數列通項公式的幾種求法.doc

數列通項公式的幾種求法數列通項公式直接表述了數列的本質，是給出數列的一種重要方法。數列通項公式具備兩大功能，第一，可以通過數列通項公式求出數列中任意一項；第二，可以通過數列通項公式判斷一個數是否為數列的項以及是第幾項等問題；因此，求數列通項公式是高中數學中最為常見的題型之一，它既考察等價轉換與化歸的數學思想，又能反映學生對數列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數學素質的要素之一，因而經常滲透在高考和數學競賽中。本文分別介紹幾種常見的數列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。一、常規(guī)數列的通項例1：求下列數列的通項公式（1）， （2），（3），1，解：（1）an= （2）an= （3） an=評注：認真觀察所給數據的結構特征，找出an與n的對應關系，正確寫出對應的表達式。二、等差、等比數列的通項直接利用通項公式an=a1+（n1）d和an=a1qn1寫通項，但先要根據條件尋求首項、公差和公比。三、擺動數列的通項例2：寫出數列1，1，1，1，的一個通項公式。解：an=（1）n1 變式1：求數列0，2，0，2，0，2，的一個通項公式。分析與解答：若每一項均減去1，數列相應變?yōu)?，1，1，1， 故數列的通項公式為an=1+（1）n 變式2：求數列3，0，3，0，3，0，的一個通項公式。分析與解答：若每一項均乘以，數列相應變?yōu)?，0，2，0， 故數列的通項公式為an=1+（1）n1 變式3：求數列5，1，5，1，5，1，的一個通項公式。分析與解答1：若每一項均減去1，數列相應變?yōu)?，0，4，0， 故數列的通項公式為an=1+21+（1）n1 =1+1+（1）n1 分析與解答2：若每一項均減去3，數列相應變?yōu)?，2，2，2， 故數列的通項公式為an=3+2（1）n1四、循環(huán)數列的通項例3：寫出數列0.1，0.01，0.001，0.0001，的一個通項公式。 解：an= 變式1：求數列0.5，0.05，0.005，的一個通項公式。 解：an= 變式2：求數列0.9，0.99，0.999，的一個通項公式。 分析與解答：此數列每一項分別與數列0.1，0.01，0.001，0.0001，的每一項對應相加得到的項全部都是1，于是an=1 變式3：求數列0.7，0.77，0.777，0.7777，的一個通項公式。解：an= （1 ） 例4：寫出數列1，10，100，1000，的一個通項公式。解：an=10n1 變式1：求數列9，99，999，的一個通項公式。分析與解答：此數列每一項都加上1就得到數列10，100，1000， 故an=10n1。 變式2：寫出數列4，44，444，4444的一個通項公式。解：an= （10n1） 評注：平日教與學的過程中務必要對基本的數列通項公式進行過關，這就需要提高課堂教與學的效率，多加總結、反思，注意聯(lián)想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕復雜數列的通項公式了。五、通過等差、等比數列求和來求通項例5：求下列數列的通項公式（1）0.7，0.77，0.777， （2）3，33，333，3333，（3）12，1212，121212， （4）1，1+2，1+2+3，解：（1）an=7=7（0.1+0.01+0.001+）=7（+）=7=（1）（2）an=3=3（1+10+100+10n）=3=（10n1）（3）an=12（1+100+10000+100n1）=12=（102n1）（4）an=1+2+3+n= 評注：關鍵是根據數據的變化規(guī)律搞清楚第n項的數據特點。六、用累加法求an=an1+f（n）型通項 例6：（1）數列an滿足a1=1且an=an1+3n2（n2），求an。（2）數列an滿足a1=1且an=an1+（n2），求an。解：（1）由an=an1+3n2知anan1=3n2，記f（n）=3n2= anan1 則an= （anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1 =f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1 =（3n2）+3（n1）2+ 3（n2）2+ +（322）+1 =3n+（n1）+（n2）+22（n1）+1 =32n+3= （2）由an=an1+知anan1=，記f（n）= anan1 則an=（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1 =f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1 =+1=評注：當f（n）=d（d為常數）時，數列an就是等差數列，教材對等差數列通項公式的推導其實就是用累加法求出來的。七、用累積法求an= f（n）an1型通項例7:（1）已知數列an滿足a1=1且an=an1（n2），求an （2）數列an滿足a1=且an=an1，求an解：（1）由條件=，記f（n）=an=a1=f（n）f（n1）f（n2）f（2）f（2）a1 =1=（2）an=a1=2 評注：如果f（n）=q（q為常數），則an為等比數列，an= f（n）an1型數列是等比數列的一種推廣，教材中對等比數列通項公式地推導其實正是用累積法推導出來的。八、用待定系數法求an=Aan1B型數列通項例8:數列an滿足a1=1且an12an=1，求其通項公式。解：由已知，an12an=1，即an=2 an11 令anx=2（an1x），則an=2 an13x，于是3x=1，故x= an=2（an1）故 an 是公比q為2，首項為an=的等比數列an=（2）n1=評注：一般地，當A1時令anx=A（an1x）有an=A an1（A1）x，則有（A1）x=B知x=，從而an=A（an1+），于是數列an是首項為a1+、公比為A的等比數列，故an=（a1+）An1，從而an=（a1+）An1；特別地，當A=0時an為等差數列；當A0，B=0時，數列an為等比數列。推廣：對于an=A an1f（n）（A0且AR）型數列通項公式也可以用待定系數法求通項公式。例9：數列an滿足a1=1且an=2an1（n2），求an。解：令anx=2（anx）則an=2an1+ 2xx=x=5x而由已知an=2an1故5x=1，則x=。故an2（an1）從而an是公比為q=2、首項為a1=的等比數列。 于是an=2n1，則an=2n1=（2n+3）評注：一般情況，對條件an=Aan1+f（n）而言，可設an+g（n）=Aan1+g（n1），則有Ag（n1）g（n）=f（n），從而只要求出函數g（n）就可使數列 an+g（n）為等比數列，再利用等比數列通項公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an1+g（n1）中的對應關系。特別地，當f（n）=B（B為常數）時，就是前面敘述的例8型。這種做法能否進一步推廣呢？對于an=f（n）an1+g（n）型數列可否用待定系數法求通項公式呢？我們姑且類比做點嘗試：令an+k（n）=f（n）an1+k（n1），展開得到an =f（n）an1+f（n）k（n1）k（n），從而f（n）k（n1）k（n）= g（n），理論上講，通過這個等式k（n）可以確定出來，但實際操作上，k（n）未必能輕易確定出來，請看下題：數列an滿足a1=1且an=an1+，求其通項公式。 在這種做法下得到k（n1）k（n）=，顯然，目前我們用高中數學知識還無法輕易地求出k（n）來。九、通過Sn求an例10：數列an滿足an =5Sn3，求an。解：令n=1，有a1=5an3，a1=。由于an =5Sn3則 an-1 =5 Sn-13得到anan-1=5（SnSn-1） anan1 =5an 故an=an-1，則an是公比為q=、首項an=的等比數列，則an=（）n-1 評注：遞推關系中含有Sn，通常是用Sn和an的關系an=SnSn1（n2）來求通項公式，具體來說有兩類：一是通過an=SnSn1將遞推關系揭示的前n項和與通項的關系轉化為項與項的關系，再根據新的遞推關系求出通項公式；二是通過an=SnSn1將遞推關系揭示的前n項和與通項的關系轉化為前n項和與前n1項和的關系，再根據新的遞推關系求出通項公式十、取倒數轉化為等差數列 例11：已知數列an滿足a1=1且an+1=，求an。 解：由an+1=有 = = + 即= 所以，數列是首項為=1、公差為d=的等差數列 則=1+（n1）= 從而an=評注：注意觀察和分析題目條件的結構特點，對所給的遞推關系式進行變形，使與所求數列相關的數列（本例中數列）是等差或等比數列后，只需解方程就能求出通項公式了。十一、構造函數模型轉化為等比數列 例12：已知數列an滿足a1=3且an+1=（an1）2+1，求an。解：由條件an+1=（an1）2+1得an+11=（an1）2 兩邊取對數有l(wèi)g（an+11）=lg（an1）2）=2lg（an1） 即=2 故數列 lg（an1）是首項為lg（a11）=lg2、公比為2的等比數列所以，lg（an1）=lg22n1=lg則an1= 即an=+1 評注：通過構造對數函數達到降次的目的，使原來的遞推關系轉化為等比數列進行求。十二、數學歸納法例13：數列an滿足a1=4且an=4（n2），求an。 解：通過遞推關系求出數列前幾項如下 a1=4=2+ a2=4=3=2+ a3=4=2+ a4=4=2+ a5=4=2+ a6=4=2+ 猜想：通項公式為an=2+。下用歸納法給出證明 顯然，當n=1時，a1=4=2+，等式成立 假設當n=k時，等式成立，即ak=2+則當n=k+1時，ak+1=4=4=4=2+2=2+ 由歸納法原理知，對一切nN+都有an=2+。 評注：先根據遞推關系求出前幾項，觀察數據特點，猜想、歸納出通項公式，再用數學歸納法給出證明。十三、綜合應用例14：已知各項為正的數列an滿足a1=1且an2=an12+2（n2），求an。 解：由an2=an12+2知an2an12=2則數列an2是公差為2、首項為a12=1的等差數列。 故 an2=1+2（n1）=2n1 即an=例15：數列an滿足a1=a2=5且an+1=an+6an1（n2），求an。 解：設an+1+an=（an+an1），則an+1=（）an+an1 而an+1=an+6an1 則 解得或當=2且=3時an+1+2an=3（an+2an1），即=3 則數列an+2an1是公比為3、首項為a2+2a1=15的等比數列。于是，an+2an1=153n1=53n 則an=2an1+53n 令an+x3n =2（an1+x3n1 ） 則an=2an1x3n 故x=1 于是，an3n =2（an13n1 ）從而an3n 是公比為2、首項為a13=2的等比數列。所以，an3n =2（2）n1 則an=3n+2（2）n1=3n（2）n當=3且=2時，同理可求得an=3n（2）n 于是，數列an的通項公式為an=3n（2）n 小結：本文只是介紹了幾種常見的求數列通項公式的方法，可以看到，求數列（特別是以遞推關系式給出的數列）通項公式的確具有很強的技巧性，與我們所學的基本知識與技能、基本思想與方法有很大關系，因而在平日教與