教案《最小二乘法》.doc

陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校8最小二乘法一、教學(xué)分析最小二乘法的思想是使的和達(dá)到最小。對(duì)于最小二乘法本身，任何一組數(shù)據(jù)，不論它們之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，都可以用最小二乘法估計(jì)出一個(gè)線性方程來。所以，通過散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否存在線性相關(guān)系就顯得很重要。二、教學(xué)建議關(guān)于最小二乘法不要求學(xué)生掌握推導(dǎo)過程，但要理解其思想。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能了解最小法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。2、過程與方法經(jīng)歷用不同的估算方法來描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程，體會(huì)研究兩個(gè)變量間依賴關(guān)系的一般方法。3、情感態(tài)度價(jià)值觀通過利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)思考和解決生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用最小二乘法求線性回歸方程。教學(xué)難點(diǎn): 線性回歸方程的推導(dǎo)。（一）課題引入在上一節(jié)的討論我們知道，人的身高與右手一拃長之間的總體趨勢(shì)是成一條直線，也就說，它們之間是線性相關(guān)的。這種線性關(guān)系可以用多種方法來刻畫，那么用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好呢？一個(gè)好的線性關(guān)系要保證這條直線與所有點(diǎn)都接近。（二）探求新知假設(shè)一條直線的方程為：，任意給定一個(gè)樣本點(diǎn)：，即有一個(gè)估計(jì)值與之對(duì)應(yīng)，那么估計(jì)值與真實(shí)值之間存在誤差，為了避免誤差相互抵消，可以考慮用來刻畫彼此之間的“誤差”。如果有n個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，則所有誤差的和越小，對(duì)應(yīng)的直線方程就越理想。使得上式達(dá)到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。記：，則 =，所以當(dāng)時(shí)，上式取得最小值。將這個(gè)關(guān)系式代入上式，整理成關(guān)于未知數(shù)b的一元二次多項(xiàng)式的形式：所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與直線最接近。這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數(shù)。（三）知識(shí)應(yīng)用例1、在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表所示：氣溫（x）/261813104-1杯數(shù)202434385064（1）試用最小二乘法求出線性回歸方程。（2）如果某天氣溫是-5，請(qǐng)預(yù)測(cè)大約能賣出熱茶多少杯。 解：（1）從散點(diǎn)圖可以看出，兩個(gè)變量是線性相關(guān)的?？汕蟮茫M(jìn)而求得，。于是，線性回歸方程為。（2）由上面的最小二乘法估計(jì)得出的線性回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是-5時(shí)，賣出熱茶的倍數(shù)估計(jì)為。例2、下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)：x12345678y1491625364964（1）請(qǐng)用最小二乘法求出這兩個(gè)變量之間的線性回歸方程；（2）觀察散點(diǎn)圖，你發(fā)現(xiàn)線性回歸方程能否反映兩變量之間的相關(guān)關(guān)系嗎？解：線性回歸方程為。但是，從表中數(shù)據(jù)很容易看出：，此時(shí)，最小二乘法得到的線性回歸方程已經(jīng)失去了意義。所以，利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要先作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，我們?cè)俑鶕?jù)這個(gè)規(guī)律性進(jìn)行擬合。如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系，我們可以用最小二乘法估計(jì)出線性回歸方程；如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合。（四）課堂練習(xí)1、設(shè)，是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結(jié)論中正確的是 （ ）A回歸直線是經(jīng)過散點(diǎn)圖上最多點(diǎn)的直線B若回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，一定等于6C當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D直線過點(diǎn)解析：根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點(diǎn)的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進(jìn)行判斷。選D2、（2011年廣東卷）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y 之間的關(guān)系：時(shí)間12345命中率0405060604小李這5天的平均投籃命中率為_;用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李每月6號(hào)打籃球6小時(shí)的投籃命中率為_。0.5，0.533、課本57頁 練習(xí)（1）線性回歸方程為；（2）線性回歸方程為；（3）從以上兩個(gè)方程可以看出，女生的線性回歸方程的斜率要比男生的大，這說明從總體上看，相對(duì)于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。從另一個(gè)角度開看，對(duì)于男生而言，女生的身高總體偏矮，相同年齡的人右手一拃長應(yīng)當(dāng)大致差不多，所以相對(duì)于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。（五）課堂小結(jié)最小二乘法：如果有n個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些樣本點(diǎn)與直線之間的接近程度：，使得上式達(dá)到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。線性回歸方程：如果，則可求得，這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數(shù)。（六）分層作