人教A版選修22 第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 教案1.doc

教學設計第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入復習課教材分析復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充，這不僅使學生對數(shù)的概念有一個初步的完整的認識，也為進一步的學習打下基礎通過前幾節(jié)課的學習，同學們對復數(shù)的基本概念，基本運算法則，以及復數(shù)的幾何意義等幾個不同的方面有了了解，本節(jié)的復習將使學生在問題情景中進一步了解數(shù)系擴充的過程和引入復數(shù)的必要性，以及用復數(shù)解決數(shù)學問題的基本方法，復數(shù)與以前學習的知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，加強對復數(shù)的理解，體會實際需要與數(shù)學內容的矛盾課時分配1課時教學目標知識與技能目標理解復數(shù)的概念以及復數(shù)相等的充要條件，熟練掌握復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)及其加減運算的幾何意義，復數(shù)模的概念及其應用過程與方法目標引導學生去發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，解決問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結合，化歸與轉化的思想意識情感、態(tài)度與價值觀通過對本章的復習，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于開拓進取的良好品質，從而形成全面且細致的思維習慣重點難點重點：復數(shù)的基本概念，復數(shù)的四則運算和復數(shù)相等的充要條件難點：復數(shù)的幾何意義以及對復數(shù)的模的理解應用提出問題問題1：通過前面的學習，我們已經(jīng)將數(shù)系由實數(shù)擴充到了復數(shù)，誰來將前面學習的有關復數(shù)的內容描述一下？活動設計：學生獨立思考，5秒后找一位同學口答，其他同學可以補充活動成果：復數(shù)提出問題問題2：(1)計算_；(2)若mpi2p(1m)i，則m_，p_(m，pr)；(3)若復數(shù)z12i，則|z|_，復數(shù)z對應的向量_.活動設計：找一個學生到黑板上做，然后一起對答案活動成果：(1)i(2)(3)(1,2)設計意圖通過問題1、2，從理論和實踐兩個方面回顧復數(shù)的基本內容 類型一：復數(shù)的基本概念例1設mr，復數(shù)z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z為實數(shù)，則m_.(2)若z為純虛數(shù)，則m_.思路分析：復數(shù)abi(a，br)包括實數(shù)(b0)和虛數(shù)(b0)，其中虛數(shù)中a0的數(shù)是純虛數(shù)解：首先整理得：z(2m23m2)(m23m2)i.在(1)中z為實數(shù)，則m23m20，即m1或m2.在(2)中z為純虛數(shù)，則2m23m20且m23m20，即m.點評：解決這類問題，首先把z化成“zabi”的形式，分清虛部和實部若題目條件中直接指明z為“虛數(shù)”，此時我們可設zabi(a，br)；若指明z是純虛數(shù)，則可設zbi(br且b0)即可注意設復數(shù)的同時一定加入必需的條件鞏固練習已知ar，復數(shù)z(a22a15)i，當a為何值時，z分別為：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)z對應的點在直線y9上？答案：(1)5.(2)a5且a3.(3)0.(4)4或6.類型二：復數(shù)相等的充要條件例2已知集合a(m3)(n21)i，8，集合b3i，(m21)(n2)i，滿足aba，ab，求整數(shù)m，n.思路分析：由aba，可知這兩個集合有一個公共元素(m3)(n21)i或8，即(m3)(n21)i3i或8(m21)(n2)i，或(m3)(n21)i(m21)(n2)i.解：依題意，當(m3)(n21)i3i，即m30，n213.解得m3，n2.經(jīng)檢驗m3，n2時，(m21)(n2)i8不合題意，舍去所以有m3，n2.當8(m21)(n2)i時，有m218，n20.可解得m3，n2.但m3，n2時，(m3)(n21)i3i不合題意，舍去所以有m3，n2.當(m3)(n21)i(m21)(n2)i時，有m3m21，n21n2，此時m，n無整數(shù)解，不合題意綜合以上得m3，n2或m3，n2.點評：此題中復數(shù)之間的等量關系并未直接給出，而是通過集合之間的關系間接給出，因此復習時注意知識之間的相互聯(lián)系，也要注意思維的廣闊性和嚴謹性鞏固練習已知集合m1,2，(a23a1)(a25a6)i，n1,3，mn3，則實數(shù)a_.答案：1類型三：復數(shù)的基本四則運算例3求值：(1)已知復數(shù)z與(z3)218i均是純虛數(shù)，則z_.(2)已知z243i，則z38z_.思路分析：在(1)中可設zbi(br且b0)，將z代入(z3)218i中求得b的值在(2)中可由z243i求得z以后，再將z代入z38z中求值，也可化簡z38z后再求值解：(1)設zbi(br且b0)，則(z3)218i(bi3)218i(9b2)(6b18)i.由(z3)218i為純虛數(shù)，所以9b20且6b180，所以有b3，即z3i.(2)z38z.又由z243i，得z(i)，|2|z|2|43i|5，(i)原式等于i或i.點評：在解決復數(shù)計算問題時，應該先審清題意，尤其是對有條件的求值問題，先審清題意，然后找準切入點，逐步化簡求值鞏固練習()2 012.答案：1i.類型四：復數(shù)的幾何意義例4已知復數(shù)|z1|z2|3，|z1z2|4，求|z1z2|的值思路分析：這里可以先把z1、z2、z1z2和z1、z2、z1z2兩組復數(shù)對應的向量分別組成兩個三角形，再借助余弦定理求解解：設z1對應向量，z2對應向量，則z1z2對應向量.cosaob.設z1z2對應向量，則.|z1z2|2|2|2|22|cosobc|z2|2|z1|22|z2|z1|cosaob20.|z1z2|2.點評：復數(shù)的幾何意義體現(xiàn)在將復數(shù)問題轉化為點或向量的問題，也就是將代數(shù)問題轉化為幾何問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想變式練習已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|的值(用代數(shù)和幾何兩種方式求解)答案：.拓展實例例5已知zm1mi(mr)，求|z|的最值思路分析：可以先將|z|整理出來轉化為關于m的最值問題，還可以轉化為幾何問題，即z對應的點在哪里才能使z對應的點到原點的距離最大或最小的問題解：代數(shù)法：因為|z|，所以當m時，|z|min，但|z|無最大值幾何法：如下圖所示，設zxyi，則有xm1，ym，則xy10，所以z對應的點z在直線xy10上因為|z|的幾何意義是表示z點到原點的距離，因此|z|就是xy10上的點與原點的距離，|z|的最小值就是原點到直線xy10的最短距離d，顯然無最大值點評：充分運用復數(shù)的幾何意義，將模的最值問題轉化為距離的最值問題變式練習若復數(shù)z對應的點在(1)以原點為圓心，半徑為1的圓上；(2)以(1,1)為圓心，半徑為1的圓上；(3)以(3,0)，(3,0)為焦點，以原點為對稱中心，長軸長為10的橢圓上，分別寫出滿足上述條件的z的表達式答案：(1)|z|1；(2)|z(1i)|1；(3)|z3|z3|10.變練演編提出問題：(1)當|z11i|1時，可以提出什么問題？(2)當|z11i|1，zm1mi，mr時，可以提出什么問題？活動設計：學生可先獨立探索，后互相交流學情預測：(1)例如：求|z13i|的范圍幾何方法：如圖，由|z11i|1可知，z1所對應的點z在以c(1,1)為圓心，1為半徑的圓c上，那么|z13i|就是點a(3,1)與圓c上的點z的連線的距離，所以|z13i|的最大值為|ac|13，最小值為|ac|11.所以|z13i|的范圍為1,3代數(shù)方法：設z1abi，則|z11i|1可轉化為(a1)2(b1)21，就可以得到|z13i|.因復數(shù)z1對應的點z(a，b)在圓(x1)2(y1)21上，故0a2.所以當a0時，|z13i|有最大值3；當a2時，|z13i|有最小值1.所以|z13i|的范圍為1,3(2)例如：求|z1z|的最小值(答案：1)對于(1)或(2)的問題和答案可以很多，教師可以選有代表性的或有共性的例子拿來討論設計意圖加深對復數(shù)的代數(shù)和幾何含義的理解，增強題目的趣味性，訓練學生的發(fā)散思維，加深對前面知識的理解，考查學生的知識應用能力 達標檢測1設z134i，z223i，則z1z2在復平面內對應的點位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限2設o是原點，向量，對應的復數(shù)分別為23i，32i，那么向量對應的復數(shù)是()a55i b55i c55i d55i3(1i)2i等于()a22i b22i c2 d24復數(shù)(1)2的值是()a2i b2i c2 d2答案：1.d2.d3.d4.b學生獨立思考后，概括對復數(shù)這一章節(jié)的認識，教師最后補充(1)深刻理解復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何表示，對概念的理解上要善于利用數(shù)形結合的思想(2)掌握復數(shù)的分類，明確“復數(shù)問題實數(shù)化”是解決問題的最基本的思想方法，在解決復數(shù)問題時，充分利用復數(shù)的有關概念和復數(shù)相等的充要條件(3)代數(shù)形式的加、減、乘、除四則運算的運算法則類似于合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法的主要內容是分母實數(shù)化復數(shù)的代數(shù)運算與實數(shù)有密切聯(lián)系但又有區(qū)別，要特別注意實數(shù)范圍內的運算法則和性質是否在復數(shù)范圍內實用補充練習中的2、3題基礎練習1設復數(shù)z12i，z213i，則復數(shù)的虛部等于_答案：1.1拓展練習2已知ar，br,2ai和bi(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程x2pxq0的兩個根，那么p，q的值分別是多少？3若復數(shù)z滿足|z3|，求|z(14i)|的最大值和最小值提示：2.根據(jù)韋達定理：x1x2p2aibi，所以有p2b且a10；x1x2q(2ai)(bi)(2ba)(ab2)i，所以有ab20，q2ba.由此可得p，q的值3可利用幾何意義：因為滿足條件|z3|的復數(shù)z對應的點z都在以a(3,0)為圓心，為半徑的圓c內和圓c上，因此求|z(14i)|的最值可轉化為求點a(1,4)到圓c內或圓c上哪個點的距離最大和最小的問題答案：2.p4，q5.3最大值為|ac|3，最小值|ac|.這一節(jié)課是復習課，在開始設計兩個問題的目的是引領同學們復習基本知識點，形成這一章的知識網(wǎng)絡，后又以典型例題為主，鞏固或變式練習為輔，層層展開，步步深入，來復習這一章中涉及到的多個知識點，展現(xiàn)多種不同的題型以及各自的解答方式與解答規(guī)律因為是復習課，所以在復習基本題型的同時，也把復數(shù)問題進一步升華提高這樣不但加深了同學們對知識的理解，也更好地提高同學們分析問題、解決問題的能力，進一步培養(yǎng)同學們數(shù)形結合，化歸與轉化的數(shù)學思想意識，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性、靈活性和深刻性等良好的思維品質同時展示數(shù)學的內在規(guī)律，新舊知識之間的聯(lián)系，展現(xiàn)復數(shù)無窮的魅力復數(shù)的起源與擴張16世紀意大利米蘭學者卡當(jerome cardan15011576)在1545年發(fā)表的重要的藝術一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”他第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中，并且在討論是否能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40.他把答案寫成40，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40.給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾(15961650)，他在幾何學(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應，從此，虛數(shù)才流傳開來數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù)，引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學家不承認虛數(shù)德國數(shù)學家萊布尼茲(16461716)在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”法國數(shù)學家棣莫佛(16671754)在1730年發(fā)現(xiàn)著名的棣莫佛定理歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i來表示1的平方根，首創(chuàng)了i作為虛數(shù)的單位“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，它是確實存在的挪威的成塞爾(17451818)在1779年試圖給予這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學術界的重視德國數(shù)學家阿甘得(17771855)在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示在平面直角坐標系中，橫軸上取對應實數(shù)a的點a，縱軸上取對應實數(shù)b的點b，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點c就表示復數(shù)abi.像這樣，由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”，后來又稱“阿甘得平面”高斯在1831年，用實數(shù)組(a，b)代表復數(shù)abi，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也像實數(shù)一樣地“代數(shù)化”他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標法和極坐標法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)一一對應高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間一一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法至此，復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了經(jīng)過許多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵！虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中的一員，從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集隨著科學和技術的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)復數(shù)概念的進化是數(shù)學史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性人們沒有等待實數(shù)的邏輯基礎建立之后，才去嘗試新的征程在數(shù)系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認識，而天才的直覺隨著勇