旋轉(zhuǎn)幾何證明.doc

巧用旋轉(zhuǎn)解題溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉(zhuǎn)的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉(zhuǎn)的方法是幾何學(xué)習(xí)中必備的技巧，本文將介紹旋轉(zhuǎn)方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學(xué)習(xí)、交流。1利用旋轉(zhuǎn)求角度的大小例1：在等腰直角中, 90, P是內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足、2、1求的度數(shù). PABCP 分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的長(zhǎng)度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長(zhǎng)，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)分析問(wèn)題，因?yàn)椋@就給我們利用旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得,連接，通過(guò)三角形的邊與角的關(guān)系分別求得和，就可得到的大小。 解：由已知，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得,連接；由旋轉(zhuǎn)可知：，；， 是等腰直角三角形 ， 且，在中，是直角三角形，且，例2：如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為1，P、Q分別為邊、上的點(diǎn),的周長(zhǎng)為2，求的大小分析：本題在已知三角形的周長(zhǎng)和正方形的邊長(zhǎng)的條件下求角度的大小是比較困難的，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng),所以可以考慮將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，易證E、D、Q三點(diǎn)共線，通過(guò)證明和全等即可求得的大小ABDCQEP解： ， 將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得； ，； ， 且 ， E、D、Q三點(diǎn)共線， 的周長(zhǎng)為2，即，又 ， ， 在和中：， ；ADCBP練習(xí)：P為正方形內(nèi)一點(diǎn),且123,求的大小2利用旋轉(zhuǎn)求線段的長(zhǎng)度例3：如圖，P是等邊內(nèi)一點(diǎn)，2，4，求的長(zhǎng)。PACEB分析：本題雖然和、同處一個(gè)三角形，但是要求其長(zhǎng)還缺角度，因此直接從已知條件入手是比較困難的，但是我們只要適當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，就可以是問(wèn)題簡(jiǎn)單化；因?yàn)楸绢}的是等邊三角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將內(nèi)部的某個(gè)三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較容易的；解： 是等邊三角形， 將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則與重合， 且 ，連接； ， 是等邊三角形， 在中：； ， ， ， ， 例4：如圖，在梯形中，（），90，12，45，若10。求的長(zhǎng)度。ADBCGFE分析：仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)本題所給的條件不易直接求得的長(zhǎng)度，還需要做一些變化，經(jīng)觀察容易發(fā)現(xiàn)把把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，可構(gòu)成一個(gè)正方形，然后通過(guò)三角形全等，就找出邊之間的關(guān)系。解：把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得，連接，易證A、G、F三點(diǎn)一線，且易知四邊形為正方形由旋轉(zhuǎn)可得：， ， 在和中：， 在， ，設(shè) ，則，；在，即； ， 解之得： 的長(zhǎng)為4或6練習(xí)2：如圖四邊形中，90，其面積為16，求A到的距離3利用旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例5：如圖，在凸四邊形中，30，60，求證：分析：由本題的結(jié)論不難想到在直角三角形中應(yīng)用ABDCE勾股定理可以證得含有平方關(guān)系的線段之間的關(guān)系，因此我們就需要將結(jié)論中的這三條線段放到同一個(gè)直角三角形中，由于，所以可以考慮將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，使和重合，這樣就可以得到，然后通過(guò)證明是等邊三角形就可以得到結(jié)論中線段之間的關(guān)系解：將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，使和重合，得并連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，； ， 是等邊三角形， ， ， 中：， 例6：如圖，在中，90，D、E在上，45，求證： 分析：由本題的結(jié)論我們可以聯(lián)想到直角三角形中勾股定理的結(jié)論，因此我們就需要將結(jié)論中的三條線段放在同一個(gè)直角三角形中，再由,ABEDCF我們不難想到將繞點(diǎn)A延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，這樣我們就將、放到了同一個(gè)三角形中，同時(shí)我們也不難證明，然后我們只要設(shè)法證明，則結(jié)論可得 解： ，將繞點(diǎn)A延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得，連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，； ， ，在和中：， ； ， 是， 練習(xí)3：如圖、，是正三角形，是頂角120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交、邊于M、N兩點(diǎn)，連接探究：線段、之間的關(guān)系，并加以證明4利用旋轉(zhuǎn)求面積的大小GCAEF例7： 如圖正方形中，點(diǎn)E、F分別在、上，且30，15，求的面積分析：本題由已知條件直接去求結(jié)論是比較困難的，由于該題中含15，30等特殊角度，因此通過(guò)旋轉(zhuǎn)，可構(gòu)作出45角，構(gòu)造三角形全等，通過(guò)等積變形來(lái)解決問(wèn)題是比較容易的。解：將繞A點(diǎn)延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：， ， 點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，又 ， ， 在和中：， ； ，又 ，中：，30， ，在中， ， ， ， ， 例8：如圖A、B、C、D是圓周上的四個(gè)點(diǎn)，且弦8，弦6，則圖中兩個(gè)弓形（陰影）的面積和是多少？圖2圖1 分析：從已知條件直接求兩個(gè)弓形面積難度較大，抓住已知條件，容易發(fā)現(xiàn)正好是整個(gè)圓弧的一半，因此通過(guò)將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會(huì)很容易解：由于，知的長(zhǎng)正好是整個(gè)圓弧的一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合（如圖2）：則恰好為半圓弧， 為O的直徑， 90， 由勾股定理可求得，練習(xí)4：如圖是等腰直角三角形，D為的中點(diǎn)，2，扇形和分別是以、為半徑的圓的，求陰影部分面積參考答案：練習(xí)： ，提示：如圖將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，分別求得和ADCBEP練習(xí)4練習(xí)3練習(xí)2練習(xí)1 練習(xí)2：距離為4，如圖通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得正方形 練習(xí)3：，把繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到，易證練習(xí)4：，將扇形和繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180觀察巧旋轉(zhuǎn) 妙解題沈岳夫旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的重要變換，隨著課程改革的進(jìn)一步深入，利用旋轉(zhuǎn)知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明的題目很多，尤其是題目中沒(méi)有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字，使不少學(xué)生在解答時(shí)無(wú)從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，找到解題的突破口，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了，現(xiàn)采擷部分試題加以歸納，供參考。一. 通過(guò)旋轉(zhuǎn)，解答角度問(wèn)題 例1. 如圖1，P是正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且6，8，10。求的度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個(gè)三角形中，再研究這個(gè)三角形與所求的關(guān)系。將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后，得到，連接（如圖2），則10，6，60。是等邊三角形，6。在中，9060+90=150圖2二. 通過(guò)旋轉(zhuǎn)，計(jì)算線段長(zhǎng)度問(wèn)題 例2. 如圖3，P是正內(nèi)一點(diǎn)，2，4，求的長(zhǎng)。圖3解析：此題乍一看似乎無(wú)從著手，但只要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)解題，就顯得十分容易。將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則與重合（如圖4），連接。則是正三角形，即，由，故90，因?yàn)?，所?0，又因?yàn)?0，故90，得圖4 例3. 如圖5，在梯形中，（），90，12，45，若10。求的長(zhǎng)度。圖5解析：經(jīng)觀察，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，可構(gòu)成一個(gè)正方形，然后通過(guò)三角形全等，找出邊之間的關(guān)系。延長(zhǎng)，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)G，點(diǎn)M（如圖6），易知四邊形為正方形。又，4510設(shè)，則。在中，即所以的長(zhǎng)為4或6。圖6三. 通過(guò)旋轉(zhuǎn)，巧算面積問(wèn)題 例4. 如圖7，正方形中，點(diǎn)E、F分別在、上，且30，15，求的面積。圖7解析：由于該題中含15，30等特殊角度，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，可構(gòu)作出45角，構(gòu)造三角形全等，通過(guò)等積變形而獲解。將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到的位置（如圖8），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，15，故15+30=45。90又（），60在中，30，則1，在中，即圖8 例5. 如圖9，A、B、C、D是圓周上的四個(gè)點(diǎn)，。且弦8，弦4，則圖中兩個(gè)弓形（陰影）的面積和是多少？（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）圖9解析：要直接求兩個(gè)弓形面積難度較大，抓住已知條件，運(yùn)用整體思維可簡(jiǎn)易求得。由于，知長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合（如圖10），則恰好為半圓弧，此時(shí)為圓O的直徑，從而90，由勾股定理可求得，故其面積和為15.4。圖10四. 通過(guò)分割、旋轉(zhuǎn)、拼接平行四邊形 例6. 如圖11，已知四邊形紙片，現(xiàn)需將該紙片剪成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，請(qǐng)確定裁剪線的位置，并說(shuō)明拼接方法；若填“不能”，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。圖11解析：解此題的關(guān)鍵是把大四邊形分割成四個(gè)小四邊形，然后通過(guò)分割旋轉(zhuǎn)達(dá)到目的，簡(jiǎn)答如下：能，如圖12，取四邊形各邊的中點(diǎn)E、G、F、H，連接、，則、為裁剪線，、將四邊形分成1、2、3、4四個(gè)部分，拼接時(shí)，圖中的1不動(dòng)，將2、4分別繞點(diǎn)H、F各旋轉(zhuǎn)180，3平移，拼成的四邊形滿(mǎn)足條件（如圖13）。圖12圖13五. 通過(guò)旋轉(zhuǎn)巧證三點(diǎn)一直線 例7. 已知，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，連接、。（1）將繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到的位置（如圖14）設(shè)的長(zhǎng)為a，的長(zhǎng)為b（ba）。求旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中邊所掃過(guò)區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。若2，4，135，求的長(zhǎng)。圖14（2）如圖15，若，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P必在對(duì)角線上。解析：要說(shuō)明點(diǎn)P必在對(duì)角線上（即點(diǎn)A、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)成一直線）關(guān)鍵是弄懂第（1）小題的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)第（1）小題的解答過(guò)程為第（2）問(wèn)埋下伏筆，讓學(xué)生從中受到啟發(fā)，運(yùn)用類(lèi)比方法就易解答該題，簡(jiǎn)答如下：（1）圖15如圖16，連接，將繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到的位置，則。，為等腰直角三角形，。6圖16（2）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到的位置（如圖17）則，連接，則。即點(diǎn)P必在對(duì)角線上。圖17六. 通過(guò)旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系 例8. 如圖18，E是正方形的邊上的一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F。求證：。圖18解析：解此題的關(guān)鍵是如何把分散的三條線段集中到一個(gè)三角形中，經(jīng)觀察可通過(guò)旋轉(zhuǎn)三角形達(dá)到目的。將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到（如圖19），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：。則，在中，圖19 例9. 操作：如圖20，是正三角形，是頂角120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交、邊于M、N兩點(diǎn)，連接。圖20探究：線段、之間的關(guān)系，并加以證明。說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的思路，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至少三步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程中，可以從下列中選出一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明：（如圖21）；（如圖22）圖2