求軌跡方程的常用方法.doc

求軌跡方程的常用方法 （一）求軌跡方程的一般方法：1. 定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。 2. 直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關系xf（t），yg（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相關點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x，y），用（x，y）表示出相關點P的坐標，然后把P的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點C的軌跡?！咀兪健浚阂阎獔A的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。二：用直譯法求軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關系。例2：一條線段兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，且BM=a，AM=b，求AB中點M的軌跡方程？【變式】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？三：用參數(shù)法求軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。 四：用代入法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。 【變式】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 五、用交軌法求軌跡方程例5.已知橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2，求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程.六、用點差法求軌跡方程例6. 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；練習1.在中，B，C 坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，則點A的軌跡方程是_.2.兩條直線與的交點的軌跡方程是 _ .3.已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 _4.當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為_。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為_。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_7.拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程。8.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程。9.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。高二（上）求軌跡方程的常用方法 答案例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點C的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵。（1） 圓：到定點的距離等于定長（2） 橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4） 到定點與定直線距離相等。【變式1】: 1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關系。例2： 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡方程？解 設M點的坐標為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是以O為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關系是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設中的已知等量關系：若動點的規(guī)律由題設中的已知等量關系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設條件的等式：有時題中無坐標系，需選定適當位置的坐標系，再根據(jù)題設條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關公式：有時要運用符合題設的有關公式，使其公式中含有動點坐標，并作相應的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式2】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線l1引發(fā)的，可設出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設M（x，y），設直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的中點， 消去k，得x2y50。 另外，當k0時，AB中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當k不存在時，AB中點為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設M（x，y），連結MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形 化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設M（x，y），由已知l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯(lián)系。解法3：設M（x，y），M為AB中點，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPAkPB1， 注意到l1x軸時，l2y軸，此時A（2，0），B（0，4） 中點M（1，2），經(jīng)檢驗，它也滿足方程x2y50 綜上可知，點M的軌跡方程為x2y50?！军c評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時應注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運用了kPAkPB1，這些等量關系。用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2 +y2= 4 外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。 解法一：“幾何法” 設點M的坐標為（x,y）,因為點M 是弦BC的中點，所以OMBC, 所以|OM | | ，即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫坐標為1，所以點M的軌跡方程為 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法” 設點M的坐標為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點M為BC的中點，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以點M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。 分析：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關點，故采用相關點法求動點M的軌跡方程。 【解析】設動點M的坐標為（x，y），而設B點坐標為（x0，y0） 則由M為線段AB中點，可得 即點B坐標可表為（2x2a，2y） 【點評】代入法的關鍵在于找到動點和其相關點坐標間的等量關系【變式4】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 【解析】： 設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 五、用交軌法求軌跡方程六、用點差法求軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）練習1【正確解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應除去點，即軌跡方程為2.兩條直線與的交點的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 .【解答】:令M點的坐標為(,則A的坐標為(2,代入圓的方程里面得:4:當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為【分析】：把所求軌跡上的動點坐標x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動點的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點坐標為消去參數(shù)m得：故所求動點的軌跡方程為。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為【分析】：點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程?！窘獯稹浚阂李}意，點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F（4，0）為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_【分析】:設動點為P，由題意，則依照點P在運動中所遵循的條件，可列出等量關系式?！窘獯稹浚涸O是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點為。設ABC重心P的坐標為，點C的坐標為。其中【解答】：因點是重心，則由分點坐標公式得：即由點在拋