橢圓的常見題型及解法(一).doc

橢圓的常見題型及其解法(一)橢圓是圓錐曲線的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，橢圓學(xué)習(xí)的好壞還直接影響后面的雙曲線與拋物線的學(xué)習(xí)，筆者在這里就橢圓常見題型作簡(jiǎn)要的探討，希望對(duì)學(xué)習(xí)橢圓的同學(xué)有所幫助.一、橢圓的焦半徑橢圓上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的長(zhǎng)稱為此曲線上該點(diǎn)的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的一些問題時(shí)，用焦半徑公式解題可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。1.公式的推導(dǎo)設(shè)P（，）是橢圓上的任意一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓，求證，。證法1：。因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，證法2：設(shè)P到左、右準(zhǔn)線的距離分別為，由橢圓的第二定義知，又，所以，而。，。2.公式的應(yīng)用例1 橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)A（）、B（）、C（）到焦點(diǎn)F（4，0）的距離成等差數(shù)列，則 .解：在已知橢圓中，右準(zhǔn)線方程為，設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離為，則、。，而|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列。，即，。例2.是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值。解：設(shè)，則 在橢圓上，的最大值為4，最小值為1.變式練習(xí)1：. 求過橢圓的左焦點(diǎn)，傾斜角為的弦AB的長(zhǎng)度。解：由已知可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，則，從而變式練習(xí)2. 設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，求證：以（或）為直徑的圓C與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切。證明：設(shè)，圓C的半徑為r 即也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內(nèi)切同理可證以為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切。3.橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左、右焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）。P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是上、下焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（3）；（4）。證明：（1）設(shè)P在x軸上的射影為Q，當(dāng)不大于90時(shí)，在三角形PEQ中，有 由橢圓焦半徑公式（1）得 。消去后，化簡(jiǎn)即得（1）。而當(dāng)大于90時(shí)，在三角形PEQ中，有， 以下與上述相同。（2）、（3）、（4）的證明與（1）相仿，從略。4.變式的應(yīng)用對(duì)于橢圓的一些問題，應(yīng)用這幾個(gè)推論便可容易求解。例1. （2005年全國(guó)高考題）P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左右焦點(diǎn)，過P作x軸的垂線恰好通過焦點(diǎn)F，若三角形PEF是等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：因?yàn)镻FEF，所以由（2）式得 。再由題意得。注意到。例2. P是橢圓上且位于x軸上方的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是左右焦點(diǎn)，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設(shè)PF的傾斜角為，則：。因?yàn)閍10，b8，c6，由變式（2）得 所以三角形PEF的面積變式訓(xùn)練1.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60的直線和橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求橢圓的離心率。解：由題意及變式（2）得化簡(jiǎn)得。變式訓(xùn)練2.設(shè)F是橢圓的上焦點(diǎn)，共線，共線，且0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設(shè)PF傾斜角為，則由題意知PFMF，所以MF傾斜角為90，而，由題意及（3）式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。二 橢圓的焦點(diǎn)弦 設(shè)橢圓方程為過橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，此直線交橢圓于兩點(diǎn)，求焦點(diǎn)弦的長(zhǎng).例1、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，過橢圓的焦點(diǎn)作一直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)取什么值時(shí)，等于橢圓的短軸長(zhǎng)？ 分析：由題意可知是橢圓的焦點(diǎn)弦，且，從而，故由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式及題設(shè)可得：，解得，即或。 例2、在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為F（3，1），相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為Y軸，直線通過點(diǎn)F，且傾斜角為，又直線被橢圓E截得的線段的長(zhǎng)度為，求橢圓E的方程。分析：由題意可設(shè)橢圓E的方程為，又橢圓E相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為Y軸，故有 （1）， 又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式有 （2）又 （3）。解由（1）、（2）、（3）聯(lián)列的方程組得：，從而所求橢圓E的方程為。變式訓(xùn)練1、已知橢圓C：（），直線：被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的，求橢圓C的方程。分析：由題意可知直線過橢圓C的長(zhǎng)、短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，故有， （1）又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得=， （2） 因=，得，（3）又 （4）。解