小學(xué)奧數(shù)之第10講數(shù)論綜合(一).doc

數(shù)論綜合 1如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少? 2如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 3如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)： 這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)； 這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)； 這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5 那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù) 4在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?5從一張長(zhǎng)2002毫米，寬847毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形按照上面的過(guò)程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長(zhǎng)是多少毫米? 6已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)請(qǐng)寫出所有可能的答案 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1那么最少要分成多少組? 8圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米兩只甲蟲同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)? 9設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值? (2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值? 10狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次比賽途中，從起點(diǎn)開始每隔米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多少米? 11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0) 12甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求A等于多少? 13證明：形如11，111，1111，11111，的數(shù)中沒有完全平方數(shù) (考慮除以4的余數(shù)) 14有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍問(wèn)：甲取走的一盒中有多少塊奶糖? 15在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段? 數(shù)論綜合答案涉及知識(shí)點(diǎn)多、解題過(guò)程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問(wèn)題 1如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少? 【分析與解】 我們知道如果有5個(gè)連 續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)槠鋬?nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個(gè)位數(shù)字只能是0。 所以n小于5:當(dāng)n為4時(shí)，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個(gè)位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個(gè)位數(shù)字為0； 如果不含有5的倍數(shù)，則這4個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個(gè)位數(shù)字都是4； 所以，當(dāng)n為4時(shí)，任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩科可能：當(dāng)n為3時(shí)，有123的個(gè)位數(shù)字為6，234的個(gè)位數(shù)字為4，345的個(gè)位數(shù)字為0，不滿足：當(dāng)n為2時(shí)，有12，23，34，45的個(gè)位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足 至于n取1顯然不滿足了所以滿足條件的n是4 2如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析與解】?jī)晌坏馁|(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168 所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168 3如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)： 這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)； 這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)； 這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5 那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù) 【分析與解】 條件也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個(gè)數(shù)滿足條件 其中86與50不符合，32與68不符合，三個(gè)條件都符合的只有14所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有144在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?【分析與解】555555=51111001 =357111337顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為7775從一張長(zhǎng)2002毫米，寬847毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形按照上面的過(guò)程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長(zhǎng)是多少毫米? 【分析與解】 從長(zhǎng)2002毫米、寬847毫米的長(zhǎng)方形紙板上首先可剪下邊長(zhǎng)為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商而余數(shù)恰好是剩下的長(zhǎng)方形的寬，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不難得知，最后剪去的正方形邊長(zhǎng)為77毫米 6已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)請(qǐng)寫出所有可能的答案 【分析與解】 設(shè)這三個(gè)數(shù)為a、b、c，且abc，因?yàn)閮蓛刹换ベ|(zhì)，所以它們均是合數(shù) 小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個(gè)數(shù)，但是14=27，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無(wú)法找到兩個(gè)不與14互質(zhì)的數(shù) 所以只剩下6，10，12，15，18這5個(gè)數(shù)存在可能的排列所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1那么最少要分成多少組? 【分析與解】26=213，33=311，34=217，35=57，63=7，85=517，91=713，143=1113 由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個(gè)數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組： 將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組所以，至少要分成3組 8圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米兩只甲蟲同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)? 【分析與解】 圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn)如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點(diǎn)，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn) 小圓周長(zhǎng)為30=307r，大圓周長(zhǎng)為48，一半便是24，30與24的最小公倍數(shù)時(shí)120 12030=412024=5所以小圓上甲蟲爬了4圈時(shí)，大圓上甲蟲爬了5個(gè)圓周長(zhǎng)，即爬到了過(guò)A的直徑另一點(diǎn)B這時(shí)兩只甲蟲相距最遠(yuǎn) 9設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值? 【分析與解】 (1)a與b的最小公倍數(shù)72=22233，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨設(shè)ab:當(dāng)a=72時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b72+1=73；:當(dāng)a=36時(shí)，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；：當(dāng)a=24時(shí)，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值；當(dāng)a=18時(shí)，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值；：當(dāng)a=12時(shí)，b無(wú)解；:當(dāng)a=9時(shí)，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值 總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值 (2)60=2235，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b為60的約數(shù)，不妨設(shè)ab ：當(dāng)a=60時(shí)，b可取60外的任何一個(gè)數(shù)，即可取11個(gè)值，于是ab可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； 當(dāng)a=30時(shí)，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；：當(dāng)a=20時(shí)，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5； 當(dāng)a=15時(shí)，b可取4，12，所以ab可取11，3； : 當(dāng)a=12時(shí)，b可取5，10，所以ab可取7，2總之，ab可以有11+3+4+2+2=22種不同的值 10狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次比賽途中，從起點(diǎn)開始每隔米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多少米? 【分析與解】 由于=，= 所以狐貍跳4個(gè)米的距離時(shí)將掉進(jìn)陷阱，黃鼠狼跳2個(gè)米的距離時(shí)，將掉進(jìn)陷阱 又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當(dāng)狐貍掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了11秒，黃鼠狼掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進(jìn)陷阱，此時(shí)狐貍跳了9秒. 距離為9=40.5(米)11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0) 【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為18，33=198，所以每198個(gè)數(shù)一次 1198之間只有1，2，3，17，198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999198=59，所以共有518+9=99個(gè)這樣的數(shù) 12甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求A等于多少? 【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數(shù)，等于2倍939除以A的余數(shù)，等于甲603除以A的余數(shù) 即603A=ak；(2939)A=bk；(4393)A=ck 于是有(1878603)A=ba；(18781572)A=bc；(1572603)A=ca 所以A為1275，306，969的約數(shù)，(1275，306，969)=173=51 于是，A可能是51，17(不可能是3，因?yàn)椴粷M足余數(shù)是另一余數(shù)的4倍) 當(dāng)A為51時(shí)，有60351=1142；93951=1821；39351=736不滿足； 當(dāng)A為17時(shí)，有60317=358；93917=554；39317=232；滿足所以，除數(shù)4為17 13證明：形如11，111，1111，11111，的數(shù)中沒有完全平方數(shù) 【分析與解】 我們知道奇數(shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除 現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù) 評(píng)注：設(shè)奇數(shù)為2n+1，則它的平方為+4n+1，顯然除以4余1 14有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍問(wèn)：甲取走的一盒中有多少塊奶糖? 【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍 八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216 從216減去5的倍數(shù)，所得差的個(gè)位數(shù)字只能是1或6 觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個(gè)位數(shù)字是6的，只有一個(gè)個(gè)位數(shù)字是1的數(shù)31 因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖 15在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段? 【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)10，12，15=60，把這根木棍的作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長(zhǎng)6個(gè)單位；12等份的每等份長(zhǎng)5個(gè)單位；15等份的每等份長(zhǎng)4單