新人教版八年級數(shù)學下冊勾股定理典型例題分析.doc

新人教版八年級下冊勾股定理典型例習題一、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長已知，求的長分析：直接應用勾股定理解： 題型二：利用勾股定理測量長度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉化為數(shù)學模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例題2 如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.解析：同例題1一樣，先將實物模型轉化為數(shù)學模型，如圖2. 由題意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由可以設AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細解題步驟如下：解：設正方形ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。題型四：利用勾股定理求線段長度例題4 如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設元是關鍵。注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設為這兩個長度？)，連結MN，測量MN的長度。如果MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果MN=a15,則92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。利用勾股定理解決實際問題例題6 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應該是頭先距離燈5米。轉化為數(shù)學模型，如圖6 所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BCMN,BCAN當頭（B點）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六：旋轉問題：例1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內一點，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長.分析：利用旋轉變換，將BPA繞點B逆時針選擇60，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.變式2、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的點，且EAF=45，試探究間的關系，并說明理由. 題型七：關于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.變式：如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC的長.題型八：關于勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？ 題型九：關于最短性問題例5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花幾秒鐘？三、課后訓練：一、填空題COABDEF第3題圖DBCA第4題圖1如圖(1)，在高2米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米圖(1)2種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做 。3已知：如圖，ABC中，C = 90，點O為ABC的三條角平分線的交點，ODBC，OEAC，OFAB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cm4在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_米。5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_.二、選擇題1已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（） A、25B、14C、7D、7或252Rt一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（） A、121B、120C、132D、不能確定3如果Rt兩直角邊的比為512，則斜邊上的高與斜邊的比為（） A、6013B、512C、1213D、601694已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（） A、56B、48C、40D、32ABEFDC第7題圖6某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（） A、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元15020m30m第6題圖7已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與