2019-2020學年黃山市高二上學期期末數(shù)學（理）試題（解析版）

2019-2020學年安徽省黃山市高二上學期期末數(shù)學（理）試題一、單選題1若命題p是真命題，命題q是假命題，則下列命題一定是真命題的是()ApqBpqCpqDp【答案】D【解析】根據(jù)命題q是假命題，命題p是真命題，結(jié)合復合命題真假判斷的真值表，可判斷出復合命題的真假，進而得到答案【詳解】命題q是假命題，命題p是真命題，“pq”是假命題，即A錯誤；“pq”是假命題，即B誤；“pq”是假命題，即C錯誤；“ ”是真命題，故D正確錯；故選D【點睛】本題考查的知識點是復合命題的真假，熟練掌握復合命題真假判斷的真值表，是解答的關(guān)鍵2在直角坐標系中，直線的傾斜角是（ ）A30B60C120D150【答案】D【解析】根據(jù)直線方程得到直線的斜率后可得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，因，故，故選D.【點睛】直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是：，當時，直線的斜率不存在，注意傾斜角的范圍.3直線過點，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)ykxb，由題意得k0，b0，且解得【考點】點斜式方程及三角形的面積.4已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】選項：由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；選項：由線面垂直判定定理知，需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明，錯誤；選項：若，則平行關(guān)系不成立，錯誤；選項：的位置關(guān)系可能是平行或異面，錯誤.故選：【點睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.5在正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】取中點，由三角形中位線性質(zhì)可知，由此可得所求角為；在中，利用余弦定理求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接，設(shè)正四面體棱長為為中點 且異面直線與所成角即為與所成角，即又 即異面直線與所成角的余弦值為故選：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行移動，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解問題.6雙曲線的離心率是（ ）AB2CD【答案】C【解析】由雙曲線方程得到，進而求得離心率.【詳解】由雙曲線方程知：， 故選：【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線標準方程求解離心率的問題，屬于基礎(chǔ)題.7已知某運動員每次投籃命中的概率低于，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）A0.35B0.25C0.20D0.15【答案】B【解析】根據(jù)隨機數(shù)組中的兩次命中的組數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】組隨機數(shù)中恰有兩次命中的組數(shù)為組該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.8點與圓的位置關(guān)系為（ ）A點在圓外B點在圓內(nèi)C點在圓上D與的值有關(guān)【答案】A【解析】將點的坐標代入圓的方程即可判斷得到結(jié)果.【詳解】 在圓外故選：【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題.9已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，則球的體積為（ ）ABCD【答案】C【解析】將直三棱柱的外接球轉(zhuǎn)化為長方體外接球的問題，通過求解長方體外接球半徑，進而得到球的體積.【詳解】可將直三棱柱補成如下圖所示的長方體，則長方體的外接球即為直三棱柱的外接球球的半徑 球的體積故選：【點睛】本題考查直棱柱外接球的體積的求解問題，涉及到球的體積公式的應用；關(guān)鍵是能夠通過補全幾何體的方式，將問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球的求解問題；同時明確長方體外接球半徑為其體對角線長度的一半.10橢圓mx2ny21與直線y1x交于M，N兩點，連接原點與線段MN中點所得直線的斜率為，則的值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得x的一元二次方程，由韋達定理得，從而可表示出MN的中點的坐標，由已知斜率可求得【詳解】由得(mn)x22nxn10.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，所以y1y2，所以線段MN的中點為P，.由題意知，kOP，所以故選：A.【點睛】本題考查橢圓弦中點的性質(zhì)掌握此性質(zhì)本題易解：橢圓的弦的中點為，則11已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則等于（ ）A4BCD3【答案】D【解析】由可得，結(jié)合拋物線的定義可得到，利用焦半徑公式和橫坐標關(guān)系表示出，求得點橫坐標，利用焦半徑公式得到結(jié)果.【詳解】作，軸，垂足分別為 由拋物線定義知： 即設(shè)，則，解得： 故選：【點睛】本題考查拋物線焦半徑的求解，關(guān)鍵是能夠通過向量共線的特點得到線段長度之間的比例關(guān)系.12如圖所示正方體中，設(shè)是底面正方形所在平面內(nèi)的一個動點，且滿足直線與直線所成的角等于，則以下說法正確的是（ ）A點的軌跡是圓B點的軌跡是橢圓C點的軌跡是雙曲線D點的軌跡是拋物線【答案】B【解析】以為原點建立空間直角坐標系，可利用異面直線夾角的向量求法構(gòu)造等量關(guān)系，整理可得點的軌跡方程，從而確定軌跡圖形.【詳解】以為原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系設(shè)正方體棱長為，則，左右平方整理可得：，即點軌跡為點軌跡為橢圓故選：【點睛】本題考查立體幾何中動點軌跡的求解問題，解決此類問題可采用空間向量法，利用空間向量法表示出已知的角度或距離的等量關(guān)系，從而得到軌跡方程.二、填空題13分別寫有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是_【答案】【解析】試題分析：從這4張卡片中隨機抽取2張，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）6種抽法，其中取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)為（1，3），（2，4）共2種，故取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率14雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【解析】由雙曲線方程可得，由此可得漸近線方程.【詳解】由雙曲線方程知：， 漸近線方程為：故答案為：【點睛】本題考查由雙曲線方程求解漸近線方程的問題，屬于基礎(chǔ)題.15過點(3，1)作圓的弦，其中最短的弦長為_.【答案】【解析】最短弦為過點與圓心連線的垂線與圓相交而成，所以最短弦長為【考點定位】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力. 圓的半徑、弦心距、半弦構(gòu)成的直角三角形在解決直線和圓問題常常用到，本題只需要簡單判斷最短弦的位置就能輕松解答,有時候可能會出現(xiàn)點到直線的距離公式來求弦心距的長度.16已知一個圓錐的底面半徑為1，高為2，在其中有一個高為的內(nèi)接圓柱，當高變化時，圓柱側(cè)面積的最大值為_.【答案】【解析】根據(jù)軸截面中的平行關(guān)系可得到圓柱底面半徑與高之間的關(guān)系，根據(jù)圓柱側(cè)面積公式可得到關(guān)于高的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得所求最值.【詳解】圓錐和圓柱的軸截面如下圖所示：則， ，則 圓柱側(cè)面積當時，故答案為：【點睛】本題考查圓柱側(cè)面積最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠得到底面半徑與高之間的比例關(guān)系，從而將側(cè)面積表示為關(guān)于高的函數(shù)的形式；解決圓柱和圓錐相關(guān)問題時，常采用軸截面的形式來進行研究和求解.三、解答題17已知：，：，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】解一元二次不等式可得解集，由推出關(guān)系可知，從而得到不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，由得：，是的充分不必要條件 且等號不同時取得，解得：即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查根據(jù)充分條件與必要條件求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)充分與必要條件得到兩個集合之間的包含關(guān)系.18已知點，圓：.（1）若直線與圓相交于，兩點，且弦的長為，求的值；（2）求過點的圓的切線方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線距離，利用點到之間距離公式可構(gòu)造方程求得；（2）當過的直線斜率不存在時，方程為，滿足題意；當切線斜率存在時，可假設(shè)切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑構(gòu)造方程求得斜率，從而得到切線方程.【詳解】（1）由圓方程知：圓心，半徑到直線的距離 ，即，解得：（2）當直線斜率不存在時，其方程為：，為圓的切線當切線斜率存在時，設(shè)其方程為：，即到它的距離，解得：，即切線方程為：過點的圓的切線方程為或.【點睛】本題考查直線被圓截得弦長問題、過圓外一點圓的切線方程的求解；關(guān)鍵是明確直線被圓截得弦長為；易錯點是在求解過圓外一點圓的切線時，忽略切線斜率不存在的情況，造成求解錯誤.19如圖，長方體中，為的中點，分別為棱，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行判定定理可分別證得平行于平面，根據(jù)面面平行判定定理證得結(jié)論；（2）作，通過線面垂直的判定可證得平面，由此可知所求角為，利用三角形相似可求得，從而可求得.【詳解】（1）分別為的中點 平面，平面 平面 四邊形為平行四邊形 平面，平面 平面，平面 平面平面（2）作于，連平面，平面 ，平面 平面則為直線和平面所成的角由與相似可得：，又即直線和平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查立體幾何中面面平行關(guān)系的證明、直線與平面所成角的求解問題，涉及到線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應用等知識；求解直線與平面所成角的關(guān)鍵是能夠通過線面垂直關(guān)系將所成角放入直角三角形中來進行求解.20已知平面內(nèi)一動點（）到點的距離與點到軸的距離的差等于1，（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與軌跡相交于不同于坐標原點的兩點，求面積的最小值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面內(nèi)一動點到點的距離與點到y(tǒng)軸的距離的差等于1，可得當時，點到的距離等于點到直線的距離，所以動點的軌跡為拋物線；（2）過點的直線的方程為，代入，可得，利用韋達定理，結(jié)合面積，即可求面積的最小值試題解析：（1）平面內(nèi)一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1，當時，點到的距離等于點到直線的距離，動點的軌跡為拋物線，方程為（）；動點的軌跡C的方程為（）；（2）設(shè)點坐標為，點坐標為，過點的直線的方程為，代入，可得，面積，時，面積的最小值為2【考點】軌跡方程；直線與圓錐曲線的綜合問題21如圖，四棱錐的底面為直角梯形，且，平面底面，為的中點，為等邊三角形，是棱上的一點，設(shè)（與不重合）.（1）若平面，求的值；（2）當時，求二面角的大小.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）連接，交于點，連接，根據(jù)已知的平行和長度關(guān)系可證得為中點；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知，由此可得為中點，從而求得結(jié)果；（2）作，由垂直關(guān)系可知所求二面角的平面角為，根據(jù)比例關(guān)系可求得，進而得到所求二面角的大小.【詳解】（1）為中點 四邊形為平行四邊形 ，則 為等邊三角形且 ，且，連接，交于點，連接 為中點平面，平面，平面平面 為中點 （2）為的中點，為等邊三角形 平面底面，平面底面，平面底面連接，作交于點，則底面 作交于點，則，連接平面， 平面 為二面角的平面角， ， 即二面角的大小為【點睛】本題考查立體幾何中利用線面平行性質(zhì)求解參數(shù)值、二面角的求解問題，涉及到線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應用；求解二面角問題的關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到二面角的平面角，進而利用三角形的知識來進行求解.22橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于點，的周長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若.當時，求直線的方程；證明是定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）或；證明見解析，.【解析】（1）根據(jù)周長和焦點坐標可得到關(guān)于的方程組，解方程組求得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，代入橢圓方程可得與；由可得，代入與中，消去即可得到關(guān)于的方程，解方程