南通2014期末.doc

南通市2014屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1 已知集合U1，2，3，4，5，A1，2，4，則 【答案】3，52 已知復(fù)數(shù)，(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 象限【答案】二3 命題：“，”的否定是 【答案】，4 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 輸入xNY結(jié)束（第6題）開(kāi)始輸出y【答案】35 設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足則的最大值是 【答案】76 如圖是一個(gè)算法的流程圖若輸入x的值為2，則輸出y的值是 【答案】7 抽樣統(tǒng)計(jì)甲，乙兩個(gè)城市連續(xù)5天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)，數(shù)據(jù)如下：城市空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112則空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)較為穩(wěn)定(方差較小)的城市為 （填甲或乙） 【答案】乙8 已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面正三角形的邊長(zhǎng)為現(xiàn)從該正三棱錐的六條棱中隨機(jī)選取兩條棱，則這兩條棱互相垂直的概率是 【答案】9 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則等于 【答案】10等比數(shù)列an的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為Sn若log3an(S4m+1)=9，則+的最小值是 【答案】11若向量，且，則的值是 【答案】112在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則當(dāng)0時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值是 【答案】13已知集合M=y，N=，則表示MN的圖形面積等于 【答案】14若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，在閉區(qū)間上總存在兩實(shí)數(shù)、，使得8成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 【答案】8二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15(本小題滿(mǎn)分14分) 如圖，在四棱柱中，且A1B1C1CDABD1 （第15題） （1）求證：平面；（2）求證：平面（1）證明：在四棱柱中，平面，平面，所以平面 6分（2）證明：在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形從而 9分又，而，平面，所以平面 14分16(本小題滿(mǎn)分14分) 在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=3bcosA，tanC= （1）求tanB的值； （2）若，求ABC的面積（1）解：由正弦定理，得 ，2分即 所以 從而 因?yàn)?，所?分 又，由（1）知，解得6分（2）解：由（1），得 ， 10分由正弦定理，得12分所以ABC的面積為 14分 17(本小題滿(mǎn)分14分)已知a為實(shí)常數(shù)，y=f(x)是定義在(，0)(0，+)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=2x+1（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)a1對(duì)一切x0成立，求a的取值范圍（1）解：由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，我們只要討論f(x)在區(qū)間(，0)的單調(diào)性即可f (x)2，令f (x)0，得xa 2分當(dāng)a0時(shí)，f (x)0，故f(x)在區(qū)間(，0)是單調(diào)遞增 4分當(dāng)a0時(shí)，x (，a )，f (x)0，所以f(x)在區(qū)間(，a )是單調(diào)遞增x (a，0)，f (x)0，所以f(x)在區(qū)間(a，0)是單調(diào)減 6分綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(0，+)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)間為(，a )，(a ，+)，單調(diào)減區(qū)間為(a，0)，(0，a) 7分（2）解：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)(2 x1)2x 1 9分當(dāng)a0時(shí)，要使f(x)a1對(duì)一切x0成立，即2x a對(duì)一切x0成立而當(dāng)x0時(shí)，有a+4aa，所以a0，則與a0矛盾所以a0不成立11分當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x11=a1對(duì)一切x0成立，故a0滿(mǎn)足題設(shè)要求12分當(dāng)a0時(shí)，由(1)可知f(x)在(0，a)是減函數(shù)，在(a ，+)是增函數(shù)所以fmin(x)=f(a)3a1a1，所以a0時(shí)也滿(mǎn)足題設(shè)要求 13分綜上所述，a的取值范圍是 14分18(本小題滿(mǎn)分16分)如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，其所在圓O的半徑為4 dm（圓心O在弓形EMF內(nèi)），EOF=將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計(jì)損耗)， ADEF，且點(diǎn)A、D在上，設(shè)AOD= （1）求矩形鐵片ABCD的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；M （2）當(dāng)矩形鐵片ABCD的面積最大時(shí)，求cos的值（第18題）MFOEM（1）解：設(shè)矩形鐵片的面積為，當(dāng)時(shí)（如圖）， 3分當(dāng)時(shí)（如圖）， 故綜上得，矩形鐵片的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為 7分（2）解：當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，得令，得 10分記區(qū)間內(nèi)余弦值等于的角為（唯一存在）列表：0增函數(shù)極大值減函數(shù)又當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)減函數(shù)， 所以當(dāng)即時(shí)，矩形的面積最大 16分19(本小題滿(mǎn)分16分)（第19題）ABCDxPyO如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，又橢圓內(nèi)接四邊形ABCD (點(diǎn)A、B、C、D在橢圓上)的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)，且，（1）求橢圓的方程；（2）求直線(xiàn)AB的斜率（1）解：依題意，解得所求橢圓的方程為 6分（2）解：設(shè)，則由，得 8分代入橢圓方程，得整理，得， 10分即 12分設(shè)，同理可得 14分 ，得，即直線(xiàn)AB的斜率為 16分20(本小題滿(mǎn)分16分)已知等差數(shù)列an、等比數(shù)列bn滿(mǎn)足a1+a2a3，b1b2b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差數(shù)列，a1，a2，b2成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）按如下方法從數(shù)列an和數(shù)列bn中取項(xiàng)：第1次從數(shù)列an中取a1，第2次從數(shù)列bn中取b1，b2，第3次從數(shù)列an中取a2，a3，a4，第4次從數(shù)列bn中取b3，b4，b5，b6，第2n1次從數(shù)列an中繼續(xù)依次取2n1個(gè)項(xiàng)，第2n次從數(shù)列bn中繼續(xù)依次取2n個(gè)項(xiàng)，由此構(gòu)造數(shù)列cn：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，記數(shù)列cn的前n和為Sn求滿(mǎn)足Sn22014的最大正整數(shù)n（1）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，等比數(shù)列bn的公比為，依題意，得 解得a1=d=1，b1=q=2故an=n，bn=2n 6分（2）解：將a1，b1，b2記為第1組，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6記為第2組，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12記為第3組，以此類(lèi)推，則第n組中，有2n1項(xiàng)選取于數(shù)列an，有2 n項(xiàng)選取于數(shù)列bn，前n組共有n2項(xiàng)選取于數(shù)列an，有n2n項(xiàng)選取于數(shù)列bn，記它們的總和為Pn，并且有 11分， 當(dāng)（22222012）時(shí)， 13分當(dāng)（22222013)時(shí)， 可得到符合的最大的n=4522012=4037 16分?jǐn)?shù)學(xué)（附加題）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21【選做題】A 選修41：幾何證明選講 （本小題滿(mǎn)分10分） 在ABC中，已知CM是ACB的平分線(xiàn)，AMC的外接圓交BC于點(diǎn)N，且BN2AM 求證：ABAC 證明：如圖，在ABC中，因?yàn)镃M是ACM的平分線(xiàn)，（第21A題）ABCMNO 所以 3分 又因?yàn)锽A與BC是圓O過(guò)同一點(diǎn)B的割線(xiàn)， 所以， 即 6分 又BN=2AM， 所以 8分 由，得ABAC 10分B 選修42：矩陣與變換 （本小題滿(mǎn)分10分） 設(shè)二階矩陣，滿(mǎn)足，求解：設(shè)，因?yàn)椋?2分所以，即 6分解得所以 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿(mǎn)分10分） 在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)：，過(guò)極點(diǎn)O的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)， ，求直線(xiàn)的方程 解：設(shè)直線(xiàn)的方程為(R)， 2分則 5分又，故 7分解得+2k或+2k，kZ所以直線(xiàn)的方程為或 (R) 10分D選修45：不等式選講 （本小題滿(mǎn)分10分）已知x，y，z均為正數(shù)，求證：證明：因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以 4分 同理可得， 7分 當(dāng)且僅當(dāng)xyz均時(shí)，以上三式等號(hào)都成立 將上述三個(gè)不等式兩邊左，右兩邊分別相加，并除以2， 得 10分【必做題】22（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，設(shè)，為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量 （1）求的概率；（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望（第22題）P1 解：（1）從六個(gè)點(diǎn)任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有種不同選法，其中的為有一個(gè)角是的直角三角形（如），共種，所以 3分 （2）的所有可能取值為，的為頂角是的等腰三角形（如），共6種，所以 5分 的為等邊三角形（如），共2種，所以 7分 又由（1）知，故的分布列為 所以 10分23（本小題滿(mǎn)分10分）已知1，2，滿(mǎn)足下列性質(zhì)T的排列，的個(gè)數(shù)為（n2，且nN*）性質(zhì)T：排列，中有且只有一個(gè)（1，2，）（1）求；（2）求解：（1）當(dāng)