彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識.ppt

彈性力學(xué)及有限元 ElasticityMechanicsandFiniteElement 機械工程與自動化學(xué)院現(xiàn)代設(shè)計與分析研究所 吳寧祥nxwu 第一章緒論 1 1彈性力學(xué)及有限元的應(yīng)用1 2彈性力學(xué)定義及基本研究內(nèi)容1 3有限元方法的介紹1 4彈性力學(xué)與有限元之間的關(guān)系1 5彈性力學(xué)及有限元的發(fā)展史1 6課程的學(xué)習(xí)方法 第二章彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè)2 2彈性力學(xué)基本概念2 3彈性力學(xué)基本方程2 4邊界條件2 5圣維南原理2 6虛位移原理2 7強度理論 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的 如果不分主次考慮所有因素 則問題的復(fù)雜 數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難 將使得問題無法求解 根據(jù)問題性質(zhì) 忽略部分暫時不必考慮的因素 提出一些基本假設(shè) 使問題的研究限定在一個可行的范圍 基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ) 超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究 基本假設(shè)的必要性 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 連續(xù)性假設(shè) 均勻性假設(shè) 各向同性假設(shè) 完全彈性假設(shè) 小變形假設(shè) 無初始應(yīng)力的假設(shè) 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 1 連續(xù)性假設(shè) 假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿 各個質(zhì)點之間不存在任何空隙 變形后仍然保持連續(xù)性 根據(jù)這一假設(shè) 物體所有物理量 例如位移 應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù) 微觀上這個假設(shè)不成立 宏觀假設(shè) 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 2 均勻性假設(shè) 假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的 因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的 不隨坐標位置的變化而改變 物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的 工程材料 例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀 并且在物體內(nèi)部均勻分布 從宏觀意義上講 也可以視為均勻材料 對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料 不能處理為均勻材料 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 3 各向同性假設(shè) 假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì) 這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改變而變化 宏觀假設(shè) 材料性能是顯示各向同性 當然 像木材 竹子以及纖維增強材料等 屬于各向異性材料 這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 4 完全彈性假設(shè) 對應(yīng)一定的溫度 如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系 而且這個關(guān)系和時間無關(guān) 也和變形歷史無關(guān) 稱為完全彈性材料 完全彈性分為線性和非線性彈性 彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系 研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 5 小變形假設(shè) 假設(shè)在外力或者其他外界因素 如溫度等 的影響下 物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量 在彈性體的平衡等問題討論時 可以不考慮因變形所引起的尺寸變化 忽略位移 應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量 使基本方程成為線性的偏微分方程組 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 假設(shè)物體處于自然狀態(tài) 即在外界因素作用之前 物體內(nèi)部沒有應(yīng)力 彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用 外力或溫度改變 產(chǎn)生的 6 無初始應(yīng)力假設(shè) 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 主要包括彈性體的連續(xù)性 均勻性 各向同性 完全彈性和小變形假設(shè)等 這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè) 彈性力學(xué)問題的討論中 如果沒有特別的提示 均采用基本假設(shè) 這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的 2 1彈性力學(xué)的基本假設(shè) 物體外力 分為兩類體力分布在物體整個體積內(nèi)的外力如重力 慣性力 電磁力等面力分布在物體表面上的外力 如液體壓力 風(fēng)力和接觸力等 2 2彈性力學(xué)基本概念 一外力 一般來講 物體內(nèi)部各點處的體力是不相同的 物體內(nèi)任一點的體力用Fb表示 稱為體力矢量 其方向由該點的體力合力方向確定 體力沿三個坐標軸的分量用Fbi i 1 2 3 或者Fbx Fby Fbz表示 稱為體力分量 體力分量的方向規(guī)定與坐標軸方向一致為正 反之為負 應(yīng)該注意的是 這里體力是指一點的體力 2 2彈性力學(xué)基本概念 1 體力說明 2 2彈性力學(xué)基本概念 2 體力定義 面力矢量是單位面積上的作用力 面力是彈性體表面坐標的函數(shù) 一般條件下 面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件 面力矢量用Fs表示 其分量用Fsi i 1 2 3 或者Fsx Fsy和Fsz表示 面力的方向規(guī)定以與坐標軸方向一致為正 反之為負 這里的面力指的是一點的面力 2 2彈性力學(xué)基本概念 3 面力說明 2 2彈性力學(xué)基本概念 4 面力定義 2 2彈性力學(xué)基本概念 二內(nèi)力 內(nèi)力 物體在外界因素作用下 例如外力 溫度變化等 物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用 這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力 內(nèi)力的計算可以采用截面法 即利用假想平面將物體截為兩部分 將希望計算內(nèi)力的截面暴露出來 通過平衡關(guān)系計算截面內(nèi)力F 2 2彈性力學(xué)基本概念 物體承受外力作用 物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力 為了顯示出這些內(nèi)力 我們用一截面截開物體 并取出其中一部分 三應(yīng)力的概念 2 2彈性力學(xué)基本概念 其中一部分對另一部分的作用 表現(xiàn)為內(nèi)力 它們是分布在截面上分布力的合力 取截面的一部分 它的面積為 A 為物體在該截面上 A點的應(yīng)力 平均集度為 Q A 其極限 作用于其上的內(nèi)力為 Q 三應(yīng)力的概念 2 2彈性力學(xué)基本概念 通常將應(yīng)力沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為 S 正應(yīng)力 切應(yīng)力 三應(yīng)力的概念 應(yīng)力分量 應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān) 和截面的方位也有關(guān) 描述應(yīng)力 通常用一點平行于坐標平面的單元體 各面上的應(yīng)力沿坐標軸的分量來表稱為應(yīng)力分量 物體內(nèi)各點的內(nèi)力平衡 因此相對平面上的應(yīng)力分量大小相等 方向相反 2 2彈性力學(xué)基本概念 三應(yīng)力的概念 2 2彈性力學(xué)基本概念 平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力 用 yx yz表示 其第一下標y表示所在的平面 第二下標x y分別表示沿坐標軸的方向 如圖示的 yx yz y yx yz x y z o 符號規(guī)定 圖示單元體面的法線為y 稱為y面 應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力 正應(yīng)力記為 沿y軸的正向為正 其下標表示所沿坐標軸的方向 三應(yīng)力的概念 平行于單元體面的應(yīng)力如圖示的 yx yz 沿x軸 z軸的負向為正 圖示單元體面的法線為y的負向 正應(yīng)力記為 沿y軸負向為正 符號規(guī)定 2 2彈性力學(xué)基本概念 三應(yīng)力的概念 彈性力學(xué) 材料力學(xué) 注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的 圖示中 彈性力學(xué)里 切應(yīng)力都為正 而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號是不同的 在畫應(yīng)力圓時 應(yīng)按材料力學(xué)的符號規(guī)定 符號規(guī)定 2 2彈性力學(xué)基本概念 三應(yīng)力的概念 其它x z正面上的應(yīng)力分量的表示如圖所示 凡正面上的應(yīng)力沿坐標正向為正 逆坐標正向為負 獨立應(yīng)力分量 2 2彈性力學(xué)基本概念 三應(yīng)力的概念 例3已知單元體各面上的應(yīng)力分量 試在單元上標出方向與數(shù)值 2 2彈性力學(xué)基本概念 三應(yīng)力的概念 舉例 ABC的法線方向的單位矢量可表示為n li mj nk設(shè) A為 ABC的面積 則 OBC l A OCA m A OAB n A微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件 設(shè)h為O點至斜面ABC的高 由x方向的平衡 可得將公式代入上式 則 2 2彈性力學(xué)基本概念 四一點的應(yīng)力狀態(tài) 對于微分四面體單元 h趨近于零 因此 同理 如果采用張量記號 則上述公式可以表示為 2 2彈性力學(xué)基本概念 四一點的應(yīng)力狀態(tài) 平面ABC上的正應(yīng)力和切應(yīng)力 則平面ABC上的全應(yīng)力為 2 2彈性力學(xué)基本概念 四一點的應(yīng)力狀態(tài) 1 切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面 簡稱主平面 2 主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向 3 主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力 根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義 可以建立其求解方程 2 2彈性力學(xué)基本概念 五主平面 應(yīng)力主方向與主應(yīng)力 根據(jù)主平面的定義 應(yīng)力矢量Pn的方向應(yīng)與法線方向n一致 設(shè) 為主應(yīng)力 則應(yīng)力矢量的三個分量與主應(yīng)力的關(guān)系為px l py m pz n 2 2彈性力學(xué)基本概念 五主平面 應(yīng)力主方向與主應(yīng)力 px l py m pz n 方程組有非零解的條件 求解主應(yīng)力 2 2彈性力學(xué)基本概念 五主平面 應(yīng)力主方向與主應(yīng)力 特征方程 應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主對角線元素之和 應(yīng)力張量第一不變量 行列式按主對角線展開的三個代數(shù)主子式之和 應(yīng)力張量第二不變量 應(yīng)力張量第三不變量 2 2彈性力學(xué)基本概念 五主平面 應(yīng)力主方向與主應(yīng)力 解得的三個實數(shù)根即為三個主應(yīng)力 將主應(yīng)力代入方程組 可得三個主方向 說明 1 受外力處于平衡的結(jié)構(gòu)內(nèi) 任意點有三個主應(yīng)力 且主平面相互垂直 主應(yīng)力值和方向只取決于受力狀態(tài) 與選取的坐標系無關(guān) 所有截面中 2 2彈性力學(xué)基本概念 五主平面 應(yīng)力主方向與主應(yīng)力 由于外部因素物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化位移形式剛體位移 物體內(nèi)部各點位置變化 但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變 變形位移 位移不僅使得位置改變 而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置 位移u v w是單值連續(xù)函數(shù) 載荷或溫度變化 位移 六位移的概念 2 2彈性力學(xué)基本概念 外力作用下 物體各點發(fā)生位移 但是某點位移的大小并不能確定該處應(yīng)力的大小 它與物體的整體約束有關(guān) 應(yīng)變反映局部各點相對位置的變化 與應(yīng)力直接相關(guān) 變形體力學(xué)中彈性力學(xué)對這種關(guān)系作了最為簡化的假設(shè) 在各向同性線彈性的條件下 彈性常數(shù)只有兩個 七應(yīng)變的概念 1 線應(yīng)變2 切應(yīng)變 2 2彈性力學(xué)基本概念 2 3彈性力學(xué)基本方程 平衡微分方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程物理方程 平衡物體整體平衡 內(nèi)部任何部分也是平衡的 對于彈性體 必須討論一點的平衡 一平衡微分方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 一平衡微分方程 微小六面體邊長應(yīng)力是位置坐標的函數(shù) 所以 一平衡微分方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 一平衡微分方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 正應(yīng)變示意圖 二幾何方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 由幾何方程可知 u v w函數(shù)已知 則該點應(yīng)變分量確定 但是 應(yīng)變分量確定 無法求出位移分量 空間幾何方程 二幾何方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程 或相容方程 描述六個應(yīng)變分量之間所存在的關(guān)系式 同一平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系 三變形協(xié)調(diào)方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 不同平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系 三變形協(xié)調(diào)方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 桿受拉沿受力方向引起伸長 同時垂直于力方向則引起縮短 實驗證明 在彈性范圍內(nèi)有泊松比 也稱橫向變形系數(shù) 應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系 取一個單元體 在各正應(yīng)力作用下 沿 軸方向的正應(yīng)變 四物理方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 廣義虎克定律 剪應(yīng)變 應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系 四物理方程 2 3彈性力學(xué)基本方程 寫成矩陣形式 簡記為其中 為彈性矩陣 它完全取決于彈性系數(shù) 和 應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系 四物理方程 2 4邊界條件 彈性力學(xué)的基本未知量 位移分量 應(yīng)力分量和應(yīng)變分量 基本方程 平衡微分方程 幾何方程和物理方程 要使基本方程有確定的解 還要有對應(yīng)的面力或位移邊界條件 邊界條件一般分為 靜力 面力 邊界條件 位移邊界條件和混合邊界條件 彈性力學(xué)的任務(wù) 就是在給定的邊界條件下 就十五個未知量求解十五個基本方程 2 4邊界條件 靜力邊界條件 結(jié)構(gòu)在邊界上各點所受的面力為坐標的已知函數(shù) 建立起面力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系 由于物體表面受到表面力 如壓力和接觸力等的作用 設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx Fsy和Fsz 物體外表面法線n的方向余弦為l m n 參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系 可得 2 4邊界條件 一靜力 面力 邊界條件 位移邊界條件 結(jié)構(gòu)在邊界上位移為位置坐標的已知函數(shù) 混合邊界條件 結(jié)構(gòu)在一部分邊界上位移為位置坐標的已知函數(shù) 其它邊界上所受的面力為已知函數(shù) 或者結(jié)構(gòu)在邊界上部分面力分量和位移分量為位置坐標的已知函數(shù) 2 4邊界條件 二位移邊界條件 圣維南原理如果把物體的一小部分邊界上的面力 變換為分布不同但靜力等效的面力 即主矢量相同 對同一點的主矩也相同 那么 近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變 但遠處所受的影響可以忽略不計 擴大彈性力學(xué)適用范圍 2 5圣維南原理 2 5圣維南原理 2 5圣維南原理 虛位移 假定的 在約束條件允許范圍內(nèi) 彈性體可能發(fā)生的 任意的 微小的位移 只說明位移產(chǎn)生的可能性 必須滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊界條件 變形勢能 彈性體受力變形后 彈性體內(nèi)部應(yīng)力在其應(yīng)變上所做的功 虛位移原理 若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài) 那么使彈性體產(chǎn)生虛位移時 所有作用在彈性體上的外力在虛位移上所做得虛功等于彈性體所具有的虛變形勢能 2 6虛位移原理 虛功原理 外力虛功 體力面力彈性體的虛變形勢能 虛功方程 2 6虛位移原理 虛功原理 材料力學(xué)中 常用強度條件為 對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 根據(jù)材料破壞現(xiàn)象的分析 提出各種假說 形成強度理論 兩種破壞形式 由拉應(yīng)力引起的斷裂由剪應(yīng)力引起的屈服流動 2 7強度理論 關(guān)于斷裂的強度理論 第一強度理論 最大拉應(yīng)力理論 當一個單元體的三個主應(yīng)力的最大拉應(yīng)力到達材料的拉應(yīng)力極限時 材料發(fā)生破壞 極限條件為 這個理論最大缺點是只考慮三個主應(yīng)力中的一個 其它兩個發(fā)生變化也不影響極限狀態(tài) 因此 不夠合理 實踐證明 這個理論與脆性材料的拉斷實驗相符 2 7強度理論 關(guān)于斷裂的強度理論 第二強度理論 最大伸長線應(yīng)變理論 該理論認為最大線應(yīng)變是引起材料斷裂破壞的主要