數(shù)列通項公式的幾種求法.doc

數(shù)列通項公式的幾種求法數(shù)列通項公式直接表述了數(shù)列的本質(zhì)，是給出數(shù)列的一種重要方法。數(shù)列通項公式具備兩大功能，第一，可以通過數(shù)列通項公式求出數(shù)列中任意一項；第二，可以通過數(shù)列通項公式判斷一個數(shù)是否為數(shù)列的項以及是第幾項等問題；因此，求數(shù)列通項公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見的題型之一，它既考察等價轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學(xué)思想，又能反映學(xué)生對數(shù)列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要素之一，因而經(jīng)常滲透在高考和數(shù)學(xué)競賽中。本文分別介紹幾種常見的數(shù)列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。一、常規(guī)數(shù)列的通項例1：求下列數(shù)列的通項公式（1）， （2），（3），1，解：（1）an= （2）an= （3） an=評注：認(rèn)真觀察所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，找出an與n的對應(yīng)關(guān)系，正確寫出對應(yīng)的表達(dá)式。二、等差、等比數(shù)列的通項直接利用通項公式an=a1+（n1）d和an=a1qn1寫通項，但先要根據(jù)條件尋求首項、公差和公比。三、擺動數(shù)列的通項例2：寫出數(shù)列1，1，1，1，的一個通項公式。解：an=（1）n1 變式1：求數(shù)列0，2，0，2，0，2，的一個通項公式。分析與解答：若每一項均減去1，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，1，1，1， 故數(shù)列的通項公式為an=1+（1）n 變式2：求數(shù)列3，0，3，0，3，0，的一個通項公式。分析與解答：若每一項均乘以，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，0，2，0， 故數(shù)列的通項公式為an=1+（1）n1 變式3：求數(shù)列5，1，5，1，5，1，的一個通項公式。分析與解答1：若每一項均減去1，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，0，4，0， 故數(shù)列的通項公式為an=1+21+（1）n1 =1+1+（1）n1 分析與解答2：若每一項均減去3，數(shù)列相應(yīng)變?yōu)?，2，2，2， 故數(shù)列的通項公式為an=3+2（1）n1四、循環(huán)數(shù)列的通項例3：寫出數(shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，的一個通項公式。 解：an= 變式1：求數(shù)列0.5，0.05，0.005，的一個通項公式。 解：an= 變式2：求數(shù)列0.9，0.99，0.999，的一個通項公式。 分析與解答：此數(shù)列每一項分別與數(shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，的每一項對應(yīng)相加得到的項全部都是1，于是an=1 變式3：求數(shù)列0.7，0.77，0.777，0.7777，的一個通項公式。解：an= （1 ） 例4：寫出數(shù)列1，10，100，1000，的一個通項公式。解：an=10n1 變式1：求數(shù)列9，99，999，的一個通項公式。分析與解答：此數(shù)列每一項都加上1就得到數(shù)列10，100，1000， 故an=10n1。 變式2：寫出數(shù)列4，44，444，4444的一個通項公式。解：an= （10n1） 評注：平日教與學(xué)的過程中務(wù)必要對基本的數(shù)列通項公式進行過關(guān)，這就需要提高課堂教與學(xué)的效率，多加總結(jié)、反思，注意聯(lián)想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕復(fù)雜數(shù)列的通項公式了。五、通過等差、等比數(shù)列求和來求通項例5：求下列數(shù)列的通項公式（1）0.7，0.77，0.777， （2）3，33，333，3333，（3）12，1212，121212， （4）1，1+2，1+2+3，解：（1）an=7=7（0.1+0.01+0.001+）=7（+）=7=（1）（2）an=3=3（1+10+100+10n）=3=（10n1）（3）an=12（1+100+10000+100n1）=12=（102n1）（4）an=1+2+3+n= 評注：關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律搞清楚第n項的數(shù)據(jù)特點。六、用累加法求an=an1+f（n）型通項 例6：（1）數(shù)列an滿足a1=1且an=an1+3n2（n2），求an。（2）數(shù)列an滿足a1=1且an=an1+（n2），求an。解：（1）由an=an1+3n2知anan1=3n2，記f（n）=3n2= anan1 則an= （anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1 =f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1 =（3n2）+3（n1）2+ 3（n2）2+ +（322）+1 =3n+（n1）+（n2）+22（n1）+1 =32n+3= （2）由an=an1+知anan1=，記f（n）= anan1 則an=（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1 =f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1 =+1=評注：當(dāng)f（n）=d（d為常數(shù)）時，數(shù)列an就是等差數(shù)列，教材對等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)其實就是用累加法求出來的。七、用累積法求an= f（n）an1型通項例7:（1）已知數(shù)列an滿足a1=1且an=an1（n2），求an （2）數(shù)列an滿足a1=且an=an1，求an解：（1）由條件=，記f（n）=an=a1=f（n）f（n1）f（n2）f（2）f（2）a1 =1=（2）an=a1=2 評注：如果f（n）=q（q為常數(shù)），則an為等比數(shù)列，an= f（n）an1型數(shù)列是等比數(shù)列的一種推廣，教材中對等比數(shù)列通項公式地推導(dǎo)其實正是用累積法推導(dǎo)出來的。八、用待定系數(shù)法求an=Aan1B型數(shù)列通項例8:數(shù)列an滿足a1=1且an12an=1，求其通項公式。解：由已知，an12an=1，即an=2 an11 令anx=2（an1x），則an=2 an13x，于是3x=1，故x= an=2（an1）故 an 是公比q為2，首項為an=的等比數(shù)列an=（2）n1=評注：一般地，當(dāng)A1時令anx=A（an1x）有an=A an1（A1）x，則有（A1）x=B知x=，從而an=A（an1+），于是數(shù)列an是首項為a1+、公比為A的等比數(shù)列，故an=（a1+）An1，從而an=（a1+）An1；特別地，當(dāng)A=0時an為等差數(shù)列；當(dāng)A0，B=0時，數(shù)列an為等比數(shù)列。推廣：對于an=A an1f（n）（A0且AR）型數(shù)列通項公式也可以用待定系數(shù)法求通項公式。例9：數(shù)列an滿足a1=1且an=2an1（n2），求an。解：令anx=2（anx）則an=2an1+ 2xx=x=5x而由已知an=2an1故5x=1，則x=。故an2（an1）從而an是公比為q=2、首項為a1=的等比數(shù)列。 于是an=2n1，則an=2n1=（2n+3）評注：一般情況，對條件an=Aan1+f（n）而言，可設(shè)an+g（n）=Aan1+g（n1），則有Ag（n1）g（n）=f（n），從而只要求出函數(shù)g（n）就可使數(shù)列 an+g（n）為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an1+g（n1）中的對應(yīng)關(guān)系。特別地，當(dāng)f（n）=B（B為常數(shù)）時，就是前面敘述的例8型。這種做法能否進一步推廣呢？對于an=f（n）an1+g（n）型數(shù)列可否用待定系數(shù)法求通項公式呢？我們姑且類比做點嘗試：令an+k（n）=f（n）an1+k（n1），展開得到an =f（n）an1+f（n）k（n1）k（n），從而f（n）k（n1）k（n）= g（n），理論上講，通過這個等式k（n）可以確定出來，但實際操作上，k（n）未必能輕易確定出來，請看下題：數(shù)列an滿足a1=1且an=an1+，求其通項公式。 在這種做法下得到k（n1）k（n）=，顯然，目前我們用高中數(shù)學(xué)知識還無法輕易地求出k（n）來。九、通過Sn求an例10：數(shù)列an滿足an =5Sn3，求an。解：令n=1，有a1=5an3，a1=。由于an =5Sn3則 an-1 =5 Sn-13得到anan-1=5（SnSn-1） anan1 =5an 故an=an-1，則an是公比為q=、首項an=的等比數(shù)列，則an=（）n-1 評注：遞推關(guān)系中含有Sn，通常是用Sn和an的關(guān)系an=SnSn1（n2）來求通項公式，具體來說有兩類：一是通過an=SnSn1將遞推關(guān)系揭示的前n項和與通項的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項與項的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項公式；二是通過an=SnSn1將遞推關(guān)系揭示的前n項和與通項的關(guān)系轉(zhuǎn)化為前n項和與前n1項和的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項公式十、取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 例11：已知數(shù)列an滿足a1=1且an+1=，求an。 解：由an+1=有 = = + 即= 所以，數(shù)列是首項為=1、公差為d=的等差數(shù)列 則=1+（n1）= 從而an=評注：注意觀察和分析題目條件的結(jié)構(gòu)特點，對所給的遞推關(guān)系式進行變形，使與所求數(shù)列相關(guān)的數(shù)列（本例中數(shù)列）是等差或等比數(shù)列后，只需解方程就能求出通項公式了。十一、構(gòu)造函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 例12：已知數(shù)列an滿足a1=3且an+1=（an1）2+1，求an。解：由條件an+1=（an1）2+1得an+11=（an1）2 兩邊取對數(shù)有l(wèi)g（an+11）=lg（an1）2）=2lg（an1） 即=2 故數(shù)列 lg（an1）是首項為lg（a11）=lg2、公比為2的等比數(shù)列所以，lg（an1）=lg22n1=lg則an1= 即an=+1 評注：通過構(gòu)造對數(shù)函數(shù)達(dá)到降次的目的，使原來的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進行求。十二、數(shù)學(xué)歸納法例13：數(shù)列an滿足a1=4且an=4（n2），求an。 解：通過遞推關(guān)系求出數(shù)列前幾項如下 a1=4=2+ a2=4=3=2+ a3=4=2+ a4=4=2+ a5=4=2+ a6=4=2+ 猜想：通項公式為an=2+。下用歸納法給出證明 顯然，當(dāng)n=1時，a1=4=2+，等式成立 假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即ak=2+則當(dāng)n=k+1時，ak+1=4=4=4=2+2=2+ 由歸納法原理知，對一切nN+都有an=2+。 評注：先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項，觀察數(shù)據(jù)特點，猜想、歸納出通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。十三、綜合應(yīng)用例14：已知各項為正的數(shù)列an滿足a1=1且an2=an12+2（n2），求an。 解：由an2=an12+2知an2an12=2則數(shù)列an2是公差為2、首項為a12=1的等差數(shù)列。 故 an2=1+2（n1）=2n1 即an=例15：數(shù)列an滿足a1=a2=5且an+1=an+6an1（n2），求an。 解：設(shè)an+1+an=（an+an1），則an+1=（）an+an1 而an+1=an+6an1 則 解得或當(dāng)=2且=3時an+1+2an=3（an+2an1），即=3 則數(shù)列an+2an1是公比為3、首項為a2+2a1=15的等比數(shù)列。于是，an+2an1=153n1=53n 則an=2an1+53n 令an+x3n =2（an1+x3n1 ） 則an=2an1x3n 故x=1 于是，an3n =2（an13n1 ）從而an3n 是公比為2、首項為a13=2的等比數(shù)列。所以，an3n =2（2）n1 則an=3n+2（2）n1=3n（2）n當(dāng)=3且=2時，同理可求得an=3n（2）n 于是，數(shù)列an的通項公式為an=3n（2）n 小結(jié)：本文只是介紹了幾種常見的求數(shù)列通項公式的方法，可以看到，求數(shù)列（特別是以遞推關(guān)系式給出的數(shù)列）通項公式的確具有很強的技巧性，與我們所學(xué)的基本知識與技能、基本思想與方法有很大關(guān)系，因而在平日教與