(huán)控制系統(tǒng)是工業(yè)生產(chǎn)用得最為廣泛的系統(tǒng)。2.1.1閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制的特點(diǎn)是控制器與被控對(duì)象之間，有一個(gè)積極的影響不僅存在，但相反的效果，使系統(tǒng)具有對(duì)控制量的輸出直接影響。其簡(jiǎn)要的結(jié)構(gòu)示意圖可以用圖1表示:控制器受控對(duì)象 輸入量 控制量 輸出量 反饋元件 反饋信號(hào) 圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖由圖2.1可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)的自動(dòng)控制或者自動(dòng)調(diào)節(jié)作用是基于輸出信號(hào)的負(fù)反饋?zhàn)饔枚a(chǎn)生的，所以經(jīng)典控制理論的主要研究對(duì)象是負(fù)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)，研究目的是得到它的一般規(guī)律，因此可以設(shè)計(jì)出符合要求，各種性能達(dá)標(biāo)的控制系統(tǒng)。2.1.2開環(huán)控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)的一個(gè)特點(diǎn)是，由于沒有反饋而使系統(tǒng)穩(wěn)定性不如閉環(huán)系統(tǒng)。圖1表示了其簡(jiǎn)要的結(jié)構(gòu)示意圖：控制器被控對(duì)象 輸入量 控制作用 輸出量 圖2 開環(huán)控制系統(tǒng)示意圖在開環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖中可以看出，只有輸入量對(duì)輸出量產(chǎn)生控制作用；從控制結(jié)構(gòu)上來(lái)看，只有從輸入端到輸出端、從左到右的信號(hào)傳遞通道（改通道稱為正向通道）。2.1.3小結(jié)從上述兩種控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖可以很明顯的知道：在工作原理方面：開環(huán)控制系統(tǒng)不能檢測(cè)誤差，也不能校正誤差。因此開環(huán)控制系統(tǒng)一般只適用于一些精度要求不高的一些場(chǎng)合。閉環(huán)控制系統(tǒng)則可以自動(dòng)反饋干擾所帶來(lái)的誤差。結(jié)構(gòu)組成：雖然開環(huán)控制系統(tǒng)的應(yīng)用有限，但是它是組成閉環(huán)控制系統(tǒng)所不可缺少的部分。穩(wěn)定性：開環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性比較容易解決。而閉環(huán)控制系統(tǒng)引入的反饋回路增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。2.2控制系統(tǒng)的分類.按控制系統(tǒng)是否形成閉合回路分類：開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。.按信號(hào)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分類：反饋控制系統(tǒng)和反饋控制系統(tǒng)以及前饋-反饋復(fù)合控制系統(tǒng)。.按給定值信號(hào)的特點(diǎn)分類：恒值控制系統(tǒng)、隨動(dòng)控制系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)。.按控制系統(tǒng)元件的特性分類：線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)。.按控制系統(tǒng)信號(hào)的形式分類：連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制控制。2.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的特性之一。它表示了控制系統(tǒng)承受各種擾動(dòng)，保持其預(yù)定工作的能力。不穩(wěn)定的系統(tǒng)就是無(wú)用的系統(tǒng)，只有系統(tǒng)穩(wěn)定才能獲得實(shí)際應(yīng)用。因此，結(jié)合系統(tǒng)數(shù)學(xué)各方面的知識(shí)，總結(jié)了以下幾種方法來(lái)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析。 .羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 .梅森公式 .勞斯判據(jù) .波德圖上的穩(wěn)定性判據(jù) .根據(jù)系統(tǒng)階躍響應(yīng)判斷穩(wěn)定性等等。本設(shè)計(jì)將在時(shí)域中、頻域中以及根軌跡下利用MATAB軟件來(lái)分析與判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3 MATLAB基礎(chǔ)介紹MATLAB軟件廣泛的應(yīng)用于系統(tǒng)建模與仿真、自動(dòng)控制、圖形圖像處理等工程領(lǐng)域。因此，本章將簡(jiǎn)要的介紹一些有關(guān)MATLAB的發(fā)展背景以及特點(diǎn)。3.1MALTAB概述MATLAB是由MathWorks公司開發(fā)的一套功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，也是當(dāng)今科技界應(yīng)用最廣泛的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言之一。它集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、計(jì)算機(jī)可視為一體，是其他許多語(yǔ)言不能比擬的。MATLAB 發(fā)展至今，現(xiàn)已集成了許多工具箱，如控制系統(tǒng)工具箱、信號(hào)處理工具箱、模糊推理系統(tǒng)工具箱、Simulink 工具箱等。為此，MATLAB 語(yǔ)言在控制工程領(lǐng)域已獲得了廣泛的應(yīng)用。3.2MATLAB的特點(diǎn)它具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算功能，能夠很快速很準(zhǔn)確計(jì)算出各種問(wèn)題，在科學(xué)界領(lǐng)域中占有重要的地位，更是為一群科學(xué)研究人員提供了巨大的方便。與此同時(shí)MATLAB是一種先進(jìn)的可視化工具，具有很強(qiáng)的開放性以及擴(kuò)展性，眾多面向領(lǐng)域應(yīng)用的工具箱和模塊集。簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)，MATLAB語(yǔ)言最大的特點(diǎn)就是簡(jiǎn)單和直接。一方面，由于它允許使用數(shù)學(xué)形式的語(yǔ)言編寫程序，而且編寫簡(jiǎn)單。由此可見，它的編程效率高，通俗易懂；另一方面MATLAB的繪圖也是十分方便的，它有一系列的繪圖函數(shù)，例如：本設(shè)計(jì)將在下文講述到的step函數(shù)、impluse函數(shù)、pzmap函數(shù)等等。只需輸入相應(yīng)的函數(shù)及一些簡(jiǎn)單的代碼即可獲得所需要的圖像曲線，并能很清楚的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB也有一定的缺點(diǎn)，它和其他的高級(jí)程序相比，程序的執(zhí)行速度比較緩慢。在界面功能上面也顯得比較弱，不能實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)采集和端口操作等功能。4穩(wěn)定性分析的方法介紹4.1時(shí)域分析法4.1.1時(shí)域分析法的概念時(shí)域分析法是在時(shí)間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)的性能的方法。它是直接基于拉普拉斯變換求解系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，然后基于響應(yīng)和響應(yīng)曲線，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和穩(wěn)態(tài)性能的表達(dá)。4.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 首先，系統(tǒng)性能可以分為動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能表現(xiàn)在過(guò)渡過(guò)程完結(jié)之前的響應(yīng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能表現(xiàn)在過(guò)渡過(guò)程完結(jié)之后的響應(yīng)中。 其次，一般的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義為以下幾種：1. 上升時(shí)間：假如階躍響應(yīng)不超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，上升時(shí)間定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。2. 峰值時(shí)間：階躍響應(yīng)從運(yùn)動(dòng)開始到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。3. 超調(diào)量：線性控系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下的響應(yīng)過(guò)程曲線也就是階躍響應(yīng)曲線分析動(dòng)態(tài)性能的一個(gè)指標(biāo)值。4. 調(diào)節(jié)時(shí)間：階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。一般取誤差帶為2%或者5%。5. 穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)希望的輸出與實(shí)際的輸出之差。4.1.3典型的輸入信號(hào)控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號(hào)有:單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位加速度函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，很便于數(shù)學(xué)分析，和實(shí)驗(yàn)研究。例1：已知一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(10s+5)/(6s2+7s+20)繪制其單位階躍響應(yīng)曲線并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：利用MATLAB軟件輸入以下程序 G=tf(10,5,6,7,20); Step(G) title(單位階躍響應(yīng)) grid即可得到下面的圖像如圖3：圖3 單位階躍響應(yīng)由圖3可知，在系統(tǒng)在及其短暫的時(shí)間內(nèi)（t=0.9s）到達(dá)了最大值，由此可以看出該系統(tǒng)具有很好的傳遞性以及快速性，但是系統(tǒng)具有很大的超調(diào)量，t在0s到7s期間，曲線的波動(dòng)很大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性欠佳。但是隨著時(shí)間的推移，曲線波動(dòng)不大趨于穩(wěn)定并收斂。這個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.75.4.1.4系統(tǒng)時(shí)域分析函數(shù)-Step函數(shù)Step函數(shù)用于計(jì)算線性系統(tǒng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，當(dāng)不帶輸入變量時(shí)，step函數(shù)可在當(dāng)前窗口直接繪制出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)曲線。例2：已知一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(s)=(10s+5)/(2s2+s+9),求其階躍并分析系統(tǒng)的性能。解：利用MATLAB軟件輸入以下程序 clear G=tf(10,5,2,2,9); step(G) title(階躍響應(yīng)效果圖) grid即可得到以下圖像圖4階躍響應(yīng)效果圖由圖4可知，系統(tǒng)在極短的時(shí)間內(nèi)（t=1.1s）達(dá)到了最大值，在接下來(lái)1s左右系統(tǒng)達(dá)到了最小值。曲線在t=（0s9s）之間波動(dòng)很大，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較差。在隨后的時(shí)間里，曲線趨于直線，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)也逐步趨于穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.4。4.1.5控制系統(tǒng)的時(shí)域分析-impulse函數(shù)它的主要功能是：用于求取連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的函數(shù)。它的調(diào)用格式如下：impulse(sys)：求取系統(tǒng)sys的單位脈沖響應(yīng)曲線。impulse(sys,t)：求取系統(tǒng)sys的單位脈沖響應(yīng)曲線，t為選定的仿真時(shí)間向量。說(shuō)明：sys描述的系統(tǒng)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，也可適用于SISO或MIMO的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)或離散時(shí)間系統(tǒng)。例3：已知控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 試?yán)L制其系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)效果圖。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB的代碼如下clc a=-0.5 -0.7;0.7 0; b=1 -1;0 2; c=1.9 6;sys=ss(a,b,c,0); impulse(sys) grid on; title(單位脈沖響應(yīng)效果圖); xlabel(時(shí)間/s);ylabel(幅度);運(yùn)行程序。效果如下圖：圖5 單位脈沖響應(yīng)效果圖由圖5可知系統(tǒng)在t=15s之前曲線波動(dòng)比較大，說(shuō)明這個(gè)系統(tǒng)在這段時(shí)間里不穩(wěn)定；在隨后的時(shí)間曲線趨于直線并收斂，此時(shí)說(shuō)明系統(tǒng)逐步趨于穩(wěn)定。5根軌跡分析法5.1根軌跡分析法的概念根軌跡分析法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解法，其利用開環(huán)控制系統(tǒng)的根軌跡效果圖來(lái)分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響。1984年，W.R.Evans提出了一種求特征根的簡(jiǎn)單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中得到廣發(fā)的應(yīng)用。根軌跡法具有很直觀的特點(diǎn)，還可以分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。5.1.1一般控制系統(tǒng)一般系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6：G(s) R(s) C(s) + - H(s)圖6 一般系統(tǒng)根軌跡示意圖開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)=G(s)H(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gc(s)=C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s)=G(s)/(1+Go(s)5.2繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖的一般規(guī)則根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。根軌跡的始點(diǎn)（相應(yīng)于K=0）為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，根軌跡的終點(diǎn)（相應(yīng)于K=）為開環(huán)傳遞函數(shù)的有窮零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)。根軌跡形狀對(duì)稱于坐標(biāo)系的橫軸（實(shí)軸）。實(shí)軸上的根軌跡按下述方法確定：將開環(huán)傳遞函數(shù)的位于實(shí)軸上的極點(diǎn)和零點(diǎn)由右至左順序編號(hào)，由奇數(shù)點(diǎn)至偶數(shù)點(diǎn)間的線段為根軌跡。實(shí)軸上兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)或兩個(gè)開環(huán)零點(diǎn)間的根軌跡段上，至少存在一個(gè)分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)，根軌跡將在這些點(diǎn)產(chǎn)生分岔。在無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的走向可通過(guò)畫出其漸近線來(lái)決定。漸近線的條數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差。根軌跡沿始點(diǎn)的走向由出射角決定，根軌跡到達(dá)終點(diǎn)的走向由入射角決定。根軌跡與虛軸（縱軸）的交點(diǎn)對(duì)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要，其位置和相應(yīng)的K值可利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)來(lái)5.3pzmap函數(shù)Pzmap函數(shù)的調(diào)用格式如下：Pzmap(sys):對(duì)SISO系統(tǒng)，sys為繪制的傳輸函數(shù)的零極點(diǎn)圖。Pzmap(sys1,sys2,sysN):對(duì)MIMO系統(tǒng)，sys1,sys2,sysN為繪制的N個(gè)傳輸函數(shù)的零極點(diǎn)圖。Pzmap函數(shù)可在當(dāng)前圖像窗口中繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其中極點(diǎn)用“X”表示，零點(diǎn)用“O”表示。例4：已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(s)=(4s4+3s3+10s2+8s+11)/(2s5+6s4+7s3+3s2+9s+1) 繪制零點(diǎn)極點(diǎn)圖,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：繪制零點(diǎn)極點(diǎn)圖其實(shí)現(xiàn)的程序代碼如下：clc num=4 3 10 8 11; den=2 6 7 3 9 1; sys=tf(num,den); pzmap(sys)執(zhí)行程序，運(yùn)行結(jié)果如下：圖7 系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖由圖7可知，該系統(tǒng)有位于s右半平面的極點(diǎn)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面本設(shè)計(jì)將用rlocus函數(shù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.4rlocus函數(shù)Rlocus函數(shù)可以計(jì)算出或畫出SISO系統(tǒng)的根軌跡，rlocus(sys):根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)sys模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖，開環(huán)增益的值從零到無(wú)窮大變化。它的調(diào)用格式一般如下：Rlocus:在當(dāng)前窗口繪制SISO開環(huán)模型的Evans根軌跡。Rlocus(sys)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)sys模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無(wú)窮大變化。Rlocus(sys1,sys2,)：同時(shí)在屏幕上繪制出多個(gè)系統(tǒng)的根軌跡圖。例5：已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)= 3K/(s(s2+4s+6)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：其實(shí)現(xiàn)的MATLAB代碼如下： num=3; den=conv(1 0,1 4 6 ); G=tf(num,den); rlocus(G) grid on title(根軌跡圖) xlabel(實(shí)坐標(biāo)軸);ylabel(虛坐標(biāo)軸)運(yùn)行程序，效果圖如下： 圖8 系統(tǒng)根軌跡分布圖由圖5.3可知當(dāng)K=1時(shí)，在平面的右邊系統(tǒng)無(wú)極點(diǎn)。此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。為了更好的確定K值范圍來(lái)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本設(shè)計(jì)利用勞斯判據(jù)來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題。對(duì)已知開環(huán)系統(tǒng)方程作出閉環(huán)系統(tǒng)方程,G(s)=3K/(s3+4s2+6s+3K),首先作出勞斯表如下：s3 1 6s2 4 3Ks1 (6-0.75K) 0s0 3K由系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件必要條件為：勞斯表中，如果第一列元素全部大于0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此可以得出上述系統(tǒng)方程要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則3K0；（6-0.75K）0；解得：當(dāng)0K8時(shí)系統(tǒng)處理穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)K=0或者8時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)K8或者K0時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。6頻域法分析6.1頻域法分析的基本概念頻域法分析法是利用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，可以用開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖（Nyquist）、波德圖（Bode）、尼氏圖（Nichols）分析系統(tǒng)的性能。在電路上，它是借助傅里葉級(jí)數(shù)，將非正弦周期性電壓（電流）分解為一系列不同頻率的正弦量之和，按照正弦交流電路計(jì)算方法對(duì)不同頻率的正弦量分別求解，再根據(jù)線性電路疊加定理進(jìn)行疊加即為所求的解。本設(shè)計(jì)著重介紹奈氏圖以及波德圖來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。6.2奈氏圖（Nyquist）Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)，簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)，它是頻域中，利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來(lái)判定性來(lái)獲得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法。奈氏穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容是:若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上有P個(gè)極點(diǎn),則當(dāng)系統(tǒng)角頻率X由-變到+時(shí),如果開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)R圈,若Z=P-R,Z=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則,是不穩(wěn)定的.頻域穩(wěn)定性判據(jù)所依據(jù)的是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，也就是僅僅利用系統(tǒng)的開環(huán)信息，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可以以提供相對(duì)穩(wěn)定性的信息，也就是說(shuō)，系統(tǒng)如果是穩(wěn)定的，那么動(dòng)態(tài)性能是否好，或者如果系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么與穩(wěn)定情況還差多少等等。所以頻域穩(wěn)定性判據(jù)不僅用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，而且可以更方便地用于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist 圖逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)p，則系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s 右半平面上有p 個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)由負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮時(shí)，GH平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)p 圈，則閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)取值由負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮時(shí)，其開環(huán)G(j)H(j)軌跡必須逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)p 次，否則就不穩(wěn)定。MATLAB 提供了函數(shù)Nyquist 來(lái)繪制系統(tǒng)的Nyquist 曲線，其基本調(diào)用格式為: s3 + 0.3s 2 +15s + 200 re,im,w=nyquist(sys)此函數(shù)可以用來(lái)求解、繪制系統(tǒng)的nyquist 曲線，可以分析包括增益裕度、相角裕度及穩(wěn)定性等系統(tǒng)特性。如果使用時(shí)沒有返回輸出參數(shù)，函數(shù)會(huì)屏幕上直接繪制出nyquist 曲線。在MATLAB 中輸入程序后，自動(dòng)運(yùn)行，即繪制出了奈氏曲線。例6：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)=100/(0.006s3 + 0.3s 2 +8s + 50),用Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先計(jì)算系統(tǒng)開環(huán)特征方程的根，其實(shí)現(xiàn)的程序代碼如下：clear all; K=0.006 0.3 8 50Roots(K)運(yùn)行程序，輸出如下ans = -20.7512 +23.4531i -20.7512 -23.4531i -8.4977 可以看出，3個(gè)根負(fù)實(shí)部，都是穩(wěn)定根，所以開環(huán)特征方程根的不穩(wěn)定。再繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist 曲線并用來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其實(shí)現(xiàn)的方程如下：clear all N=100; D=0.006 0.3 8 50 Gh=tf(N,D) Nyquist(Gh)運(yùn)行程序后，繪制出系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist 曲線如圖9：圖9 系統(tǒng)奈氏曲線由圖9可知，系統(tǒng)的Nyquist 曲線不包圍(-1,0)點(diǎn)，根據(jù)奈氏判據(jù)，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6.3波德圖（Bode）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖又稱為波德圖（Bode），由于方便實(shí)用，被廣泛的應(yīng)用于控制系統(tǒng)頻域分析時(shí)的作圖。Bode 圖即對(duì)數(shù)頻率特性曲線，他有兩條曲線，分別是對(duì)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性。對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它可以表示為：一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s 平面極點(diǎn)數(shù)P 和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值得所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線為負(fù)一百八十度，線的正負(fù)穿越之差為N 來(lái)確定。其中，Z=P-2N 當(dāng)Z 為零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定且不穩(wěn)定閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于Z。還可以從波德圖中的系統(tǒng)的幅值裕量和相角裕量來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。波德圖上的等價(jià)判據(jù)，只適用于最小相位系統(tǒng)，也可以導(dǎo)出波德圖上的等價(jià)判據(jù)，但有多種情況存在，也就沒有應(yīng)用的價(jià)值了，所以本設(shè)計(jì)討論的是最小相位系統(tǒng)。這既然提到了最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)，就有必要說(shuō)明一下他們的區(qū)別；即最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)全部位于S 平面的左半平面。MATLAB 提供了一條直接求解和繪制系統(tǒng)的Bode 圖的函數(shù)bode()和一條直接求解系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度和幅值穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin(),它們的調(diào)用格式分別為： bode(sys)；Bode(sys,w)；mag,phase,w=bode(sys)；Bode()函數(shù)用計(jì)算來(lái)計(jì)算并繪制系統(tǒng)的Bode 圖，當(dāng)函數(shù)命令等式左邊的輸出變量的格式時(shí)，函數(shù)在當(dāng)前窗口直接繪制出系統(tǒng)的bode 圖。而mag,phase,w=bode(sys)只計(jì)算系統(tǒng)bode 圖的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。Margin(sys)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)其中，mag,phase,w 分別為bode 圖求出的幅值裕度、相位裕度及對(duì)應(yīng)的角頻率下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明bode 圖的判定方法。例7：已知一個(gè)單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=8/(s3 + 6s 2 + 4s) ,用bode 圖法判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。解：對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行以下程序：clear all; num=0 0 0 8; den=1 6 4 0; S=tf(num,den); Gm,Pm Wcp Wcg=margin(S) Margin(S)在MATLAB 中運(yùn)行程序后，得到系統(tǒng)的bode 圖如圖10：圖10系統(tǒng)波德曲線圖同時(shí)MATLAB 計(jì)算出了頻域性能指標(biāo)：GM=3.0000dBPm= 22.5835degWcp= 2.0000rad/sec;Wcg= 1.1095rad/sec,即幅值穩(wěn)定裕度為3.0dB,相裕穩(wěn)定裕度為22.6度，剪切頻率為1.1095rad/s。由這些指標(biāo)可以看出幅值穩(wěn)定裕度是定量值，從而說(shuō)明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。并且具有較大的穩(wěn)定裕度。例8：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=8/s 2 (5s +7) ,用對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：要得到系統(tǒng)的波德圖，其程序?yàn)椋簄um=8;den=5 7 0 0;sys=tf(num,den