2003年高考數(shù)學(xué)試題及答案(北京理).doc

絕密啟用前2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。第卷（選擇題 共50分）注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線(xiàn)長(zhǎng). 球體的體積公式：，其中R表示球的半徑.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1設(shè)集合等于（ ）ABCD2設(shè)，則（ ）Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y23“”是“”的（ ）A必要非充分條件B充分非必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件4已知，是平面，m，n是直線(xiàn).下列命題中不正確的是（ ） A若mn，m，則nB若m，=n，則mnC若m，m，則D若m，則5極坐標(biāo)方程表示的曲線(xiàn)是（ ）A圓B橢圓C拋物線(xiàn)D雙曲線(xiàn)6若且的最小值是（ ）A2B3C4D57如果圓臺(tái)的母線(xiàn)與底面成60角，那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為（ ）ABCD8從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ）A24種B18種C12種D6種9若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則 等于（ ）ABCD10某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1，2，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令 其中i=1，2，k，且j=1，2，k，則同時(shí)同意第1，2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（ ）ABCD第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線(xiàn)上.11函數(shù)中， 是偶函數(shù).12以雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的方程是 13如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是 .14將長(zhǎng)度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長(zhǎng)應(yīng)為 .三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù) （）求的最小正周期； （）若，求的最大值、最小值.16（本小題滿(mǎn)分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）令求數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.17（本小題滿(mǎn)分15分） 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BD=BC. （）求證：直線(xiàn)BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大??； （）求三棱錐C1ABB1的體積.18（本小題滿(mǎn)分15分） 如圖，橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（0，r）（ （）寫(xiě)出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率； （）直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)求證：； （）對(duì)于（）中的C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于點(diǎn)P，GD交x軸于點(diǎn)Q. 求證：|OP|=|OQ|. （證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）19（本小題滿(mǎn)分14分） 有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=a，BC=2b.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線(xiàn)上的P點(diǎn)處，（建立坐標(biāo)系如圖） （）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點(diǎn)P應(yīng)位于何處？ （）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小， 點(diǎn)P應(yīng)位于何處？20（本小題滿(mǎn)分14分） 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿(mǎn)足條件： （i） （ii）對(duì)任意的 （）證明：對(duì)任意的 （）證明：對(duì)任意的 （）在區(qū)間1，1上是否存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請(qǐng)舉一例：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.絕密啟用前2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）（北京卷）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 每小題5分，滿(mǎn)分50分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8C 9C 10C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿(mǎn)分16分.11 12 13 14三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15本小題主要考查三角函數(shù)的倍角、和角公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力，滿(mǎn)分13分. （）解：因?yàn)樗缘淖钚≌芷冢ǎ┙猓阂驗(yàn)樗?當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值1. 所以在上的最大值為1，最小值為16本小題主要考查等差、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分13分. （）解：設(shè)數(shù)列公差為，則 又所以（）解：令則由得 當(dāng)時(shí)，式減去式，得 所以當(dāng)時(shí), 綜上可得當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)，17本小題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，正棱柱的性質(zhì)，棱錐的體積等基本知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力. 滿(mǎn)分15分. （）證明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線(xiàn)BC1/平面AB1D.（）解：過(guò)B作BEAD于E，連結(jié)EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中點(diǎn)， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小為60 （）解法一：過(guò)A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積為 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱錐C1ABB1的體積為18本小主要考查直線(xiàn)與橢圓等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分15分. （）解：橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為 離心率（）證明：將直線(xiàn)CD的方程代入橢圓方程，得整理得根據(jù)韋達(dá)定理，得 所以 將直線(xiàn)GH的方程代入橢圓方程，同理可得，由，得所以結(jié)論成立.（）證明：設(shè)點(diǎn)P（p,0），點(diǎn)Q（q,0），由C、P、H共線(xiàn)， 得解得， 由D、Q、G共線(xiàn)，同理可得 變形得 即 所以19本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分14分. （）解：由題設(shè)可知，記設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值. 答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得記于是 當(dāng)即時(shí)，在上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 由此可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值. 當(dāng)即時(shí),函數(shù)在上,當(dāng)時(shí),取得最小值,而上為減函數(shù),且 可見(jiàn), 當(dāng)時(shí), 函數(shù)取得最小值. 答當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0),其中 解法二:P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得 記于是 當(dāng)?shù)膱D象如圖，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值. 當(dāng)即的圖象如圖，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.答：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），其中解法三：因?yàn)樵贏BC中，AB=AC=所以ABC的外心M在射線(xiàn)AO上，其坐標(biāo)為， 且AM=BM=CM. 當(dāng)P在射線(xiàn)MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線(xiàn)MA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，記P為P2，若（如圖1），則點(diǎn)M在線(xiàn)段AO上，這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以點(diǎn)P與外心M重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小. 若(如圖2),則點(diǎn)M在線(xiàn)段AO外,這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A， 且P1COC，P2AOC，所以點(diǎn)P與BC邊中點(diǎn)O重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小為.答：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置在ABC的外心；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置在原點(diǎn)O.20本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分1